精品解析：江苏省兴化中学2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（开学考试）数学试题

江苏省兴化中学2025-2026学年秋高二阶段测试(一) 学科:数学 2025年9月 总分150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围； 【详解】解：因为，且， 所以； 故选：A 2. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数的对称轴，列式求实数的取值范围. 【详解】由题意，得函数的图象的对称轴为直线．∵函数在区间上是增函数，∴，解得，∴实数a的取值范围是． 故选:D． 3. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为i B. 的共轭复数为 C. 对应的点在第二象限 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数z进行整理化简得到，再选出正确的选项即可. 【详解】∵复数满足，∴，化为：. ∴的虚部为1，，对应的点在第二象限，. 故选：C. 【点睛】这个题目考查了复数问题，复数由实部加上虚部和i构成；复数 的共轭复数为；复数的几何意义之一就是和点一一对应；复数的模长等于. 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直的等价条件列方程即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得：， 故选：B. 5. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺） A. 1946立方尺 B. 3892立方尺 C. 7784立方尺 D. 11676立方尺 【答案】B 【解析】 【分析】设出棱台的高，根据三角形相似求得棱台的高，由棱台的体积公式可得结果. 【详解】 由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6， 设棱台的高为，由可得， 解得，可得正四棱台体积为 ，故选B. 【点睛】本题主要考查阅读能力，考查棱锥与棱台的性质以及棱台的体积公式，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 7. 已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）： 甲组：27、28、39、40、、50；乙组：24、、34、43、48、52.若这两组数据的百分位数、百分位数分别相等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的定义，求出，故选取第2个数据为百分位数，同理选取第5个数据作为百分位数，求出，，进而求出结果. 【详解】因为，大于的比邻整数为2，所以百分位数为，，大于的比邻整数为5，所以百分位数为，所以. 故选：A 8. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围. 【详解】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率，直线的斜率， 由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 已知，则 C. 已知，，，则最小内角的度数为 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质即可判断A；利用余弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，由， 得， 所以， 则， 又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以角为最小角， 则， 又，所以，即最小内角的度数为，故C正确； 对于D，因为， 满足条件的三角形不存在，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 11. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 则 C. O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D. 已知点，直线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】易知A正确；对于B，根据定义直接计算即可判断；对于C，由定义得，即等号至少有一个成立，可得动点R的轨迹为正方形即可判断；对于D，设， 则，接着分情况讨论得到最值即可． 【详解】由题知，故A正确； 对于B，， 故B正确； 对于C，设，且，所以， 则等号至少有一个成立，∴动点R的轨迹为如下正方形，故C错误； 对于D， 设， 则， 当，即时，，则此时最小值为 当，即或时，，无最小值， 综上，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 13. 若，互为对立事件，其概率分别为，，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】 根据，互为对立事件，由其概率之和为1，得到，然后利用“1”的代换，转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为，互为对立事件， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9 故答案为：9 14. 已知都是锐角，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共87分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B. （1）若P为AB的中点时，求l的方程； （2）若最小时，求l的方程； （3）若的面积S最小时，求l的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标求出坐标，直接写出直线的截距式方程，再转化为一般式方程； （2）设出直线的点斜式方程，表示出坐标，利用两点间距离公式先求解出，结合基本不等式求解出取最小值时斜率的取值，由此可求的方程； （3）设出直线的截距式方程，根据点在直线上得到截距满足的关系式，再根据基本不等式可求的取值范围，由此可求取最小值时的值，则直线的方程可求. 【详解】设，， 为AB的中点， ，， 由截距式得l的方程为：，即； 设所求直线的方程为，由题意知， 令，可得，令，可得， 即，， ， ， 当且仅当，即时取等号，取最小值为12， 即直线l的方程为； 由题意设直线的截距式方程为， 直线过，，，， 当且仅当即且时取等号， 的面积， 面积的最小值为12，此时直线l的方程为， 即直线l的方程为. 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. （1）求第七组的频率； （2）估计该校名男生身高的平均数和分位数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求． 【答案】（1） （2）平均数为，分位数为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得第七组的频率. （2）根据平均数和百分位数的知识求得正确答案. （3）利用列举法、古典概型概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 第六组的频率为， ∴第七组的频率为． 【小问2详解】 由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高50%分位数为，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的50%分位数为， 平均数为： ． 【小问3详解】 第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB， cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共种情况． 所以 18. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M在线段PB上，平面MAC，. （1）判断M点在PB的位置并说明理由； （2）记直线DM与平面PAC的交点为K，求的值； （3）若异面直线CM与AP所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）M为PB中点，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连OM，由平面平行的性质可得答案； （2）连接OP，则，可得点K为重心，由三角形重心的性质，可得答案； （3）取AD中点H，连接PH，HB，取HB中点G，连接MG，GC，可得，取AB中点N，可知，或其补角就是异面直线CM与AP所成角，由面面垂直的性质可得平面ABCD，平面ABCD，令，，由余弦定理可得，在直角中，求出，，由余弦定理得，从而得到，解方程求出，过G作交CD于Q，连接MQ，可得平面MGQ， ，在直角中可得. 【小问1详解】 连接BD交AC于O，连接OM， 因为平面MAC，平面PBD， 平面平面，则， 又因为O为BD中点，所以M为PB中点. 【小问2详解】 如图所示，连接OP，则平面平面，， 因为O为BD的中点，M为PB的中点，所以点K为重心， 由三角形重心的性质，可得. 【小问3详解】 取AD中点H，连接PH，HB，取HB中点G，连接MG，GC，可得. 取AB中点N，连接MN，NC，可知， 所以或其补角就是异面直线CM与AP所成角，如图所示， 因为平面平面ABCD，平面平面ABCD， 又，所以， 所以平面ABCD，因此平面ABCD，令，， 由，且M为PB的中点，可得， 在中，可得，，，由余弦定理，可得， 在直角中，， 又由M，N分别是PB，AB的中点，可得， 所以， 解得，解得或，即或， 过G作交CD于Q，连接MQ，由，且， 可得平面MGQ，所以， 所以就是所求二面角的平面角，如图所示， 在直角中，可得或. 19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】（1）存在点，使得，是定积直线，理由如下： 由题意可得， 由，解得， 故存在点，使得，是定积直线，且． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，进而，计算即可； （3）设直线，直线，其中，计算得，利用基本不等式可求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 依题意得，得，即或． 直线的方程为，因为点在直线上，所以． 因为点在第一象限，所以， 解得或（舍去），，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，即点的坐标为． 【小问3详解】 设直线，直线，其中， 则 ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省兴化中学2025-2026学年秋高二阶段测试(一) 学科:数学 2025年9月 总分150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为i B. 的共轭复数为 C. 对应的点在第二象限 D. 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺） A. 1946立方尺 B. 3892立方尺 C. 7784立方尺 D. 11676立方尺 7. 已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）： 甲组：27、28、39、40、、50；乙组：24、、34、43、48、52.若这两组数据的百分位数、百分位数分别相等，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 已知，则 C. 已知，，，则最小内角的度数为 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 11. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 则 C. O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D. 已知点，直线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 13. 若，互为对立事件，其概率分别为，，则的最小值为________． 14. 已知都是锐角，且，则________. 四、解答题：本题共5小题，共87分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B. （1）若P为AB的中点时，求l的方程； （2）若最小时，求l的方程； （3）若的面积S最小时，求l的方程. 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. （1）求第七组的频率； （2）估计该校名男生身高的平均数和分位数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求． 18. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M在线段PB上，平面MAC，. （1）判断M点在PB的位置并说明理由； （2）记直线DM与平面PAC的交点为K，求的值； （3）若异面直线CM与AP所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值. 19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $