第二十七讲：切线的判定与性质（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十七讲：切线的判定与性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：切线的判定 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵ OA 为⊙O 的半径，BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线 知识点02：切线的性质 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 总结： 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 知识点03：知识总结 考点1：有关切线的相关概念 【典型例题】 在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 【变式训练1】 如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 【变式训练2】 已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（    ） A．OP＝5 B．OE＝OF C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF 考点2：判断或补全直线为切线的条件 【典型例题】 如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，内接于，过A点作直线，当（    ）时，直线与相切． A． B． C． D． 考点3：根据切线的性质求角的度数 【典型例题】 如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（     ）   A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点4：切线的性质和判断的综合应用 【典型例题】 如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练1】 如图，是的内接三角形，过点C的的切线交BO的延长线于点P，若，那么度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 2．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(    ) A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1) 4．如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（   ） A．以为半径的圆 B．以为半径的圆 C．以为半径的圆 D．以为半径的圆 5．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 6．如图，分别切于A，B，，则等于（） A． B． C． D． 7．如图，中，是切线，切点是，直线交于、，，则的度数是（　 　）    A． B． C． D． 8．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 二、填空题 9．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 10．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 11．如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 12．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切. 13．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 14．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 15．如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ． 16．如图，以△ABC的边AB为直径的☉O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连接OD，则下列结论中：①OD//AC；②∠B=∠C；③2OA=AC；④DE是☉O的切线；⑤∠EDA=∠B，正确的序号是 ． 三、解答题 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 18．如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 19．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 20．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十七讲：切线的判定与性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：切线的判定 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵ OA 为⊙O 的半径，BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线 知识点02：切线的性质 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 总结： 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 知识点03：知识总结 考点1：有关切线的相关概念 【典型例题】 在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长即可. 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵，，， ∴， ∵S△ABC， ∴， 则以C为圆心CD为半径作与AB相切. 故选D.    【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【变式训练1】 如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可. 【详解】解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切； C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切. 故选D. 【点睛】本题主要考查切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【变式训练2】 已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（    ） A．OP＝5 B．OE＝OF C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF 【答案】D 【分析】根据切线的证明方法进行求解，即可得到答案. 【详解】∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP⊥EF 即可， 故选D． 【点睛】本题考查切线的证明，解题的关键是掌握切线的证明方法. 考点2：判断或补全直线为切线的条件 【典型例题】 如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线． 【详解】解：当时，直线是的切线． 证明：如图，连接OA． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键． 【变式训练1】 如图，内接于，过A点作直线，当（    ）时，直线与相切． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切． 【详解】解：当时，直线与相切． 理由如下： 作AF交圆O于F点，连接BF． ∵∠F，∠C是同弧AB所对的角， ∴∠C＝∠F， ∵∠BAE＝∠C， ∴∠BAE＝∠F， ∵AF为直径， ∴∠ABF＝90°， ∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°， ∵∠F＝∠BAE， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴FA⊥DE， ∴直线DE与⊙O相切． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°． 考点3：根据切线的性质求角的度数 【典型例题】 如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的性质，切记切线垂直于过切点的半径，直角三角形两锐角互余，本题先求出，再利用切线的性质得到，由此可以求出． 【详解】， ， ， 是的切线， ， ， ， 故选：B． 【变式训练1】 如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（     ）   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理等知识，根据切线的性质定理得到，求出，根据切线长定理求出，利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解： 切 于点 ， ， 又 ， ， ， 分别切 于点 ，， ， ， ． 故选：D 【变式训练2】 如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质．连接，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 故选：B． 考点4：切线的性质和判断的综合应用 【典型例题】 如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 【变式训练1】 如图，是的内接三角形，过点C的的切线交BO的延长线于点P，若，那么度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OC、CE，根据切线的性质得到OC⊥CP，根据直角三角形的性质求出∠COP，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接OC，设⊙O与OP交于点E，连接CE， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥CP， ∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣34°＝56°， ∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE（180°﹣56°）＝62°， ∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形， ∴∠BAC＝180°﹣∠OEC＝118°， 故选：B．    【点睛】本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【变式训练2】 如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 【答案】D 【分析】根据题意及切线的性质可分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①设PA与相切于点D，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设PA与相切于点E，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当圆心O移动的距离为或5cm时，与直线相切； 故选D． 【点睛】本题主要考查切线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意； C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(    ) A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1) 【答案】B 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，当O'B⊥BF时F点的位置即可． 【详解】∵过格点A，B，C作一圆弧， ∴由垂径定理可得圆心为：O'(2,0)，如图所示， 由切线性质可知当O'B⊥BF时，BF与圆相切， 当△BO'D≌△BFA时，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°， 此时O'B⊥BF，BF与圆相切，AF=O'D=1，AB=BD=2， ∴F坐标为（1,3）， 同理可得F'（5,1）， 所以满足条件的F点的坐标为：(5,1)或(1,3)， 故选B. 【点睛】本题考查由垂径定理确定圆心和切线的性质，确定圆心是本题的关键. 4．如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（   ） A．以为半径的圆 B．以为半径的圆 C．以为半径的圆 D．以为半径的圆 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定等知识，熟练掌握切线的定义是解题的关键． 根据经过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线即可判断． 【详解】解：根据题意可知，， ∴以为圆心，为半径作圆，所得的圆与直线相切， 故选： C． 5．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】连接，由中点的性质可得到，利用垂径定理可证出，即可得出结论． 【详解】解：连接 ∵为中点 ∴ ∴ ∴为小圆的切线 故选： 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，灵活运用垂径定理是解题的关键． 6．如图，分别切于A，B，，则等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度，圆周角定理求解． 连接、，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． 【详解】解：解：连接、， ∵、分别切于点、， ∴， ∴， ∵， ， ， 故选：B． 7．如图，中，是切线，切点是，直线交于、，，则的度数是（　 　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，计算即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， 故选：．    8．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N， ∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE， ∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm， ∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm）， ∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大． 二、填空题 9．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 10．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 11．如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 12．如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切. 【答案】4 【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长. 【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N， ∵MN=2cm，， ∴OM=4cm， 则当OM=4cm时，与OA相切. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 13．如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 14．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 15．如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决． 本题考查切线的性质、圆内接四边形，等边对等角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【详解】解：连接，如图： 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，以△ABC的边AB为直径的☉O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连接OD，则下列结论中：①OD//AC；②∠B=∠C；③2OA=AC；④DE是☉O的切线；⑤∠EDA=∠B，正确的序号是 ． 【答案】①②③④⑤． 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，①正确；根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，②正确；根据切线的判定定理得到是的切线，④正确；根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，⑤正确；根据线段垂直平分线的性质得到，求得，③正确． 【详解】解：如图示，连接， 为中点，点为的中点， 为的中位线， ，①正确； 是的直径， ， 即，又， 为等腰三角形， ，②正确； ，且， ， 是半径， 是的切线，④正确； ， ， ， ， ， ，⑤正确； 为中点，， ， ， ， ③正确， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．． 三、解答题 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点． 【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 试题解析：（1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切， 故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切． 考点：切线的判定． 18．如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定定理，等边三角形的判定及性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）连接，求出即可； （2）证明是等边三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得到，再由勾股定理，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 由勾股定理，得． 19．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 20．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$