13.1第3课时　三角形中几条重要线段课件2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、角平分线、中线，通过“你还能画出一条高来吗”等问题链导入，从定义出发，结合锐角、直角、钝角三角形的图形对比，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过折纸、量角器画图等动手操作培养几何直观（数学眼光），例题中“面积法”求最值、分类讨论中线分周长等体现推理能力（数学思维），表格对比三种线段规范数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

13.1　三角形中的边角关系 第3课时　三角形中几条重要线段 第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 三角形的高的定义 A B C D 如右图，线段 AD 是 BC 边上的高. 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 三角形的高 1 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高. 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. (1) 你能画出三角形的三条高吗？ (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角 形的内部还是外部？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. 直角边 BC 边上的高是 ； 直角边 AB 边上的高是 ； (2) AC 边上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高， AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高呢？ AB 边上呢？ BC 边上呢？ BF CE AD A B C D F (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高 不相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 三角形的角平分线 2 概念：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2， 线段 AD 就是∠ABC 的一条角平分线. A B C D 1 想一想：三角形的角平分线与角的平分线有什么不同? 不同点是：前者是线段，后者是射线. 2 B D C A B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 即为三角形的∠A 的平分线. A B C A D 问题2：请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B C D E F 问题1：一个三角形有几条角平分线？ 3 例3 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵DC平分∠ACB， 又DE∥BC， ∴∠AED =∠ACB = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 典例精析 A B C E D 例4 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数． 解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°. 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，线段 AE 是 BC 边上的中线. 三角形的“中线” B C A BE = EC E 三角形的中线 3 思考1:如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 思考2:通过思考 1 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 例5 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 BA＝____cm. 提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差. 7 典例精析 三角形的 重要线段 概念 图形 表示方法 三角形的 角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 三角形 的中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 因为 AD是△ABC的边BC上的中线， 所以BD=CD= BC. 三角形 的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. A B C D A B C D   A B C D 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 定义 1. 如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，以下线段是△ABE的高的是（　C　） A. CD B. DE C. AC D. AD （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 下列结论正确的是（　B　） A. 直角三角形的高只有一条 B. 三角形的高至少有一条在三角形内部 C. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 D. 钝角三角形的三条高都在三角形外部 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO＝CO. 若∠BOC＝100°，则∠BAO的度数为（　A　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° （第3题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. （2024·淮南凤台期末）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积为4cm2，则涂色部分的面积为 　1　cm2. （第4题） 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.若∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数. （第5题） 解：因为在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝72°.因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAC＝ ∠BAC＝36°.因为AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90°.所以在△ACD中，∠CAD＝180°－90°－70°＝20°.所以∠DAE＝∠EAC－∠CAD＝36°－20°＝16°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE，BD交于点F，∠A＝50°，∠BCA＝60°，则∠BFC的度数是（　） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图，AE为△ABC的中线，AD⊥BC于点D. 若BC＝6，AB＝4，AD＝2，则点E到直线AB的距离为（　C　） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 （第7题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，BC＝3BE，F是AC的中点.如果S△ABC＝a，那么S△ADF－S△BDE等于 （　C　） A. a B. a C. a D. a （第8题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：① BF＝AF；② ∠AFG＝∠AGF；③ ∠FAG＝2∠ACF；④ S△ABE＝S△BCE；⑤ BH＝CH；⑥ AD·BC＝AB·AC. 其中，正确的有（　C　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （第9题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 分类讨论思想在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，把△ABC的周长分为两部分.若其差为3cm，则AB＝ 　8cm或2cm　. 11. 易错题在△ABC中，∠B＝30°，AD是边BC上的高，∠CAD＝22°，则∠BAC的度数为 　38°或82°　. 8cm或2cm　 38°或82°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 分类讨论思想已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12和21两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长. 解：如图，AB＝AC，BD为腰AC上的中线.设AD＝DC＝x，BC＝y，则AB＝2x.分两种情况讨论：① 当AD＋AB＝12，BC＋DC＝21时， 解得 所以这个等腰三角形的三边长分别为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系，舍去.② 当AD＋AB＝21，BC＋DC＝12时， 解得 所以这个等腰三角形的三边长分别为14，14，5，符合三角形的三边关系.综上所述，这个等腰三角形的底边长是5，腰长是14. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $