6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

【课标要求】　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．　

【导学】

学习目标一　平面向量数乘运算的坐标表示

　师问：已知向量a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？

生答：

 

 

 

例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

总结：向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行计算，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

跟踪训练1　(1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　)

A．(1，－2)    B．(1，2)

C．(5，6)    D．(2，0)

 

(2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝(　　)

A．(－2，－2)    B．(2，2)

C．(1，1)    D．(－1，－1)

学习目标二　平面向量共线的坐标表示

　师问：已知a，b两个向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？

生答：

 

 

 

 

例2(1)已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)

A．－9    B．9

C．3    D．－3

 (2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1，1)，＝(2，－3)，＝(－

6，29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由．

总结：(1)利用向量共线定理，由推出

(2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0＝(x1，y1)，＝(x2，y2))直接判断与平行．

跟踪训练2　已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)，若＝2a+3b，a＋mb且A，B，C三点共线，求实数m的值．

 

学习目标三　定比分点坐标公式及应用

师问：直线l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝，λ叫做点P分有向线段所成的比，当λ＝1时，点P位于何位置？你能求出点P的坐标吗？

生答：

例3 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1， y1 )，B(x2，y2 )，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标．

总结：(1)解决向量中的分点问题，关键是找出分得的两向量的关系，再根据向量相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实数化，但要注意分点的位置情况．

(2)本例求得的G点的坐标即是△ABC重心的坐标．

 

跟踪训练3　已知点P1(1，3)，P2(4，－6)，P是直线P1P2上的一点，且，那么点P的坐标为________．

【导练】

1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝(　　)

A．(1，－1)    B．(－1，1)

C．(－4，6)    D．(4，－6)

2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b(　　)