6.3.2～6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量加、减运算的坐标表示

 

 

【课标要求】　1. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2. 掌握平面向量加减法运算的坐标表示．

【导学】

学习目标一　平面向量的正交分解及坐标表示

　师问：(1)如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？

(2)如图，在直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？

 

生答：

 

 

 

 

例1 如图，取与x轴，y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标．

总结：(1)求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．

(2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向．

跟踪训练1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　)

A．(1，1)　　　　B．(－1，－1)

C． D．

　学习目标二　平面向量加、减运算的坐标表示

师问：(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？

(2)如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？

生答：

 

 

例2 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝b

(1)求a＋b－c；

(2)求点M，N的坐标及向量的坐标．

 

 

平面向量坐标运算的策略

 

跟踪训练2　在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)＝(－1，2)，则＝

(　　)

A．(－2，4)    B．(4，6)

C．(－6，－2)    D．(－1，9)

学习目标三　平面向量坐标运算的应用

 

例3 已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若，试求λ为何值时，

(1)点P在第一、三象限角平分线上；

(2)点P在第一象限内．

 

总结：(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，⇔x1＝x2，且y1＝y2.

(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．

跟踪训练3　如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3).

(1)写出向量的坐标；

(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．

 

【导练】

1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝(　　)

A．(2，0)    B．(0，1)

C．(2，1)    D．(4，1)

2．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　)

A．2i＋3j    B．4i＋2j

C．2i－j    D．－2i＋j

3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为(　　)