第2章 分式课件 2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

第2章 分式 章末复习 1 复习点1 分式的概念 1.下列式子中是分式的是( ) C A. B. C. D. 2.（怀化中考）代数式，，，，， 中，属于分 式的有( ) B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.若分式 无意义，则( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 复习点2 分式的值 4.如果分式的值为0，那么 的值为( ) B A. B.3 C. 或3 D.3或0 5.下列各分式中，无论 取何值，分式的值都存在的是( ) B A. B. C. D. 6.若，，则 的值为___. 3 分层训练 构建学科思维 3 复习点3 分式的基本性质 7.如果把分式中的和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值 ( ) A A.不变 B.缩小为原来的 倍 C.扩大为原来的3倍 D.扩大为原来的6倍 8.下列分式中，是最简分式的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 9.约分： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 10.通分：， . 解：最简公分母是 , , . 分层训练 构建学科思维 6 复习点4 整数指数幂的运算 11.计算： （1） _ _； （2）（重庆A卷中考） _ _. 12.某颗粒物的直径是 ,把0.0000025用科学记数法表 示为___________. 分层训练 构建学科思维 7 13.计算： （1） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 复习点5 分式的运算与求值 14.计算： （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 15.（湘潭中考）先化简，再求值:,其中 . 解：原式 . 当时，原式 . 分层训练 构建学科思维 11 复习点6 分式方程的有关概念 16.下列关于 的方程是分式方程的为( ) B A. B. C. D. 17.关于的分式方程的解为，则实数 的值为 ( ) A A. B.1 C.2 D.5 分层训练 构建学科思维 12 18.若关于的分式方程无解，则实数 的值为____. 分层训练 构建学科思维 13 复习点7 解分式方程 19.解下列方程： （1） ; 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 .解得 . 检验：当时， . 所以 是原分式方程的解. 分层训练 构建学科思维 14 （2） . 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 . 解得 . 检验：当时， ， 所以 是原分式方程的解. 分层训练 构建学科思维 15 复习点8 分式方程的应用 20.（2024·青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能 力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模 型的单价比航海模型的单价多35元，用2 000元购买航空模型的 数量是用1 800元购买航海模型数量的 . 分层训练 构建学科思维 16 （1）求航空和航海模型的单价； 解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为 元. 根据题意，得 . 解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 所以 . 所以航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元. 分层训练 构建学科思维 17 （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折 优惠.若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航 海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花 费最少？ 分层训练 构建学科思维 18 解：设购买航空模型个，学校花费 元，则购买航海模型 个. 因为航空模型数量不少于航海模型数量的 ， 所以 . 解得 . 根据题意，得 . 分层训练 构建学科思维 19 因为 ， 所以当时， 取最小值. 此时 . 答：购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少. 分层训练 构建学科思维 $第2章 分式 教材回归（一） 分式的化简求值（针对教材 复 习题 ） 1 【教材母题】（教材60复习题）当 取3时，求分式 的值. 解：原式当时，原式 分层训练 构建学科思维 2 类型1 化简后直接代入求值 1.（2024·苏州）先化简，再求值： ，其中 分层训练 构建学科思维 3 解： 当时，原式 分层训练 构建学科思维 4 2.当时，求分式 的值． 解：原式 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 5 3.当，时，求分式 的值． 解：原式 当，时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 类型2 化简后选值代入求值 4.（2024·广安）先化简，再从 ，0， 1，2中选取一个适合的数代入求值. 分层训练 构建学科思维 7 解：原式 由题意，得且 ， 若选，则原式 ； 若选，则原式 分层训练 构建学科思维 8 5.（常德中考）先化简，再选一个合适的数代入求值： 解：原式 由题意，得且且 ， 若选，则原式 分层训练 构建学科思维 9 类型3 化简后整体代入求值 6.（娄底中考）先化简，再求值：，其中 满 足 ． 解：原式 ． 因为，所以 ， 所以原式 ． 分层训练 构建学科思维 10 7.已知满足，求分式 的值. 分层训练 构建学科思维 11 解：原式 因为 ， 所以 ， 所以原式 ． 分层训练 构建学科思维 12 8.已知，满足，求分式 的值. 解：根据题意，得，，则 把分式的分子和分母同时除以 ，得 原式 因为，所以 所以原式 分层训练 构建学科思维 13 类型4 变换条件和结论后，代入求值 9.已知，求 的值． 分层训练 构建学科思维 14 解：原式 因为 ， 所以， ， 解得， ． 当，时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 15 10.已知，满足，求 的值. 解：原式 分层训练 构建学科思维 16 因为 ， 所以 所以原式 分层训练 构建学科思维 $第2章 分式 2.4 整数指数幂 2.4.3 整数指数幂的基本性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点 整数指数幂的运算 1.计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 2.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算 的结果为( ) A A. B. C. D. 4.计算： （1） _ ______； （2） ____. 分层训练 构建学科思维 4 5.若，则 等于( ) A A. B. C. D. 6.计算： ____________.（结果写成 科学记数法的形式） 分层训练 构建学科思维 5 7.（教材P51习题 变式）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （5） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 8.阅读下列解题过程： 第一步 第二步 .第三步 上述解题过程中，从第____步开始出错，应改正为____________ ________. 二 分层训练 构建学科思维 9 9.已知，，求 的值. 分层训练 构建学科思维 10 解：因为， ， 所以， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 11 $第2章 分式 专题训练（四） 分式方程应用的常见类型 1 类型1 行程问题 1.（2024·绥化）一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该 航速沿江顺流航行 所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等，则江水的流速为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.（广东中考）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 ，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙 的1.2倍，结果甲比乙早到 ，求乙同学骑自行车的速度． 解：设乙同学骑自行车的速度为 ，则甲同学骑自行车的 速度为 . 根据题意，得 . 解得 ． 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意. 答：乙同学骑自行车的速度为 . 分层训练 构建学科思维 3 类型2 工程问题 3.（教材P54思考变式）（2024·扬州）为了提高垃圾处理效率， 某垃圾处理厂购进、两种机器，型机器比 型机器每天多处 理40吨垃圾，型机器处理500吨垃圾所用天数与 型机器处理 300吨垃圾所用天数相等. 型机器每天处理多少吨垃圾？ 分层训练 构建学科思维 4 解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理 吨垃圾. 根据题意，得 . 解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答： 型机器每天处理60吨垃圾. 分层训练 构建学科思维 5 4.（沈阳中考）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加 工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个 这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件． 解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工 个这 种零件. 根据题意，得，解得 . 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙每小时加工8个这种零件． 分层训练 构建学科思维 6 类型3 销售问题 5.（桂林中考）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的 中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在 甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲 商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等． 分层训练 构建学科思维 7 （1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ 解：设在乙商店租用服装每套 元，则在甲商店租用服装每套 元， 由题意，得,解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 所以 . 答：在甲，乙两个商店租用的服装每套分别为50元，40元． 分层训练 构建学科思维 8 （2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛 队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少， 并说明理由． 分层训练 构建学科思维 9 解：在乙商店租用服装的费用较少．理由如下： 该参赛队伍准备租用20套服装时， 甲商店的费用为 （元）， 乙商店的费用为 （元）. 因为 ， 所以在乙商店租用服装的费用较少. 分层训练 构建学科思维 10 6.（长春中考）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳 获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳 在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元. 预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元.已知去年的 年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 分层训练 构建学科思维 11 解：设该村企去年黑木耳的年销量为 万斤，则今年黑木耳的年 销量为 万斤， 根据题意，得 . 方程两边同乘最简公分母 ,得 . 解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤. 分层训练 构建学科思维 12 类型4 其他问题 7.（丹东中考）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿 捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1 800本，八年级捐书 人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书 数量的1.5倍.求八年级捐书人数是多少？ 分层训练 构建学科思维 13 解：设八年级捐书人数是人，则七年级捐书人数是 人. 根据题意，得 ， 方程两边同乘最简公分母 ， 得 . 解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 答:八年级捐书人数是450人. 分层训练 构建学科思维 14 8.（岳阳中考）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳 阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖面积 相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量． 分层训练 构建学科思维 15 解：设今年龙虾的平均亩产量为 ，则去年龙虾的平均亩产量 为 ， 根据题意，得 . 解得 . 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意． 答：今年龙虾的平均亩产量为 ． 分层训练 构建学科思维 16 $第2章 分式 全国视野+核心素养专练 1 1.【跨学科融合】（杭州中考）照相机成像应用了一个重要原理， 用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片（像）到镜头的距离.已知 ，，则 ( ) C A. B. C. D. 2.【整体思想】（济南中考）若，则代数式 的值是( ) D A. B.2 C. D.4 分层训练 构建学科思维 2 3.【数形结合思想】（玉林中考）若 是非负整数，则表示 的值的对应点落在如图数轴上的范围是( ) B A.① B.② C.③ D.①或② 分层训练 构建学科思维 3 4.【数学文化】（广西中考）《千里江山图》是宋代王希孟的作 品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的 矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 ，且四周边衬的宽度 相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为 米，根据题 意可列方程( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 5.（临沂中考）将浓度为的酒精稀释为 的酒精.设需 要加水 ，根据题意可列方程为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 6.（绥化中考）有一个容积为 的圆柱形的空油罐，用一根 细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用 一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注 满油的全过程共用30分钟.设细油管的注油速度为每分钟 ， 由题意列方程，正确的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 7.【抽象能力、模型观念、应用意识】“行人守法，安全过街”体 现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的 文明程度.如图,在某路口的斑马线路段 横穿双向车道， 其中， 米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通 过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过 的 速度.设小刚通过的速度为 米/秒，则根据题意列方程为 ( ) 分层训练 构建学科思维 7 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 8 8.【应用意识】2025年春节，是申遗成功以后的首个春节，春晚 开场歌舞《如意舞步》在重庆万州望江大台阶取景，向全国乃至 全世界展现了万州的魅力和风采.万州望江大台阶以江为琴、以 楼为幕、以桥为弦、以光为歌，共设有331步梯台，是有名的网 红打卡地.某天，小刚同学计划完成240步梯台的登梯任务，他如 果将速度提高 ，则可以提前1分钟完成登梯.设他原计划每分钟登 梯 步，则可以列出方程为( ) 分层训练 构建学科思维 9 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 10 9.【创新题】（深圳中考）定义一种新运算 ，例如 ，若 ，则 ( ) B A. B. C.2 D. 分层训练 构建学科思维 11 10.【运算能力、推理能力】（重庆B卷中考）关于 的分式方程 的解为正数，且关于 的不等式组 的解集为，则所有满足条件的整数 的值 之和是( ) A A.13 B.15 C.18 D.20 分层训练 构建学科思维 12 [解析] 解分式方程，得 . 因为且 ， 所以且 ， 所以且 ， 解不等式组，得 因为不等式组的解集为 ， 分层训练 构建学科思维 13 所以 ， 所以 ， 所以且 ， 所以所有满足条件的整数的值之和为 . 分层训练 构建学科思维 11.【创新题】（宁波中考）定义一种新运算：对于任意的非零实 数，，.若，则 的值为____. 12.【运算能力、应用意识、创新意识】（广东中考）若 且，则 _____. 分层训练 构建学科思维 15 13.【运算能力、模型观念、应用意识】截 至2025年4月3日，《哪吒之魔童闹海》总 票房达155.4亿元，登顶全球动画电影票房 榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创 造了全球单一电影市场最高票房纪录.该片来源于哪吒闹海的传 统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实 则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈 分层训练 构建学科思维 16 精神，让观众泪目.某玩具店抓住商机，决定各用500元购进、 两种哪吒玩偶（如图）.已知一个种玩偶是一个 种玩偶价格的2 倍，且购进两种玩偶的数量共30个.求购进、 两种哪吒玩偶的 单价各是多少元？#3 分层训练 构建学科思维 解：设种玩偶的单价是元，则种玩偶的单价是 元. 根据题意，得 . 解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 所以 （元）. 答：种玩偶的单价是25元， 种玩偶的单价是50元. 分层训练 构建学科思维 18 14.【运算能力、推理能力、应用意识】探索发现： ； ; 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）______， ________； （2）利用你发现的规律计算： ____； 分层训练 构建学科思维 19 （3）灵活利用规律解方程： . 分层训练 构建学科思维 20 解：原方程可变形为 …+ . 整理，得 . 去分母，得 . 解得 . 检验：当时， . 所以 是原分式方程的解. 分层训练 构建学科思维 21 $第2章 分式 2.4 整数指数幂 2.4.1 同底数幂的除法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶知识点1 同底数幂的除法法则 1.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 2.（常州中考）计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 3.如果，那么 的值是______. 分层训练 构建学科思维 3 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点2 同底数幂的除法的实际应用 5.一种液体每升含有 个有害细菌，为了测试某种杀菌剂的效 果，科学家们进行了试验，发现一滴杀菌剂可以杀死 个此种 细菌.要将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 _____滴. 6.（教材P44做一做变式）某种数码照片的文件大小是 ，一个 存储量为 的移动存储器能存储____张这样的数 码照片. 分层训练 构建学科思维 6 7.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 8.若，则的值是___， 的值是___. 2 4 分层训练 构建学科思维 7 9.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 （3） . 解：原式 . 10.若，求 的值. 解：因为 ， 所以 ， 所以 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 9 11.设，，求 的值. 解：因为， ， 所以原式 . 分层训练 构建学科思维 10 $第2章 分式 2.2 分式的加法和减法 第2课时 通分 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 最简公分母 1.分式和 的最简公分母是( ) C A. B. C. D. 2.分式和 的最简公分母是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.分式和 的最简公分母是_______. 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 分式的通分 4.分式与通分时， 的分子、分母要同乘( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.通分： （1）， ； 解：最简公分母是 ， , . （2）, ; 解：最简公分母是 ， , . 分层训练 构建学科思维 6 （3）, . 解：最简公分母是 ， , . 分层训练 构建学科思维 7 6.若将分式与分式通分后，分式 的分母变为 ，则分式 的分子应变为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 7.通分： （1）, ; 解：最简公分母是 ， ， . 分层训练 构建学科思维 9 （2）,, . 解：最简公分母是 ， , ， . 分层训练 构建学科思维 10 8.甲工程队完成一项工程（设工程总量为“单位1”）需要 天，乙工程队完成这项工程要比甲工程队多用8天，写出甲、乙 两队每天完成的工作量（用含 的式子表示）.若两式的分母不同， 则将两个式子进行通分. 分层训练 构建学科思维 11 解：甲工程队每天完成的工作量为 ， 乙工程队每天完成的工作量为 .因为最简公分母是 , 所以 , . 分层训练 构建学科思维 12 $第2章 分式 2.3 分式的乘法和除法 第1课时 分式的乘法和除法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 分式的乘法 1.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 2.计算： ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 分式的除法 4.化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 5.化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式 完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行 一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示， 接力中自己负责的一步出现错误的同学是( ) B A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 分层训练 构建学科思维 7 7.计算： （1） ； 解：原式 . （2）（连云港中考） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 8.（随州中考）先化简，再求值：，其中 ． 解：原式 . 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 9 9.化简 ，其结果是( ) A A. B.2 C. D. 10.化简的结果是，则 的值是( ) B A.1 B. C.2 D. 分层训练 构建学科思维 10 11.若有意义，则 的取值范围是____________________. 12.如果，那么代数式 的值是__. 且且 分层训练 构建学科思维 11 13.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 14.已知：，， ，若 ，求 ． 解： ， ， . 因为 ， 所以 ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 14 15.有这样一道题：“化简求值： ，其中 ，.”小华误将写成 ，最 后的计算结果仍然是正确的，这是什么原因？ 解：原式 . 因为不管取何值，原式的值只与的取值有关，与 值无关， 所以小华误将写成 ，最后的计算结果仍然 是正确的. 分层训练 构建学科思维 15 $第2章 分式 2.1 分式的概念及基本性质 第2课时 分式的基本性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶知识点1 分式的基本性质 1.使得等式成立的 的取值范围为( ) D A. B. C.或 D. 2.（扬州中考）分式 可变形为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（教材28练习 1变式）根据分式的基本性质填空： （1） ； [答案] （2） ； [答案] ； （3） ； [答案] ； 分层训练 构建学科思维 4 （4） ； [答案] ； （5） [答案] 分层训练 构建学科思维 5 4.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： （1） ； 解： （2） 解： 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点2 分式的约分及最简分式 5.把分式 约分得( ) D A. B. C. D. 6.下列分式中，是最简分式的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.下列约分正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 8.约分： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 （3） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 9 （4） 解：原式 9.当时，求分式 的值. 解：原式 当时，原式 分层训练 构建学科思维 10 10.若把分式中的， 同时扩大为原来的2倍，则得到的分式 的值( ) D A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.缩小为原来的 11.（百色中考）当时，分式 的值是( ) A A. B. C.3 D.15 分层训练 构建学科思维 11 12.下列式子中：，，， ，最简分 式有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.小丽在化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请 你推测， 部分的代数式应该是____________. 14.已知长方形的面积为，其中一边长为 ， 则与之相邻的一边长为_________ ． 分层训练 构建学科思维 12 15.当，时，求分式 的值. 解：原式 当， 时， 原式 分层训练 构建学科思维 13 16.已知分式 （1）当满足什么条件时，分式有意义？当 满足什么条件时， 分式值为零？ 解：当，即 时，分式有意义， 当且，即 时，分式的值为零. （2）约分： 解： 分层训练 构建学科思维 14 17.【阅读理解问题】小学里，把分子比分母小的数叫做真分数. 类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， 反之，称为假分式.对于任何一个假分式，都可以化成整式与真 分式的和的形式. 如： （1）下列分式中，属于真分式的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 15 （2）将假分式 化成整式与真分式的和的形式； 解： （3）若的值是整数，求整数 的值. 解：由（2），得 因为的值为整数，且 为整数， 所以或1或或4或 或2. 所以整数的值为或0或或3或 或1. 分层训练 构建学科思维 16 $第2章 分式 易错易混专练 1 易错点1 忽略分式的分母不能为0而致错 1.若分式的值等于0，则 的值为( ) D A. B.0 C. D.2 2.当时，分式的值为0，则， 必须满足的条件是 ________________. ， 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 对分式的基本性质理解不清而致错 3.下列变形正确的是( ) D A. B. C. D. 4.下列分式变形正确的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 易错点3 忽视分式除法的隐含条件而致错 5.使 有意义的条件是( ) D A.且 B.且 C.且 D.且且 分层训练 构建学科思维 4 易错点4 弄错运算顺序而致错 6.计算： . 某同学给出了解答过程： 分层训练 构建学科思维 5 解： . 试说明该同学的求解是否正确？如有错误，请指出来，并写出正 确的解答过程. 解：该同学的求解不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右， 正确的解答过程如下： . 分层训练 构建学科思维 6 易错点5 忽视分数线的括号作用而致错 7.计算： ___. 2 分层训练 构建学科思维 7 8.（宁夏中考）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务. 第一步 第二步 第三步 .第四步 分层训练 构建学科思维 8 任务一： 填空. ①以上化简步骤中，第____步是通分，通分的依据是__________ _______. ②第____步开始出现错误，错误的原因是____________________ _______________. 一 分式的基 本性质 二 去括号时，括号内的 各项没有全变号 分层训练 构建学科思维 9 任务二： 写出该分式化简后的正确结果. 解： . 分层训练 构建学科思维 10 易错点6 去分母时，常数项漏乘最简公分母而致错 9.解方程： . 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 . 解得 . 检验：当时， . 所以，原分式方程的解为 . 分层训练 构建学科思维 11 易错点7 考虑问题不全面而致错 10.（遂宁中考）若关于的方程无解，则 的值为( ) D A.0 B.4或6 C.6 D.0或4 11.若分式的值为负数，则 的取值范围是_____________. 12.（泸州中考）若关于的分式方程 的解为正实数， 则实数 的取值范围是_______________. 且 且 分层训练 构建学科思维 12 $第2章 分式 2.1 分式的概念及基本性质 第1课时 从分数到分式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶知识点1 分式的概念 1.设，都是整式，若 表示分式，则( ) C A.，都必须含有字母 B. 必须含有字母 C.必须含有字母 D.， 都不含有字母 2.下列各式中，属于分式的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.一辆汽车行驶了，则它的平均速度为__ ；若该汽 车加速后同样行驶，用时减少 ，则它的平均速度是 ______ 分层训练 构建学科思维 4 ▶知识点2 分式的值存在、不存在或等于0的条件 4.（广西中考改编）若分式的值存在，则 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 5.若分式的值不存在，则 的值是( ) D A. B. C. D. 6.（湖州中考）若分式的值为0，则 的值是( ) A A.1 B.0 C. D. 分层训练 构建学科思维 5 7.（教材24例1变式）已知分式 （1）当取何值时， 的值不存在？ 解：当分母，即时，分式 的值不存在. （2）当取何值时， 的值等于0？ 解：当分子，即时，分母，分式 的 值等于0. 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点3 求分式的值 8.（湖州中考）当时，分式 的值是___. 9.（2024·济宁）已知，则 的值是___. 2 2 分层训练 构建学科思维 7 10.（教材25例2变式）求下列条件下分式 的值： （1） ； 解：当时， （2） 解：当时， 分层训练 构建学科思维 8 11.在式子，，，，，， 中，是分式的 有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.无论 取何值，下列分式的值总是存在的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 13.（凉山州中考）分式的值为0，则 的值是( ) A A.0 B. C.1 D.0或1 14.有游客人，如果每 个人住一个房间，结果还有一个人无房 间可住，那么客房的间数为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 15.当时，分式的值不存在，则当时，分式 的 值为_ _. 分层训练 构建学科思维 11 16.求下列各分式的值： （1），其中 ； 解：当 时， . （2），其中， . 解：当， 时， . 分层训练 构建学科思维 12 17.小红、小刚、小明三位同学在讨论：当 取何整数时，分式 的值是整数？ 小红说：这个分式的分子、分母都含有，它们的值均随 取值的 变化而变化，有点难． 分层训练 构建学科思维 13 小刚说：我会解这类问题：当取何整数时，分式 的值是整数？ 3是 的整数倍即可，注意不要忘记负数哦． 小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的 “假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与 “真分数”的和．比如： （通常写成带分数： ） ．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这 样的分式为“假分式”，若将 化成一个整式与一个“真分式”的 和，就转化成小刚说的那类问题了！ 小红、小刚说：对！我们试试看！…#1.4 分层训练 构建学科思维 （1）解决小刚提出的问题； 解：当的值为或时，分式 的值是整数， 所以可取的整数为0，，2， ． （2）解决他们共同讨论的问题． 解：根据题意，得 ， 当的值为， 时，分式的值为整数， 所以可取的整数为0，，4， ． 分层训练 构建学科思维 15 $第2章 分式 2.4 整数指数幂 2.4.2 零次幂和负整数指数幂 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶知识点1 零次幂 1.（2024·雅安）计算 的结果是( ) C A. B.0 C.1 D.4 2.若，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 3.（黄冈中考）计算： ___． 2 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 知识点2 负整数指数幂 4.计算 的正确结果为( ) C A.3 B. C. D.1 5.计算 的正确结果为( ) B A. B. C. D. 6.与 互为倒数的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 7.（教材P47练习T2变式）把下列各式写成分式的形式： （1） _ __; （2） _ _____. 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点3 用科学记数法表示绝对值小于1的数 8.一滴水约为 ，这个数据用科学记数法表示正确的 是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 9.（2024·广元）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科 学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉 冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是 秒，也就是十亿分之 一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿 秒，将43阿秒用科学记数法表示为____________秒. 分层训练 构建学科思维 7 10.用小数表示下列各数： （1） ___________； （2） _____________. 分层训练 构建学科思维 8 11.若有意义，则 的取值范围是( ) D A. B. C.或 D.且 12.已知， 是正整数，那么下列各式中，错误的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 13.如果，，，那么，， 的 大小关系为( ) B A. B. C. D. 14.若，则整数 ___. 15.某种病毒的直径是120纳米，1纳米 米，则这种病毒的 直径是___________厘米. 2 分层训练 构建学科思维 10 16.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 17.【转化思想】若，试求 的值. 解： . 因为,所以 , 所以原式 . 分层训练 构建学科思维 12 $第2章 分式 2.2 分式的加法和减法 第1课时 同分母分式的加减 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 同分母分式的加减 1.（广东中考）计算 的结果为( ) C A. B. C. D. 2.（2024·天津）计算 的结果等于( ) A A.3 B. C. D. 3.化简 的结果为______. 分层训练 构建学科思维 3 4.（黄冈中考）计算： . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 5.（鄂州中考）先化简，再求值：，其中 ． 解：原式 . 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 分式的符号变换法则 6.分式 可变形为( ) D A. B. C. D. 7.（2024·威海）计算： ________. 分层训练 构建学科思维 6 8.（淄博中考）化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 9.如图，数轴上的点，， 表示三个连续的整数，对应的数分 别为，，.若，则 的值是__. 分层训练 构建学科思维 7 10.计算： . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 11.【整体思想】已知，且 . 求 的值. 分层训练 构建学科思维 9 解：原式 . 因为,且 ， 所以,, . 所以原式 . 分层训练 构建学科思维 10 $第2章 分式 2.3 分式的乘法和除法 第2课时 分式的乘方 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 分式的乘方 1.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 2.下列等式成立的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 知识点2 分式的混合运算 4.下列分式计算正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 5.计算： （1） ____； （2）（2024·临夏州改编） ____. 分层训练 构建学科思维 6 6.计算： （1） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （2）（2024·徐州节选） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 7.已知为整式，计算的结果为，则 ( ) D A. B. C. D. 8.如果代数式，那么 的值为___. 1 分层训练 构建学科思维 9 9.计算： （1） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 10.当时，求分式 的值. 解：原式 . 当时，原式 . 分层训练 构建学科思维 12 11.【新定义】定义：若分式与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式是分式 的“互动分式”. （1）判断下列分式是否为分式 的“互动分式”（若是，填“√”； 若不是，填“×”）； ①， （___）； √ ②， （___）； × ③， （___）. × 分层训练 构建学科思维 13 （2）小益在求分式 的“互动分式”时，用了以下方法：设 的“互动分式”为，则 ， 所以 ， 所以 . 请你仿照小益的方法求分式 的“互动分式”. 分层训练 构建学科思维 14 解：设分式的“互动分式”为，则 . 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以，即分式的“互动分式”为 . 分层训练 构建学科思维 15 微专题1 教你解决“ ”型问题 【例】 已知 ，试求下列各式的值. （1） ___; （2） ____; （3） __________. 7 47 或 分层训练 构建学科思维 16 已知,求 的值. 解：将移项,得,两边同除以 ,得 . 所以,即.所以 . 分层训练 构建学科思维 17 方法指导：（1） ; （2） ; （3） . 【变式应用】若，则 等于( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 18 $第2章 分式 2.2 分式的加法和减法 第3课时 异分母分式的加减 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 异分母分式的加减法 1.化简 的结果是( ) D A. B. C. D. 2.（天津中考）计算 的结果等于( ) C A. B. C. D. 3.计算： ___. 分层训练 构建学科思维 3 4.计算： . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 5.一个工程，甲单独做要小时，乙单独做要 小时，则两人合作 3小时的工作量为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 6.如图，若为正整数，则表示 的值的点落在( ) B A.段① B.段② C.段③ D.段④ 7.【整体思想】（2024·雅安改编）已知 ,则 ___. 2 分层训练 构建学科思维 6 8.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 9.已知，求， 的值. 解：因为 ， 所以解得 分层训练 构建学科思维 8 10.现有大、小两艘轮船，小船每天运 吨货物，大船比 小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务， 小船完成运送80吨货物的任务． （1）分别写出大船、小船完成任务所用的时间； 解：大船完成任务所用的时间为 天，小船完成任务所用的时 间为 天. 分层训练 构建学科思维 9 （2）试说明哪艘轮船完成任务所用的时间少. 解： . 因为,所以,即 . 答：小船完成任务所用的时间少. 分层训练 构建学科思维 10 11.已知，如果将分式 的分子、分母都加上同一个不 为0的数后，所得分式的值比 是增大了还是减小了？请按照以下 要求尝试做探究. （1）比较大小：___ . 分层训练 构建学科思维 11 （2）当所加的这个数为1时，请通过计算说明你的结论. 解：增大了.理由如下：因为 ，所以 . （3）当所加的这个数为 时，你能得到什么结论？请说 明理由. 解：当所加的这个数为 时，仍是增大了.理由如下： 因为，所以 . 分层训练 构建学科思维 12 $第2章 分式 专题训练（三） 分式方程的解法 1 易错提示：分式方程无解可能有两种情况：（1）由分式方程去 分母后化成的整式方程有解，但这个解使最简公分母为零；（2） 由分式方程去分母后化成的整式方程无解. 分层训练 构建学科思维 2 类型1 解分式方程 1.解下列分式方程： （1） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 分层训练 构建学科思维 3 （2） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 分层训练 构建学科思维 4 （3） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 分层训练 构建学科思维 5 （4） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程无解. 分层训练 构建学科思维 6 （5）（泰州中考） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 ． 分层训练 构建学科思维 7 （6）（连云港中考） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解为 ． 分层训练 构建学科思维 8 （7） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 分层训练 构建学科思维 9 （8） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程无解. 分层训练 构建学科思维 10 （9） 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 分层训练 构建学科思维 11 2.解下列方程： （1） ； 分层训练 构建学科思维 12 解：原方程可化为 即 方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 分层训练 构建学科思维 13 （2） 解：原方程可化为 即 所以 即 解得 分层训练 构建学科思维 14 检验：当 时， ， 所以原分式方程的解是 分层训练 构建学科思维 类型2 同解问题 3.已知关于的分式方程与分式方程 的解相同， 求 的值. 分层训练 构建学科思维 16 解：解分式方程，得 检验：当时， ， 所以原分式方程的解是 将代入，得 ， 解得 则 分层训练 构建学科思维 17 类型3 由分式方程无解确定参数的取值 4.若关于的分式方程无解，则 的值为( ) A A. B. C. D.5 5.【分类讨论思想】若关于的方程无解，则 的值 是______. 6.【分类讨论思想】若关于的方程无解，则 的值是_ _____. 1或2 2或 分层训练 构建学科思维 18 $第2章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 分式方程的有关概念 1.下列方程中，是分式方程的是( ) B A. B. C. D. 2.在方程，，， 中，分式方 程有___个. 3 分层训练 构建学科思维 3 知识点2 分式方程的解法 3.把分式方程 化为一元一次方程时，方程两边需同乘 ( ) D A. B. C. D. 4.（株洲中考）将关于的分式方程 去分母可得( ) A A. B. C. D. 5.（兰州中考）方程 的解是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 6.（淄博中考）已知是方程的解，那么实数 的值为( ) B A. B.2 C. D.4 7.（2024·凉山州）方程 的解是______. 分层训练 构建学科思维 5 8.解下列方程： （1）（广西中考） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 ． 检验：把 代入原方程，得 左边 右边， 因此， 是原分式方程的解. 分层训练 构建学科思维 6 （2）（湘潭中考） ； 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：把 代入原方程，得 左边 右边， 因此， 是原分式方程的解. 分层训练 构建学科思维 7 （3）（郴州中考） 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：把 代入原方程，得 左边 右边， 因此， 是原分式方程的解. 分层训练 构建学科思维 8 知识点3 分式方程无解的情况 9.若关于的分式方程无解，则 的值为( ) A A. B. C.或0 D.0或 10.若关于的方程无解，则 的值为_______. 0或12 分层训练 构建学科思维 9 11.分式方程 的解为( ) D A. B. C. D.无解 12.若分式方程无解，则 的值是( ) D A.3或2 B.1 C.1或3 D.1或2 分层训练 构建学科思维 10 13.定义一种新运算：，若，则 的值 为( ) A A. B. C. D. 14.若关于的分式方程的解与方程 的解相同，则 ___. 1 分层训练 构建学科思维 11 15.解下列方程： （1）（陕西中考） ； 分层训练 构建学科思维 12 解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ． 去括号，得 ． 移项，合并同类项，得 ． 解得 ． 检验：当时， ， 所以原分式方程的解为 ． 分层训练 构建学科思维 13 （2） 解：原方程变形为 方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：当时， ， 所以原分式方程无解. 分层训练 构建学科思维 14 16.已知关于的方程无解，求 的值. 分层训练 构建学科思维 15 解：方程两边同乘最简公分母 ， 得 整理得 当方程无解时， 所以 当，即 时，原分式方程无解， 当，且时， 解得 综上所述，的值是1或 分层训练 构建学科思维 16 17.已知点，在数轴上所对应的数分别为，，若， 两 点关于原点对称. （1）当时，求 的值； 分层训练 构建学科思维 17 解：根据题意，得 ， 把代入，得 ， 方程两边同乘最简公分母 ，得 解得 检验：当时， ， 所以 的值为10. 分层训练 构建学科思维 18 （2）若不存在满足条件的值，求 的值. 解： ， 方程两边同乘最简公分母 ，得 已知不存在满足条件的值，则 把代入 ，得 ， 解得 所以的值为 分层训练 构建学科思维 19 $第2章 分式 综合与实践 1 1.为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动 装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品 牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，用 4 000元购买队服的套数是用1 600元购买足球的个数的2倍． 分层训练 构建学科思维 2 （1）每套足球队服和每个足球的价格分别是多少？ 解：设每个足球的价格是 元，则每套足球队服的价格为 元，根据题意，得 ，解得 . 经检验， 是分式方程的解，且符合题意. 所以每套足球队服的价格为 （元）. 答：每个足球的价格是80元，每套足球队服的价格是100元. 分层训练 构建学科思维 3 （2）甲商场的优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙 商场的优惠方案是：若购买队服超过90套，则购买足球打八 折．若计划一共购买100套队服和个足球，请用含 的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用; 解：甲商场购买装备所花的费用为 元. 乙商场购买装备所花的费用为 元. 分层训练 构建学科思维 4 （3）在（2）的条件下，若需要购买40个足球，你认为到甲、乙 哪家商场购买比较合算？请说明理由． 解：到甲商场购买比较合算，理由如下： 当 时，甲商场购买装备所花的费用为 （元）， 乙商场购买装备所花的费用为 （元）， 因为 ， 所以到甲商场购买比较合算． 分层训练 构建学科思维 5 2.随着时代的迅速发展，汽车如今已经成为了最常见的代步工具, 但油价经常有所浮动，如何加油更省钱也成为人们关心的话题. 【想一想】 问一问周围的人都怎样加油，为什么这样选择，尝试说明其中的 道理. 分层训练 构建学科思维 6 【做一做】 同学们分组调查发现，在实际生活中，通常会有以下两种加油方式: 方式一:按照相同金额加油，例如每次都加300元的92号汽油; 方式二:按照相同油量加油，例如每次都加 的92号汽油. 分层训练 构建学科思维 7 （1）用上述方式分别加两次油,那么两种加油方式的平均油价各 是多少? 解：设第一次油价为元/,第二次油价为元/. 第一种加油方式的平均油价为 （元/ ）. 第二种加油方式的平均油价为 （元/ ）. 分层训练 构建学科思维 8 （2）比较两种加油方式的平均油价，说明哪种加油方式更合算; 解：当时， . 又,均为正数,则 , 即 ,所以第一种加油方式更合算. 分层训练 构建学科思维 9 （3）将此方法分享给你身边的人,并讨论还有没有其他省钱的方法. 【试一试】 想一想生活中还有没有其他实际问题可以应用这个方法解决呢? 有想法的同学可以和其他同学分享哦. 解：略. 分层训练 构建学科思维 10 $第2章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 分式方程的实际应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 1.（广州中考）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速 ，动车提速后行驶与提速前行驶 所用的时 间相同．设动车提速后的平均速度为 ，则下列方程正确的 是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.甲、乙两地相距 ，一艘轮船从甲地顺流到乙地，又从乙 地立即逆流到甲地，共用，已知水流速度为 ，若设此 轮船在静水中航行的速度为 ，则此轮船顺流航行的速度为 ________，此轮船逆流航行的速度为________ ，根据 题意可列方程为_ ____________. 分层训练 构建学科思维 4 3.爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3 倍，若设孙子现在的年龄是 岁，则爷爷现在的年龄是____岁， 12年后孙子的年龄是_________岁，12年后爷爷的年龄是_______ _____岁，根据“12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍”，可列分式方 程为__________，解这个分式方程，得 ____，即孙子现在的 年龄是____岁. 12 12 分层训练 构建学科思维 5 4.（贵州中考）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据 市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更 新设备后生产效率比更新前提高了 ，设更新设备前每天生产 件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产_______件产品（用含 的式子表示）； 分层训练 构建学科思维 6 （2）更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产 品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 解：由题意，得 ， 解得 . 经检验， 是原分式方程的解， （件）． 答：更新设备后每天生产125件产品． 分层训练 构建学科思维 7 5.某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变， . 设原计划每天绿化的面积为 万平方米，列方程为 ，根据方程可知省略的部分是( ) 分层训练 构建学科思维 8 A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ，结果提前30 天完成了这一任务 B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ，结果延误30 天完成了这一任务 C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 ，结果延误30 天完成了这一任务 D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 ，结果提前30 天完成了这一任务 √ 分层训练 构建学科思维 9 6.某校举行“名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直 播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了 ，并 比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元.根据题 意，求出原计划每间直播教室的建设费用是( ) C A.1600元 B.1800元 C.2000元 D.2400元 分层训练 构建学科思维 10 7.某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每 个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算 器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大，每个进价比上 次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出. 求这笔生意该店共盈利多少元？ 分层训练 构建学科思维 11 解：设该店第一次购进计算器个，则第二次购进计算器 个， 根据题意,得 , 方程两边同乘最简公分母 ,得 .解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 则这笔生意该店共盈利 （元）. 答：这笔生意该店共盈利520元. 分层训练 构建学科思维 12 8.（扬州中考）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进 货单已被墨水污染. 进货单 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 __________________________________________ 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高 . 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件. 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单. 分层训练 构建学科思维 13 解：设乙商品的进价为元/件，则甲商品的进价为 元 /件， 根据题意，得 . 方程两边同乘最简公分母 ,得 ， 解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 分层训练 构建学科思维 14 所以， ， . 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲 商品120件，购进乙商品80件. 分层训练 构建学科思维 9.甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息: 信息一:甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5 小时; 信息二:甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等; 信息三:丙的工作效率是甲的工作效率的2倍. 如果每小时只安排1名打字员，若按照甲、乙、丙的顺序至完成 工作任务，共需多长时间？ 分层训练 构建学科思维 16 解：设甲单独完成任务需要 小时，则乙单独完成任务需要 小时， 根据题意，得 . 方程两边同乘最简公分母 ,得 ， 解得 . 经检验， 是原方程的根，且符合题意. 分层训练 构建学科思维 17 则丙的工作效率是 . 所以一轮的工作量为 . 所以四轮后剩余的工作量为 . 所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要完成的工作量为 . 所以丙还需要工作 （小时）. 故一共需要的时间是 （小时）. 答：若按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需 小时. 分层训练 构建学科思维 $第2章 分式 专题训练（二） 分式的运算 1 ▶ 类型1 分式的加减运算 方法点拨:异分母分式相加减的一般步骤: （1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式;（2）写成“分母 不变，分子相加减”的形式;（3）分子去括号、合并同类项;（4） 分子、分母约分，将结果化成最简分式. 分层训练 构建学科思维 2 1.计算： （1）（衢州中考） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 3 （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 类型2 分式的乘除、乘方运算 方法点拨：分式的乘、除、乘方的混合运算顺序是先算乘方，再 算乘除，同级运算按从左到右的顺序进行.进行分式的乘方运算 时，当分子（分母）是多项式时，一定要加括号. 分层训练 构建学科思维 7 2.计算： （1） ; 解：原式 . （2）（徐州中考） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 ▶ 类型3 分式的混合运算 方法点拨:分式的混合运算:（1）分式的混合运算，应先算乘方， 再算乘除，最后算加减，如果有括号，应先算括号里面的;（2） 运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等,运算结果 必须是分式或整式. 分层训练 构建学科思维 10 3.计算： （1） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （2）（南通中考） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 （3） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （4） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （5）（陕西中考） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 15 （6） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 16 （7） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 17 $