精品解析：上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高一上学期开学初态检测数学试卷

2025学年复旦大学附属中学新高一开学初态检测试卷 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题 2.解答题需要写出必要的计算说明过程，特别地，本卷所有问题仅在实数范围内考虑 3.试卷共5页，请自行打印完成在原卷上，用扫描全能王生成PDF私信提交， 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 方程组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过消元法即可求解. 【详解】由， 两式相减可得：，再代入第一式：可得， 所以方程组的解集为， 故答案为： 2. 已知集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先化简集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 可得. 故答案为： 3. 已知方程的两根都大于1，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根为，，由题意可得判别式非负，且，，再由韦达定理和不等式的解法，可得所求范围． 【详解】设方程的两根为，， 则，， 由题意可得， 等价为，即为，解得， 则的取值范围为. 故答案为：． 4. 已知集合，集合，则集合的子集数为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用代入验证求出即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 因此，所以集合的子集数为1. 故答案为：1 5. 若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为__________． 【答案】8cm2 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】设直角三角形的两条直角边的长度分别为，则， 直角三角形的面积，取等条件为， 故直角三角形面积的最大值为. 故答案为： 6. 已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可 【详解】因为p是q的必要而不充分条件， 所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集， 即或， 故或 故答案为：或 7. 已知，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出范围. 【详解】由，，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为. 故答案为： 8. 设，是方程的两个实数根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，再利用根与系数的关系，即可求解. 【详解】因为，是方程的两个实数根， 由根与系数关系得到，且，得到， 所以， 故答案为：. 9. 已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论与的大小，从而求出不等式的解集，根据解集中一定有，然后讨论三个整数的可能性，分别求出的取值范围，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 当时，解得，解集为，其中解集中一定有元素， 若三个整数是时，可得，此时解集为空集； 若三个整数是时，，解得； 若三个整数是时，，此时解集为空集； 当时，解得，解集为，其中解集中一定有元素， 若三个整数是时，可得，此时解集为空集； 若三个整数是时，，解得； 若三个整数是时，，此时解集为空集， 综上可得，. 故答案为：. 11. 设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，将原方程变为，结合题意以及根与系数的关系，列式求解，即得答案. 【详解】设，原方程变为， 设此方程有实根，， 则原方程的四个实根为，， 由于它们在数轴上等距排列， 即①，又，， 由此求得，满足，∴， 故答案为： 12. 设有限集合，其中n为大于1的正整数，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有________种（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】结合子集的个数分类讨论求出集合的个数，进而利用等比数列的求和公式可得结果. 【详解】设集合A中的最大的数为k, 当时，集合， 此时，集合B是的非空子集，其个数为， 则不同的选择方法有； 当时，集合A是集合的包含元素2的所有子集，其个数为， 此时，集合B是的非空子集，其个数为， 则不同的选择方法有； 当时，集合A是集合的包含元素3的所有子集，其个数为， 此时，集合B是的非空子集，其个数为， 则不同的选择方法有； 以此类推… 当时，集合A是集合的包含元素的所有子集，其个数为， 此时，集合B是的非空子集，其个数为， 则不同的选择方法有； 综上所述，不同的选择方法共有： . 故答案为： 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. “”是“不等式与同解”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不满足. 【详解】取，，满足， 所以即为，即为， 两不等式的解集不同，故充分性不满足； 不等式与不等式的解集相同，均为R， 但不满足，故必要性不满足. 所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 14. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图表示的集合运算作答． 【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为， 故选：C． 15. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 16. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 （1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 （2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 【答案】（1），在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，因此等价于 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据充分条件的定义可得，结合集合间的包含关系计算即可求解； （2）利用反证法直接得证. 【小问1详解】 因为是的充分条件，所以， 当时，，满足； 当时，，所以或， 综上，是取值集合为， 在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件， 所以的等价变形为. 【小问2详解】 反证法： 假设中都是偶数， 则，其中， 两式相加得，即， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 18. 已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 【答案】当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 【解析】 【分析】分，且，且三种情况，分别求得m的取值，再根据求解对应a的范围即可． 【详解】由于且，故， 当时，，此时，不合题意，故， 由于得，， ①若，若，则，不合题意，所以，则， 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； ②若，时，即， 当时，，联立解得，此时， 又因为，则，解得； 当时，，联立解得，此时， 又因为，所以，解得； ③若，时，即， 由，得，由根与系数关系得，，解得， 此时，，符合题意， 又因为，所以，解得， 综上所述，当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）. 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 （1）请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 【答案】（1），最短时间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合距离、速度、时间的关系，利用基本不等式进行求解即可； （2）由题意得到不等式，结合常变量分离法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 因此有， 即，当且仅当时取等号， 即当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间为； 【小问2详解】 当时， 当时，满足题意， 当时， 在时恒成立， 由， 于是有， 而，于是有， 综上所述：，而， 所以车辆设计的最高速应小于. 20. （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 【答案】（1）当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，因式分解得，对分类讨论，再利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据条件得到，再由，得到或，再利用基本不等式和的性质，即可求解. 【详解】（1）由得到， 当时，由得到，当时，由得到， 当时，由得到， 综上所述，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. （2）由得到， 由得到或， 当时，得到恒成立，所以满足题意， 当时，得到，解得，不合题意， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或. （3）由，得到， 由题知的两根为和， 则且，得到， 又由，且，得到，即， 解得或， 当时，，所以， 令，易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，此时， 综上所述，正实数的取值范围为或. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，利用一元二次不等式的解法得到且，从而得到，通过求得的取值范围，利用基本不等式和的性质求解. 21. 设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． （1）若的“元和集”为，求：集合； （2）在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； （3）若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 【答案】（1）当时，，当时，； （2）； （3）或或. 【解析】 【分析】（1）分，，，，讨论，结合定义求的“元和集”由条件列方程求，由此可得结论； （2）由定义可得的“元差集”为，由条件求，再求的真子集个数，由定义可求的“元差集”，讨论结合条件列方程求，再求的真子集个数，相加可得结论； （3）由条件可证明，设，可推出的可能值，讨论结合定义求结论. 【小问1详解】 当时，集合含有个元素的子集为，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为，由已知有， 当时，集合含有个元素的子集有， 不妨设，则， 故集合的“元和集”至少含个元素，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为， 不妨设，的“元和集”为， 则，，，， 相加可得，故， 所以，故， 当时，集合含有个元素的子集为， 集合的“元和集”为，该集合只有个元素，与条件矛盾， 综上， 当时，满足条件的不存在， 当时，， 当时，； 【小问2详解】 当时，，集合的含有个元素的子集有， 不妨设，则集合的“元差集”为， 由已知，，，故， 此时，其真子集有个， 当时，，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 因为，， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 所以所有满足条件的的真子集个数之和， 【小问3详解】 由已知，，都为自然数， 不妨设，则， 因为为元集，且元素之和为，又， 故， 设，则， 因为的“元和集”中最大元素不超过，故， 所以或或或， 当时，，，与条件矛盾， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年复旦大学附属中学新高一开学初态检测试卷 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题 2.解答题需要写出必要的计算说明过程，特别地，本卷所有问题仅在实数范围内考虑 3.试卷共5页，请自行打印完成在原卷上，用扫描全能王生成PDF私信提交， 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 方程组的解集为__________． 2. 已知集合，，则_____. 3. 已知方程的两根都大于1，则a的取值范围为__________． 4. 已知集合，集合，则集合的子集数为_______． 5. 若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为__________． 6. 已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________________________． 7. 已知，，则的取值范围为__________． 8. 设，是方程的两个实数根，则______. 9. 已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 10. 已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为___________. 11. 设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则______. 12. 设有限集合，其中n为大于1的正整数，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有________种（用含n的代数式表示）． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. “”是“不等式与同解”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 15. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 16. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 （1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 （2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 18. 已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）. 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 （1）请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 20. （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 21. 设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． （1）若的“元和集”为，求：集合； （2）在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； （3）若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $