24.2.2直线和圆的位置关系（第2课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆的切线性质与判定，通过复习直线和圆的位置关系导入，结合转动雨伞雨滴、砂轮磨刀火花等生活实例，搭建旧知与新知的学习支架，引导学生探究切线判定与性质定理。 此设计以生活现象激发数学眼光，通过追问与反证法培养推理思维，例题与练习强化符号语言表达，助力学生提升探究能力与逻辑推理，为教师提供清晰教学路径，夯实几何证明基础，提升课堂效率。

　　　　24.2.2直线和圆的位置关系（第2课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆，24.2点和圆、直线和圆的位置关系,24.2.2直线和圆的位置关系第2课时,内容为圆的切线的性质与判定。 2. 内容解析 本节课内容是学生掌握了直线和圆的位置关系后，探究直线与圆的相切关系的性质和判定定理。教学时要注意让学生分清判定、性质定理的条件和结论，强调判定定理中“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。切线的性质定理要用到反证法，这个证明不作要求，学生认识这个定理，并能应用就可以了。由性质定理以及“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”很容易得到，经过圆心垂直于切线的直线一定经过切点，当已知一条直线是圆的切线时，切点的位置是确定的。圆的切线的辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，半径垂直于切线，当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径。本节课学习的内容是圆的计算、证明等的重要内容，要足够重视。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:理解切线的判定定理与性质定理，会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题。 1.教学目标 （1）能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线,会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。 （2）经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯。 （3）体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性。 2.目标解析 （1）从生活中转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？探索直线和圆相切的位置关系，探究直线与圆的相切关系的性质和判定定理。引导学生从运动观点理解直线和圆相切的判定和性质，分清切线性质和判定定理。 （2）经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，感受圆的切线的辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，半径垂直于切线，当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径，探究圆的切线的性质和判定定理的应用。 (3)经历圆与直线相切关系的探究过程，在操作、实验、发现、确认等数学活动中，从探索直线和圆相切性质和判定，培养学生分析问题解决问题的能力，发展学生的抽象能力、几何直观、数学运算和推理能力。 本节课在学生学习了直线和圆的不同位置关系以及各种位置关系的数量表示的基础上，探究直线和圆的相切位置关系。切线的判定定理和性质定理容易混淆，要让学生分清判定定理和性质定理的条件和结论，什么情况下可以用切线的判定定理，什么情况用切线的性质定理。当已知一条直线是圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，半径垂直于切线，当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径;如果直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，总结探究直线和圆相切时应用切线性质、判定定理解决问题的方法。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为切线的判定定理和性质的应用。 创设情景，引入新课 复习：1.直线和圆的位置关系： （1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 （2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 （3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。 2.直线和圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系、交点个数关系： 直线和⊙0相交2个交点； 直线和⊙0相切1个交点； 直线和⊙0相离0个交点。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　切线的判定方法 问题情境：　转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的? 都是沿着圆的切线的方向飞出的. 追问1:如图，在⊙0中经过半径OA的外端点A作直线⊥OA,则圆心0到直线的距离是多少?直线和⊙0位置关系是什么? 根据切线的概念以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”知，这时圆心0到直线的距离就是⊙0的半径r，由d=r得到直线是⊙0的切线。 追问2:已知⊙0上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆0的切线?圆心0到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? 连接ＯＡ，过Ａ点作直线ＢC⊥ＯＡ，ＢC为⊙0过Ａ点的切线。圆心0到直线BC的距离等于圆的半径。 归纳总结: 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 追问3：切线判定定理如何用符号语言表示？ ∵0A 为⊙0的半径，BC⊥OA于A,∴BC 为⊙0 的切线。 追问4：下列各直线是不是圆的切线?如果不是，请说明为什么? （1）不是，因为没有垂直；(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A。 强调：定理中的两个条件“经过半径的外端”“垂直于这条半径”缺一不可。 追问5：判断一条直线是一个圆的切线的方法？ 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 归纳强调：证切线时辅助线的添加方法： (1）有交点，连半径，证垂直； (2）无交点，作垂直，证半径. （设计意图：探究圆的切线的判定定理和证明圆的切线的判定方法.） 典型例题 例1 已知：直线AB经过⊙0上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB 是O0的切线. 【分析】直线AB经过⊙0上的点C，连接OC，根据圆的切线的判定定理，只要证明OC⊥AB. 【详解】证明：连接OC. ∵OA=OB,CA=CB， ∴OC是等腰三角形 OAB 底边AB上的中线. ∴AB⊥OC. ∵OC 是⊙0的半径， ∴AB是⊙0的切线. （设计意图：强化圆的切线的判定定理.） 探究点2　切线的性质 问题：如图，如果直线是⊙0的切线，点A为切点，那么0A与垂直吗？ （活动方法：师生共同分析，直接证明比较困难，可以通过反证法进行证明.） 追问1：用反证法先要提出结论相反的假设，怎样提出假设？怎样证明？ 假设OA与不垂直，过点0作OM上，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM<OA，这说明圆心0到直线的距离小于半径OA，于是直线与圆相交，而这与直线是⊙O的切线矛盾，因此，半径OA 与直线垂直. 归纳总结：切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 追问2：切线性质定理如何用符号语言表示？ ∵直线 为⊙0 的切线，A切点 ∴直线⊥OA于A。 归纳总结：1.切线的性质有:(1)切线和圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于圆的半径;(3)切线垂直于过切点的半径;(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 2.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直。 （设计意图：探究圆的切线性质.） 典型例题 例2 如左图，△ABC 为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰 AB与⊙0相切于点D.求证：AC 是⊙0的切线. 【分析】：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了.而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD. 【详解】证明：如右图 ，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵⊙O与AB 相切于点D， ∴OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线. ∴OE=OD，即 OE 是OO的半径. 这样，AC经过OO的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与OO相切. 例3 如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】（1）连接，先根据对边等对角和角平分线的定义证明，推出，再由，得到，由此即可证明直线是的切线； （2）由平行线的性质和三角形内角和定理得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求出，则，由此可得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解： 由（1）可知：，， ， ， ， ， ， ， ． （设计意图：强化圆的切线的判定与性质。） 课本练习：1.如图.AB是的直径，∠ABT=45°、AT=AB.求证：AT是的切线. 2. 如图，AB是的直径，直线,。是的切线，A，B是切点.,有怎样的位置关系？证明你的结论。 练习答案： 1.由∠ABT=45°和AT=AB 可知∠T=45°，从而∠BAT= 90°,因此AT 是的切线. 2.由题意可知⊥AB，⊥AB，因此//. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.对于平面直角坐标系中的图形M，N和点P．给出如下定义：如果图形M，N上分别存在点E，F，使得点E，F关于点P中心对称，那么称点P为图形M，N的关联点．特别地，当E，P，F三点重合时，点P也为其关联点．已知点，． (1)在点，，中，点C的坐标为______时，点O为线段，点C的关联点； (2)的圆心为，半径为1．若点O为，线段的关联点，求d的取值范围； (3)的半径为3，若点为，线段的关联点，直接写出t的取值范围． 【详解】（1）点，关于原点O的对称点为，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 线段的解析式为， 当时，， 在点，，中，在线段上， 点C的坐标为，时，点O为线段，点C的关联点； 故答案为：． （2）线段与线段关于点O对称， 当与线段有交点时，满足条件， 如图2，设与线段相切于点F，连接，，此时点在线段的右边， 则，， ∵， ， ， ， 当过点时，， ， ， 当过点时，， 或， 的取值范围是； （3）点，关于的对称点为，， 当与直线相切时，设切点为M，连结， ，， ， ， 此时或，不可能在线段上， 即与直线不相切， 当过点时，， ， 解得，； 当过点时，， ， 解得，； 综上所述，满足条件的t的取值范围为或． （设计意图：强化圆的切线的判定与性质的综合应用。） 1．（2025.安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　 °． 【解答】解：连接OB， ∵PB与⊙O相切于点B， ∴PB⊥OB， ∴∠OBP＝90°， ∵∠P＝50°， ∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°， ∴∠PAB∠POB＝20°， 故答案为：20． 2．（202.5湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC． （1）求∠ACO的度数； （2）求证：AC＝BC． 【解答】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CB， ∴∠OCB＝90°， ∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝120°－90°＝30°； （2）证明：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－120°－30°＝30°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC． 3．（2025.南陵校考）已知半径为，若点在外，且上存在点使得，则称点是的领域点． (1)对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点是否是的领域点（在横线上填“是”或“不是”）． (2)若点是的领域点，则的取值范围是__________； (3)如图，以圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，设直线与轴、轴分别相交于点． ①若线段上有且只有一个点是的领域点，求的值； ②若线段上存在的领域点，求的取值范围． 【详解】（1）解：观察图形可知，①②中点是的领域点，图③中点不是的领域点， 故答案为：是，是，不是． （2）解：根据题意可知，若点刚好是的领域点，则点到的两条切线之间的夹角为，如图所示，    ∵与切于点， ∴，， ∴， 设的半径为，则点刚好是的领域点时，， ∴若点刚好是的领域点是，， 故答案为：． （3）解：①如图所示，当点到直线的距离为时，线段上有且只有一个点的领域点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当线段上有且只有一个点是的领域点时，； ②根据上述证明可知，当线段上存在的领域点，的取值范围为． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1. 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.判断一条直线是一个圆的切线有三种方法： 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切； 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3.证切线时辅助线的添加方法： (1）有交点，连半径，证垂直； (2）无交点，作垂直，证半径. 4.切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 5.切线的性质有:(1)切线和圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于圆的半径;(3)切线垂直于过切点的半径;(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 6.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题24.2第4、5、6题. 探究性作业：课本习题24.2第10题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 24.2.2直线和圆的位置关系（第2课时） 探究点1　切线的判定方法 探究点2　切线的性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $