专题03 函数的概念及其性质（7大题型）（期中真题汇编 云南专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念及其性质（7大题型） 7大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数解析式 考点03 函数的定义域、值域 考点04 函数的单调性与最值 考点05 函数的奇偶性 考点06 函数的对称性与周期性 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的概念及其表示 1．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县民族中学·期中)已知函数，若，则 . 2．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知，其中为常数，若，则 . 3．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·云南德宏州民族第一中学·期中)下列每组函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)对于，满足，，且对于，恒有.则 . 6．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)若函数，则 ． 7．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)函数，在上单调，则实数的取值范围是 ． 8．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 地 城 考点02 函数解析式 9．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·云南昆明昆明行知中学·期中)设函数，记，，…，，则（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 14．(19-20高一·云南楚雄天人中学·月考)求下列函数的解析式 （1）已知是一次函数，且满足，求； （2）若函数，求． 15．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)求下列函数的解析式及定义域 (1)是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式，定义域； (3)已知，求的解析式. 16．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 地 城 考点03 函数的定义域、值域 17．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”，则下列函数为“依赖函数”的为（    ） A． B． C． D． 19．若集合，，则（    ） A． B．[0，1] C． D． 20．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县民族中学·期中)已知函数，则关于函数下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数在上单调递减 C．函数的值域为 D．不等式的解集为 21．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)下列命题是真命题的是（ ） A．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的图象与轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 22．(24-25高一上·云南昆明第八中学·期中)已知函数，. (1)讨论函数在的单调性； (2)若存在实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数的取值范围； (3)若存在，使得，记，求的最大值. 地 城 考点04 函数的单调性与最值 23．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)若定义在的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 24．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·云南德宏州·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知定义在上函数满足以下条件：①；②，当时，都有．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高一上·云南曲靖陆良县中枢镇第二中学·期中)若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 29．(24-25高一上·云南德宏州民族第一中学·期中)以下命题正确的是（    ） A．的值域为 B．若，则 C．“”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件 D．若函数，则对，不等式恒成立 30．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 31．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)已知函数． (1)写出函数的定义域及奇偶性； (2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 32．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 地 城 考点05 函数的奇偶性 33．(24-25高一上·云南昆明富民县·期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．是偶函数 36．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知偶函数在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 37．(24-25高一上·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 38．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知，则（    ） A．当时，有两个零点 B．为偶函数 C．在上单调，则或 D．不可能为奇函数 39．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．的解集为 C． D．的单调递增区间为， 40．已知函数是偶函数，则 . 41．(24-25高一上·云南红河州蒙自第四中学·期中)已知函数． (1)判断的奇偶性并用定义证明； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 42．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数. (1)若，当时，求的值域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)设实数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 43．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 44．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，求的取值范围． 地 城 考点06 函数的对称性与周期性 45．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为 ． 46．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 47．(24-25高一上·云南凤庆县第一中学·期中)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义法证明在区间上的单调性． 地 城 考点07 函数新定义 48．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. (1)若函数在上是同步函数，求的值； (2)已知反比例函数在上是同步函数，求的值； (3)若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 49．(24-25高一上·云南昆明第八中学·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．当时， D．函数在上单调递减 50．(23-24高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数.的对称中心为（    ） A． B． C． D． 51．(24-25高一下·云南玉溪第一中学·期中)对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念及其性质（7大题型） 7大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数解析式 考点03 函数的定义域、值域 考点04 函数的单调性与最值 考点05 函数的奇偶性 考点06 函数的对称性与周期性 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的概念及其表示 1．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县民族中学·期中)已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】由题意得，然后代入计算即可； 【详解】根据题意，因为， 则，则有. 又由，则. 故答案为：. 2．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 3．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析的范围，再进行根式的运算，判断选项. 【详解】由得，所以． 故选：C 4．(24-25高一上·云南德宏州民族第一中学·期中)下列每组函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，而函数的定义域为， 则两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数与， 则两函数的对应关系不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为，的定义域为， 则两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D中，函数，， 则两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数，故D正确. 故选：D. 5．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)对于，满足，，且对于，恒有.则 . 【答案】 【分析】赋值法令，求出；进而解出，最后依次解出，即可. 【详解】令，代入及， 得，所以， 令，代入，得； 令，代入，得，所以. 故答案为：. 6．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)若函数，则 ． 【答案】-2 【分析】首先求解，然后代入求解出. 【详解】根据题意得：, 然后代入 故答案为：-2. 7．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)函数，在上单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和反比函数解不等式组可得； 【详解】当时，，由反比例函数的单调性可得函数为减函数， 所以，解得， 故答案为：. 8．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和已知等式求出的值，再求的值即得. 【详解】当时，由可得，不合题意； 当时，由可得； 当时，由可得或,故. 当时， ； 当时， . 故选：BC. 地 城 考点02 函数解析式 9．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 10．(24-25高一上·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法令即可得出函数解析式. 【详解】令，则， ；故， 故选：A. 11．(24-25高一上·云南昆明昆明行知中学·期中)设函数，记，，…，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式及函数定义,依次求得，由规律即可求得的解析式. 【详解】函数， 则， ， ， ， 所以 故选：A 12．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 13．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 14．(19-20高一·云南楚雄天人中学·月考)求下列函数的解析式 （1）已知是一次函数，且满足，求； （2）若函数，求． 【答案】（1），；（2），. 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）利用换元法求解. 【详解】（1）因为是一次函数，设， 则， 所以， 则，解得， 所以； （2）由函数， 令，则， 所以， 所以. 15．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)求下列函数的解析式及定义域 (1)是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式，定义域； (3)已知，求的解析式. 【答案】(1)，定义域为； (2)，定义域为； (3)定义域为. 【分析】（1）利用待定系数法，设一次函数解析式，根据已知等式确定系数即得； （2）利用已知式拼凑后取将其化成关于的函数式，求出的范围，改写即得； （3）用替换,列出方程组，解之即得函数解析式. 【详解】（1）依题意，可设函数， 则， 由， 可得， 所以解得. 故函数的解析式为；函数定义域为； （2）由， 取，则得， 将改为，即得函数解析式为：，函数定义域为； （3）由已知①，， 用替换，即得：②， 由①+3②，得，， 所以函数定义域为. 16．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用配凑法求解； (2)利用待定系数法求解； (3)利用方程组法求解. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 因为是上的增函数，所以； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 地 城 考点03 函数的定义域、值域 17．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数的定义域是， 令，所以， 所以函数的定义域是. 故选：. 18．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”，则下列函数为“依赖函数”的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“依赖函数”函数的定义，逐项验证，A、B、C三个选项均可举出反例，对于D选项，令，则有，即，结合函数定义域，即可求解. 【详解】根据题意，对于A，的定义域为，当时， 此时不存在使得，故A不是“依赖函数”； 对于B，的定义域为，当时，， 又因为，所以， 此时不存在使得，故B不是“依赖函数”； 对于C，的定义域为，当时， 此时不存在使得，故C不是“依赖函数”； 对于D，的定义域为， 当时，，所以， 所以对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的， 使成立，所以该函数在其定义域上为“依赖函数”，故D正确. 故选：D. 19．若集合，，则（    ） A． B．[0，1] C． D． 【答案】D 【分析】先求得集合，，再求其并集即可． 【详解】由，得，故， 由，得，故， 故． 故选：D． 20．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县民族中学·期中)已知函数，则关于函数下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数在上单调递减 C．函数的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】由分母不为零求出函数的定义域可得A正确；分离常数后由函数的单调性可得B正确；分离常数可得C正确；由分式不等式的解法可得D错误； 【详解】对于A，已知函数，则的定义域为，故A正确； 对于B，又在和上单调递减，则在上单调递减，故B正确； 对于C，又函数 ，则，故C正确； 对于D，若，即，即，则，则D错误； 故选：ABC. 21．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)下列命题是真命题的是（ ） A．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的图象与轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A；利用常见具体函数的定义域即可判断选项B；根据函数的定义即可判断选项C；根据反比例函数的单调性即可判断选项D． 【详解】对于A，因为函数的定义域为，则， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，且，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，根据函数的定义可得函数的图象与轴最多有一个交点，故C正确； 对于D，函数在，上是单调递减函数，单调区间不能并，故D错误． 故选：ABC． 22．(24-25高一上·云南昆明第八中学·期中)已知函数，. (1)讨论函数在的单调性； (2)若存在实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数的取值范围； (3)若存在，使得，记，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）先将化简为，然后再利用定义判断单调性即可； （2）由题可知，显然在，单调递增，然后得到，易知、是方程的两个实数根，然后根据二次函数根的分布问题求解的取值范围即可； （3）根据题意得到，在有解，然后利用二次函数根的分布，求得的最大值即可. 【详解】（1）， 任取，则 ①当时，，，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递减. ②当时，，，所以在上单调递增. （2），显然函数在上单调递增， 所以当时函数在上单调递增， 所以由题意可得，所以， 所以、是方程的两个实数根， 即关于的方程在上有两个不等的实数根， 设，显然函数过点， 所以，解得， 所以实数的取值范围； （3）由（1）可知在上单调递减. 若，此时，不满足题意； 故必有，于是，所以， 整理得：（当时不成立）， 记函数，则方程在上有解， 函数开口向上，对称轴为， 于是在上单调递增，为使有解，则. 故有，解得：，因此. 【点睛】关键点点睛：（2）由，可得、是方程的两个实数根； （3） 需要消参，然后是一个关于的一元二次方程，然后利用对应二次函数根的分布求解即可. 地 城 考点04 函数的单调性与最值 23．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)若定义在的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得到的取值情况，从而得到的取值情况，即可得解. 【详解】因为定义在的奇函数在单调递增，且， 所以在单调递增，且，， 所以当，，当，， 故当时，，当时，， 所以若，则或或或或， 所以的取值范围是． 故选：C 24．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性可得的对称轴，结合已知关系式可得单调性，由此依次判断各个选项即可. 【详解】是偶函数，，图象关于对称， 对于任意的，，都有成立， 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 25．(24-25高一上·云南德宏州·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，根据题意分析可知函数为奇函数，且在内单调递增，结合函数性质解不等式. 【详解】构建， 可知的定义域为，且， 所以函数为奇函数， 因为，，整理可得， 则函数在内单调递增，可知在内单调递增， 又因为，则， 当时，；当时，； 所以不等式，即的解集为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构建函数，进而分析其性质，利用性质解不等式. 26．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知定义在上函数满足以下条件：①；②，当时，都有．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合奇偶性和单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】由①可得为偶函数，由②可得为上的增函数， 不等式可得， 所以不等式的解集为， 故选：B. 27．(24-25高一上·云南曲靖陆良县中枢镇第二中学·期中)若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出全称量词命题的否定，故，设，由单调性求出，从而. 【详解】若命题“时，”是假命题， 则命题“时，”是真命题，则， 设，其在上单调递减，在上单调递增， 且，故当时，，则. 故选：D 28．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】令，求出，再令，即可判断A；令，，且，根据定义法即可判断B；根据函数的单调性求出函数的最值，即可判断C；根据函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】对于A，取，则，解得， 令，则，即，且函数定义域是， 所以函数是奇函数，故A错误； 对于B，令，，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故B正确； 对于C，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故C错误； 对于D，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 29．(24-25高一上·云南德宏州民族第一中学·期中)以下命题正确的是（    ） A．的值域为 B．若，则 C．“”是“一元二次方程有一正根一负根”的充要条件 D．若函数，则对，不等式恒成立 【答案】ACD 【分析】举例说明函数的值域可能是，判断A，利用函数解析式求值即可判断B，根据二次方程根的分布求出的取值范围可判断C，用作差法判断D. 【详解】对于A，例如时，函数是上的减函数，结合函数的图象知函数的值域是，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若方程有一正一负根，，解得，故C正确； 对于D，， ， 所以恒成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：作差法的一般步骤： （1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 30．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 【答案】(1)1 (2)在区间单调递增，证明见解析 【分析】（1）由幂函数定义，求出，由函数在上单调递减验证即可. （2）由（1）可得，用定义证明即可. 【详解】（1）由题意知，解得：或2， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；    当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以的值为1． （2），在区间单调递增．    证明如下：任取， 则，    由可得：，， 则，即，    故在区间单调递增． 31．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)已知函数． (1)写出函数的定义域及奇偶性； (2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为，奇函数 (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义进行判断； （2）作出判断，并利用函数单调性的定义进行证明 （3）分离参数得到对任意恒成立，求得函数在的最小值，即可得到的取值范围 【详解】（1）定义域为，因为，所以为奇函数. （2）单调递增，证明：任取， ，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增. （3）因为，变形为，即， 由（2）知，在上单调递增，所以，所以. 32．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是“型函数”；理由见解析 (2)存在， (3)． 【分析】（1）根据二次函数性质求出和的值域，再利用“型函数”定义判断即可. （2）先根据复合函数的定义域求得，再根据“型函数”的单调性列不等式求解即可. （3）按照和分类讨论，利用单调性求出对应的值域，根据“型函数”定义列不等式，求解即可. 【详解】（1）函数，当时，，当时，，当时，，不存在，使， 所以不是“型函数”； （2）首先函数的定义域为，则，得， 由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增， 所以只需对任意恒成立即可，所以； （3）函数是“型函数”， 当时，在上单调递增，， 而，要使存在且唯一，则有，解得：，所以， 当时，在单调递减，在单调递增，所以，而，要使存在且唯一，则有， 设，即，解得，解得： 所以． 地 城 考点05 函数的奇偶性 33．(24-25高一上·云南昆明富民县·期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数，单调递增函数概念可判断选项正误. 【详解】A选项，为偶函数，在上单调递减，故A错误； B选项，为奇函数，故B错误； C选项，为偶函数，在上单调递增，故C正确； D选项，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 34．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，求解即得的取值范围. 【详解】因是定义在上的奇函数， 由可得， 又在单调递增，则函数在上单调递增， 则得，解得. 故选：B 35．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】利用单调性定义可判断AB；利用奇偶性定义可判断CD. 【详解】对于B，定义域为，在上不具备单调性，故B错误； 对于A，，且，则． ，且，，，， ，即， 在上单调递增，所以A错误； 对于C，定义域为，关于原点对称， ，． 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 36．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知偶函数在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递减， 又因为，所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：D. 37．(24-25高一上·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】 ， 则为奇函数，即， 故选:C. 38．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知，则（    ） A．当时，有两个零点 B．为偶函数 C．在上单调，则或 D．不可能为奇函数 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A，根据奇偶性的定义判断B、D，当时符合题意，当时，或，解得即可判断C. 【详解】对于A：当时，，令，解得， 所以只有一个零点，故A错误； 对于B：，令，，，故B正确； 对于C：当时，在上单调递减， 当时，若在上单调，则或，解得或或， 综上，或，故C正确； 对于D：， 所以不存在，使得恒成立，故不可能为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 39．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．的解集为 C． D．的单调递增区间为， 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义可得选项A正确；分和解不等式可得选项B错误；根据函数是定义在上的奇函数可得选项C错误；根据函数图象变换可得选项D正确. 【详解】A.当时，则，， ∴当时，，故A正确. B. 当时，， 由得，，解得， 当时，， 由得，，解得， 不等式的解集为，故B错误. C.因为函数是定义在上的奇函数，所以，故C错误. D.因为函数，在都是增函数， 所以函数在是增函数， 因为，是定义在上的奇函数，所以函数图象如图所示， 根据图象变换作出的图象，根据图象可得函数的单调递增区间为，，故D正确. 故选：AD. 40．已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 41．(24-25高一上·云南红河州蒙自第四中学·期中)已知函数． (1)判断的奇偶性并用定义证明； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)是上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）任取，且，然后计算化简，再判断符号，从而可得结果； （3）根据函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 的定义域为，对于，都有， 且， 所以，即函数是奇函数； （2）是上的增函数，证明如下： 设任意，且， , 因为，所以，因此，即， 所以在上单调递增； （3）因为是定义在上的奇函数， 所以，可化为， 又是上的增函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为． 42．(24-25高一上·云南曲靖麒麟区·期中)已知函数. (1)若，当时，求的值域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)设实数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，为奇函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数 (3) 【分析】（1）根据求，讨论的取值范围，去绝对值，分析函数单调性，即可求出值域. （2）根据奇偶性的定义分析可得结果. （3）讨论的取值范围，利用即可求出结果. 【详解】（1）∵，∴，∴， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为，又，，∴的最大值为5. ∴当时，的值域为. （2）当时，，的定义域为， ∵，∴是奇函数. 当时，，， ∴，且，故既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，当时，为奇函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数. （3）由题意得，. ①若，则，即， 由函数解析式可得，当时，， ∴在上的最小值为，故，解得，故. ②若，则当时，， 此时，故在上单调递增，在上单调递减，故在上的最小值为或， ∴解得，∴. ③若，则，，此时在上单调递增，故在处取得最小值，为， ∴，恒成立，故. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解决本题第（3）问的关键是把问题转化为，根据函数的定义域和解析式讨论的取值范围，利用函数的单调性求最值即可得到结果. 43．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 44．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)函数在上是增函数；证明详见解析； (3)； 【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. （2）函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （3）由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 地 城 考点06 函数的对称性与周期性 45．(24-25高一上·云南昆明十中教育集团·期中)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为 ． 【答案】 【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得答案. 【详解】令 ， 则， 因为为奇函数，所以， 即，解得. 所以函数图象的对称中心为. 故答案为：. 46．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 47．(24-25高一上·云南凤庆县第一中学·期中)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义法证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到，的值，从而得到对称中心； （2）根据单调性定义证明即可. 【详解】（1）由题可知，当对称中心为时，. 设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为； （2）设，，且， 则， 因为且， 所以，即， 所以在上单调递增. 地 城 考点07 函数新定义 48．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. (1)若函数在上是同步函数，求的值； (2)已知反比例函数在上是同步函数，求的值； (3)若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）直接按新定义求解即可； （2）经分析得出含的方程组解出即可； （3）由新定义解出抛物线方程，进而利用基本不等式解出的最小值即可. 【详解】（1）函数在上是同步函数，且函数是递减函数， 又，，故当时，；当时，； 即，解得，. （2）由反比例函数在上是同步函数，，， 反比例函数在和上都是递减的， 当时，取最大值，当，取最小值， 即，故得. （3）可化为，过点， 因，，则对称轴， 故在上递增， 又在上是同步函数， 当时，取最小值1，当时，取最大值3. 即得，，解得，， 函数表达式为， 所以，当且仅当时取“”， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：转化思想是解决集合新定义题目的一种常见方法；如小问由函数新定义解出，变形转化为；小问解出函数表达式为，将转化成基本不等式求最值. 49．(24-25高一上·云南昆明第八中学·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．当时， D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】根据高斯函数的定义分析AB选项；根据高斯函数的定义代入化简的解析式，可判断C选项；根据的值判断D选项. 【详解】，，使得，则， 因为，所以，所以，即的值域为； 又因为，所以，所以， 故A正确，B错误； C：当时，，所以，故C正确； D：因为，，所以， 显然不可能在上单调递减，故D错误； 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题是以高斯函数为背景，考查属于函数新定义内容，一方面可以从函数定义角度分析的函数性质，还可以从函数图象的角度来分析. 50．(23-24高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数.的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由奇函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】， 由奇函数的定义可知，，所以， 所以有， 整理得：，所以有 解得：，，所以的对称中心为. 故选：A. 51．(24-25高一下·云南玉溪第一中学·期中)对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可. 【详解】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $