6.2.4第1课时向量数量积的概念导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．2.4第1课时  向量数量积的概念 

【课标要求】　1.了解向量数量积的物理背景，理解并掌握向量数量积的定义及投影向量.2.掌握向量数量积的性质，并会求向量的模与向量的夹角．

【导学】

学习目标一　两向量的夹角

　师问：在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是哪两个向量的夹角？

生答：

例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？

总结：(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

(2)特别地，与的夹角为θ， λ1与是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.

跟踪训练1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)

A．30°    B．60°

C．120°    D．150°

学习目标二　两向量的数量积

　师问：类比力做功的物理模型，你能给出向量数量积的定义吗？两个向量的数量积还是向量吗？

生答：

例2 如图，在平行四边形ABCD中，＝4，＝3，∠DAB＝60°，求：

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

总结：定义法求平面向量的数量积

若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式·＝|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．

跟踪训练2　在等边三角形ABC中，边长为2，求的值．

 

学习目标三　投影向量

例3 已知|a|＝3，|b|＝4，且向量a与向量b的夹角为θ.

(1)当θ＝时，求向量a在向量b上的投影向量；

(2)当θ＝时，求向量a＋b在向量a上的投影向量．

 

 

总结：任意的非零向量在另一非零向量上的投影向量等于(θ为向量的夹角，为与同向的单位向量)．

跟踪训练3　已知向量a，b满足向量b在向量a上的投影向量为＝2，则a·(a－2b)＝(　　)

A．－1　　　B．1    C．－2　　　D．2

 

【导练】

1．已知单位向量a，b，夹角为30°，则a·b＝(　　)

A．　　　B．    C．1　　　D．－

2．若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

3．已知向量a，b的夹角为，a·b＝3，|b|＝2，则|a|＝(　　)

A．2    B．3

C．6    D．12