辽宁省2025-2026学年高一上学期数学期中考前模拟卷02

高一数学期中模拟试题02 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“若，则”的否命题是（    ） A．“若，则” B．“若，则” C．“若，则” D．“若，则” 3．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 4．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 6．已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 7．设函数，方程的两个实根满足．则当时，有（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3个小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 10．已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 11．设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知的定义域为，则的定义域为 ． 13．设是偶函数，且定义域为，则 ． 14．已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 四、解答题（共5个小题，共77分） 15．（13分）已知，，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 17．（15分）汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 18．（17分）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 19．（17分）定义：对于函数，若存在常数，使得函数定义域内的任意都有成立，则称为广义偶函数．其中的对称轴为．特别地，当时，就是偶函数．设为正实数，已知函数． (1)当时，证明函数是广义偶函数，并求其对称轴； (2)若存在正实数使得对任意，都有，求的取值范围； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中模拟试题02 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】先分别求出集合，再应用交集定义求解. 【详解】，， 则. 故选：C. 2．命题“若，则”的否命题是（    ） A．“若，则” B．“若，则” C．“若，则” D．“若，则” 【答案】D 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据四种命题的定义，准确改写，即可求解. 【详解】根据题意，结合四种命题的定义，可得： 命题“若，则”的否命题是“若，则”. 故选：D. 3．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 4．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 5．现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 6．已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 7．设函数，方程的两个实根满足．则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、作差法比较代数式的大小、数与式 【分析】由题可得，结合，，与二次不等式解法及作差法可判断选项正误. 【详解】由题意可知， 因，则或. 所以当时，，即； 又 . 因，，所以，即， 综上可得，． 故选：B 8．已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由对称性研究单调性、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 二、多选题（共3个小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确； 【详解】对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误； 对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，函数， 当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围是，故D错误； 故选：ACD. 10．已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 【答案】AD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式即可对选项逐一判断. 【详解】A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； C选项，因为，则，故，当且仅当时取等号，故C选项错误； D选项，因为 ，因为， 所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 故选：AD 11．设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】CD 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意知直线与的图象有三个交点，且，根据图象可得并求出与的关系，整理可得，结合二次函数分析求解即得正确选项. 【详解】∵，且， ∴直线与的图象有三个交点， 作出的图象，如图所示， 由图可知 且解得 则 因为，则， 所以 所以的取值范围是． 故选：CD. 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为： 13．设是偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的定义域是关于原点对称求出，再结合求出即可. 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 故答案为：. 14．已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式、根式不等式 【分析】先解不等式得到命题和成立的的范围，再由是的充分不必要条件得到自变量范围的包含关系从而可得结果. 【详解】由得，即，记； 由得，即，记. 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5个小题，共77分） 15．（13分）已知，，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，=； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可； （2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可. 【详解】（1）当时，， 由， 所以， 又因为或， 所以=. （2）由可得， 所以当时，有，解得， 当时，有，解得． 综上，所以的取值范围为． 16．（15分）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求解析式中的参数值 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 17．（15分）汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2)隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意可知当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，得出，从 而得出，再根据题给的总费用公式得出关于的函数表达式； （2）根据关于的函数表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）依题意，当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，即，可得， 故， 所以， 即的表达式为； （2） ， 当且仅当，即当时取得最小值， 所以隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元． 18．（17分）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 19．（17分）定义：对于函数，若存在常数，使得函数定义域内的任意都有成立，则称为广义偶函数．其中的对称轴为．特别地，当时，就是偶函数．设为正实数，已知函数． (1)当时，证明函数是广义偶函数，并求其对称轴； (2)若存在正实数使得对任意，都有，求的取值范围； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）计算得到，由题干定义可得结果； （2）由的单调性可得，再令，求得，从而可得结果； （3）解法一：由绝对值不等式可得，从而有零点等价于，分析的解析式可知需满足，最后证明当时，存在使得函数有唯一零点． 解法二：先分析得到和时，无零点，即在上有唯一零点，由的解析式分类讨论可得结果. 【详解】（1）当时，， 所以，所以为广义偶函数，其对称轴为． （2）因为在上单调递减，在上为常数函数，在上单调递增， 所以， 记，易得，所以. （3）解法一：由得， 要使有零点，则． 记，当时，恒成立，所以， 即，得． 下证当时，存在使得函数有唯一零点． 不妨取，此时有， ， 当时，恒成立，即在上无零点． 当时，单调递增， 当时，，即在上有唯一零点． 综上可得． 解法二：由， 当时，， 当时，，所以在上无零点； 当时，， 若，即，只需，即，得； 若，即，只需，得； 若，即，只需，即得． 综上可得． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $