辽宁省2025-2026学年高一上学期数学期中考前模拟卷01

高一数学期中模拟试题01 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知均为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】结合不等式的性质，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】时，假设“或”不成立，即有且， 当且时，，这与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即由“” 可以推出“或”，充分性成立； 当时，满足或（这里成立）， 但，不满足， 所以由“或”不能推出“”，必要性不成立. 则“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 2．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 3．设全集是小于7的自然数，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而，所以. 【点睛】故选：C 4．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定，可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 5．已知命题，命题，则 （  ） A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题 C．和q都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】举例说明命题p和q的真假性，即可得和的真假性. 【详解】对于命题：例如，则， 所以为假命题，为真命题； 对于命题：例如，则， 所以为真命题，为假命题； 结合选项可知：ABD错误，C正确. 故选：C. 6．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法即可求解. 【详解】由题意有， 因为，所以，， 所以，即． 故选：A． 7．已知二次函数 ．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 8．已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，根据图象可求解. 【详解】由题意，， 函数有4个不同的零点， 函数的图象和直线有4个交点， 函数的图象如下：    由图可知，当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增，且， 当 时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，且； 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（共3个小题，每小题6分，共18分） 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】A选项，利用立方根的性质可得A正确；BC选项，可根据不等式的性质进行推理，D选项可举出反例. 【详解】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 10．已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 11．已知定义在R上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，．则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】方法一：对于A，由条件③令，，结合条件②可得；对于B，结合条件与单调性定义求解；对于C，不等式等价于，结合的单调性及奇偶性求解；对于D，令判断即可． 方法二：构造函数判断即可． 【详解】方法一：对于A，由条件③当，时，， 令，，得：， 又由条件②得，∴，A正确； 对于B，取，，且，则 ， ∵，∴，，∴， ∴，即，∴在上单调递增，B不正确； 对于C，∵，， ∴不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得是偶函数， ∴，∴解集为，C正确； 对于D，令，则，， 此时不成立，D错误． 方法二：构造函数，符合条件①②． ，故A正确； 时，，在上单调递增，故B不正确； ，则即为，则，解集为，故C正确； 令，则，， 此时不成立，D错误． 故选：AC． 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 13．已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】由题意有方程只有一个解或方程化为一元一次方程，分类讨论即可. 【详解】由有， 当方程只有一个解时，， 当方程化为一元一次方程，由，所以或， 所以. 故答案为：. 14．记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以有， 当时，由， 所以， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，， 因此函数的图象如下图所示：    因为对任意，都有， 所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方， 因此有且，解得，且， 因此实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（共5个小题，共77分） 15．（13分）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过一元二次方程根的分布与判别式和特殊点的关系即可确定实数的取值范围； （2）根据开口向上以及两根与3的大小关系即可确定实数的取值范围. 【详解】（1）令，其对称轴为， 若一元二次方程的两根都大于0， 则，，解得， 实数的取值范围是； （2）若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． 16．（15分）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 17．（15分）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴ ， ∴，∴是上的增函数； （2）∵，∴， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得或， ∴原不等式的解集为． 18．（17分）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 19．（17分）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． (1)若，求证：为上的“4类函数”； (2)已知为上的“2类函数”，且，若时，，都有，求实数的取值范围； (3)若为上的“2类函数”，且，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用平方差公式得，根据新定义即可证明； （2）根据新定义得，从而得到，设新函数，则，所以在上的单调递增，所以，再由左边，从而得到的取值范围； （3）根据新定义得，分和两种情况讨论，当时，可直接得到，当时，利用得 . 【详解】（1）不妨设，所以， ， 所以是上的“4类函数”. （2）若为上的“2类函数”，则对于任意不同的，都有， 不妨设，则 ，所以，所以， 设，则， 所以为上的增函数， 则， ，当且仅当时等号成立， 所以. （3）证明：因为为上的“2类函数”，则对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 当时，成立， 当时，， 因为， 所以 ， 综上所述，. 【点睛】思路点睛：新定义问题解题思路 根据题干中“类函数”的定义，得到“类函数”和“类函数”的定义，第一问中证明“类函数”即证，第二三问中已知“类函数”即已知，利用这个条件进行后续推理.新定义题目的关键就是理解新定义、代入新定义，再与所学知识相联系，从而解决问题. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中模拟试题01 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知均为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 3．设全集是小于7的自然数，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 5．已知命题，命题，则 （  ） A．p和q都是真命题 B．p和都是真命题 C．和q都是真命题 D．和都是真命题 6．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数 ．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3个小题，每小题6分，共18分） 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 11．已知定义在R上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，．则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D． 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 13．已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示 ． 14．记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是 . 四、解答题（共5个小题，共77分） 15．（13分）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 16．（15分）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 17．（15分）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 18．（17分）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 19．（17分）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． (1)若，求证：为上的“4类函数”； (2)已知为上的“2类函数”，且，若时，，都有，求实数的取值范围； (3)若为上的“2类函数”，且，证明：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $