2.5一元二次方程的应用课件2025-2026学年湘教版九年级数学上册

2.5一元二次方程的应用 学习内容 一、知识梳理 知识梳理 1、列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解 （5）检验：检验方程解的正确性及合理性． （6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 2、一元二次方程实际问题的一般模型： 知识梳理 4.销售利润问题 3.几何面积问题 1.传播问题 2.增长率问题 学习内容 二、例题讲解与巩固训练 例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91 即 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 6 巩固练习 某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样树木的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？设：每个支干长出x个小分支。由题意可列方程为（ ） A.(1+x)2=91 B.1+(1+x)+(1+x)2=91 C.1+x+x2=91 D.x2=91 C 例2：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9. 4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； 第三轮感染中，被感染的电脑台数不会超过700台. 解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 依题意 60+60x+60x (1+x) =2400 60 (1+x)2 =2400 巩固练习 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 增长率不可为负，但可以超过1. 注意 例4 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 下降率不可为负，且不大于1. 注意 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 巩固练习 例5：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ 根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² 整理，得 解得 x1= x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 如图,在△ABC中,AB=5cm,BC=10cm,∠ABC=90°,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么出发后　　　　s时,线段PQ的长为5cm. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 巩固练习 解：设AB长是x m. (100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5，x2=20 x=20,100-4x=20<25 x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去) 答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m. 例6：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？ D C B A 25米 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 住房墙 1m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 由题意得 x(25-2x+1)=80 化简，得 x2-13x+40=0 解得 x1=5 , x2=8 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去） 当x=8时，26-2x=10<12 故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m. 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 巩固练习 例7：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000. 解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时,50+x =60，500－10 x=400； 当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个. 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得： （40-x)(20+2x)=1200 整理得，x2-30x+200=0 解方程得，x1=10,x2=20 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去. 答：每件衬衫应降价20元. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 巩固练习 学习内容 三、强化训练 1. 某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业1月的营业额是1000万元,第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x,则可列方程为 (　　) A. 1000(1+x)2=3990 B. 1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990 C. 1000(1+2x)=3990 D. 1000+1000(1+x)+1000(1+2x)=3990 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 某景点的门票价格为220元,日接待游客5000人,当门票价格每提高10元,日接待游客人数减少50.若想每天的门票收入达到138万元,门票价格需提高多少元?设门票价格提高x元,则可列方程为 (　　) A. (220+x)(5000-5x)=1380000 B. (220+x)(5000-5x)=138 C. (220+x)(5000-50x)=138 D. (220+x)(5000-50x)=1380000 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图,在宽为20m、长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.设道路的宽为xm.根据题意,所列方程正确的是 (　　) A. (20-x)(38-x)=540 B. (20-x)(38-x)=38×20-540 C. (20-2x)(38-2x)=540 D. (20-2x)(38-2x)=38×20-540 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 某航空公司有若干个飞机场,每2个飞机场之间都开辟了1条航线,一共开辟了28条航线,该航空公司共有　　　　个飞机场. 5. 手工制作兴趣小组的成员将自己制作的手工作品向本组其他成员各赠送1件,整个兴趣小组共互赠了132件作品,全组共有多少名成员? 8 设全组共有x名成员.由题意,得x(x-1)=132,即x2-x-132=0,解得x1=12,x2= -11(不合题意,舍去).∴ 全组共有12名成员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,老李想用长为70m的栅栏,再借助房屋外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,另用其他材料). (1) 当羊圈的边AD,AB的长分别为多少米时,能围成一个面积为640m2的羊圈? (1) 设矩形ABCD的边AB=xm,则边AD=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640.整理,得x2-36x+320=0,解得x1= 16,x2=20.当x=16时,72-2x=40.当x=20时,72-2x=32.∴ 当羊 圈的边AD的长为40m、边AB的长为16m或边AD的长为32m、边AB的长为20m时,能围成一个面积为640m2的羊圈 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 羊圈的面积能达到650m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. (2) 不能　理由:由题意,得x(72-2x)=650.整理,得x2-36x+ 325=0.∵ Δ=(-36)2-4×325=-4<0,∴ 一元二次方程无实 数根.∴ 羊圈的面积不能达到650m2. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 学习内容 四、课堂检测 1. 某种服装平均每天可销售50件,每件的利润为40元,若每件降价5元,则每天多售10件.如果要在扩大销量的同时,使每天的总利润达到2100元,那么每件应降价多少元?若设每件应降价x元,则可列方程为 (　　) A. (40-x)=2100 B. (40-x)=2100 C. (40+x)=2100 D. (40+x)=2100 2. 某新建工业园区今年6月提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计8月将提供岗位1815个.设7月、8月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为　　　　　　　　. A 1501(1+x)2=1815 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 若干个好朋友除夕夜打电话互相问候,两个朋友之间都通话1次,共通话 21次.设这些朋友一共x人,则可列方程为　　　　　　.  4. 某足球预选赛实行主客场赛制,每两支参赛队都要进行两次比赛.若某个预选赛区共要比赛72场,则参赛队有　　　　支. x(x-1)=21 9 5. 在人群密集的场所,信息传播很快.某居委会有3人同时得知一则喜讯,经过两轮传播后,这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%,那么平均每轮传播中1人传播了多少人? 设平均每轮传播中1人传播了x人.根据题意,得3+3x+x(3x+3)=864×50%,解得x1=11,x2=-13(不合题意,舍去).∴ 平均每轮传播中1人传播了11人 $