1.2.4 绝对值 （预习讲义）2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

2025-2026学年人教版数学七年级上册 第一章 有理数 1.2.4 绝对值 （预习讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 知识与技能： (1) 理解绝对值的概念，能说出绝对值的几何意义和代数意义。 (2) 会求一个数的绝对值，包括正数、负数和0的绝对值。 (3) 会利用绝对值比较两个负数的大小。 2. 过程与方法： (1) 通过观察、思考、归纳等数学活动，体验绝对值概念的形成过程。 (2) 体会数形结合思想在理解绝对值概念中的作用。 3. 情感态度与价值观： (1) 通过对绝对值的学习，感受数学的严谨性和逻辑性。 (2) 在解决问题的过程中，激发学习数学的兴趣。 知识点梳理及其讲解 知识点一：绝对值的概念 1. 几何意义： (1) 定义： 在数轴上，表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值。 (2) 记法： 数 的绝对值记作 ，读作“ 的绝对值”。 (3) 讲解： · 例如，在数轴上，表示数 5 的点到原点的距离是 5 个单位长度，所以 。 · 表示数 -3 的点到原点的距离是 3 个单位长度，所以 。 · 表示数 0 的点就是原点，所以 。 · 思考： 距离不能为负数，所以任何数的绝对值都是一个非负数（即大于或等于0的数）。 2. 代数意义（性质）： (1) 正数的绝对值是它本身。 若 ，则 。 (2) 负数的绝对值是它的相反数。 若 ，则 。（这里的“-a”表示 的相反数，当 是负数时， 是正数。） (3) 0 的绝对值是 0。 若 ，则 。 (4) 讲解： · 对于正数，比如 ，直接等于它本身。 · 对于负数，比如 ，等于它的相反数（负负得正）。 · 0 比较特殊，绝对值就是它本身，也是 0。 · 强调： 互为相反数的两个数的绝对值相等。例如，，，所以 。 知识点二：求一个数的绝对值 · 方法： 根据绝对值的代数意义直接求解。 · 例题： 求下列各数的绝对值： 1. （正数的绝对值是它本身） 2. （负数的绝对值是它的相反数） 3. （0 的绝对值是 0） 4. （正数的绝对值是它本身） 5. （负数的绝对值是它的相反数） 知识点三：绝对值的性质总结 1. 非负性： 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 。 2. 互为相反数的两数绝对值相等： 若 与 互为相反数，则 。（反之，若 ，则 或 ） 3. 绝对值最小的数是 0： 因为 ，而任何非零数的绝对值都大于 0。 4. 若 ，则 ；若 ，则 。 知识点四：利用绝对值比较两个负数的大小 · 法则： 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 · 讲解： (1) 例如，比较 -3 和 -5 的大小。 · 先求它们的绝对值：，。 · 因为 （即 -3 的绝对值小于 -5 的绝对值）， · 所以 （即绝对值小的负数反而大）。 (2) 步骤： 1. 分别求出两个负数的绝对值。 2. 比较这两个绝对值的大小。 3. 根据“绝对值大的反而小”得出结论。 · 例题： 比较 和 的大小。 (1) 解：，。 (2) 因为 ，所以 。 知识点总结 内容 关键点 绝对值定义 数轴上表示数 的点与原点的距离，记作 。 绝对值意义 几何意义：距离（非负）；代数意义：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。 绝对值性质 非负性 ；互为相反数的两数绝对值相等； 最小。 求绝对值 看数的符号：正取本身，负取相反数，0取0。 比较负数大小 两个负数，绝对值大的反而小。 本章核心提示 · 绝对值的本质是“距离”，所以它永远不可能是负数。 · 求一个数的绝对值，关键是判断这个数的正负性。 · 比较负数大小时，“绝对值大的反而小”是核心依据。 巩固练习 一、选择题 1．当时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 2．|-6|=（　　） A．-6 B．6 C． D． 3．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　） A．-2 B．-1 C．0 D．2 4．如果a表示一个任意有理数，那么下面说法正确的是（　　） A． 是负数 B． 一定是正数 C． 一定不是负数 D． 一定是负数 5．若|2x﹣1|=1﹣2x，则下列不等式成立的是（　　） A．2x﹣1＞0 B．2x﹣1＜0 C．2x﹣1≥0 D．2x﹣1≤0 6．在，，0，，，，，这几个有理数中，负数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．绝对值小于3的整数是　 　． 8．比较大小：　 　（填“”“”“”） 9．绝对值小于且不小于2的负整数有　 　． 10．如果，那么　 　．（用“”“”或“”连接） 11．－5的相反数是　 　；－5的绝对值是　 　. 12．若 则x=　 　， 　 　. 三、解答题 13．已知 ，求 的值。 14．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求____________； （2）同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ （3）类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 15．已知有理数a，b满足，有理数c比a小1，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．若动点M，从点A出发沿数轴正方向运动，动点N同时从点B出发沿数轴负方向运动，点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度． （1）在如图所示的数轴上标出点A，B，C的位置； （2）①求运动前，点M，N之间的距离； ②求运动t秒后，点M，N在数轴上对应的数．（用含t的代数式表示） 16．【阅读理解】 的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1 如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1 所以到1和2的距离之和最小值是1 【问题解决】 （1）类比得出的最小值是________ （2）请你结合图④探究：的最小值是________，此时为________；的最小值为________． （3）如图⑤，已知整数到，2的距离之和小于4，写出的所有可能取值，并求出它们的和为多少？ 参考答案 1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．0，±1，±2 8．> 9． 10． 11．5；5 12．2； 13．解：∵|a-1|+|b+3|=0， ∴a=1，b=-3. 将a=1，b=-3代入得： . 14．（1）7 （2） （3） （4）3 15．（1）解：有理数a，b满足， ，， ，， 有理数比小1， ， 点，，在数轴上的位置如图所示： ； （2）解：点从点出发沿数轴正方向运动，点同时从点出发沿数轴负方向运动， 由（1）知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为5， ①运动前点，之间的距离为； ②点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度， 运动秒后，点与点的距离为，点与点的距离为， 运动秒后，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为． 16．（1）3 （2）2；2；9 （3） 学科网（北京）股份有限公司 $