24.2.2直线和圆的位置关系（第1课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦直线和圆的三种位置关系，课堂导入先复习点与圆的位置关系，再通过太阳升起实例和移动硬币操作，引导学生从交点个数抽象出相交、相切、相离概念，搭建新旧知识学习支架。 特色是以生活实例和动手操作驱动探究，培养几何直观与空间观念，通过交点个数及d与r关系的双重判断方法发展推理能力，典型例题如Rt△ABC中圆与线段AB位置关系分析和中考真题练习强化应用，帮助学生理解抽象概念，为教师提供清晰教学路径。

　　　　　24.2.2直线和圆的位置关系（第1课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆，24.2点和圆、直线和圆的位置关系,24.2.2直线和圆的位置关系第1课时,内容为直线和圆的不同位置关系。 2. 内容解析 本节课内容是学生掌握了点和圆的位置关系后，类比探究直线与圆的位置关系。本节课涉及到一些抽象的概念，如相交、相切、相离等，如果没有具体的图形，学生可能难以想象和理解直线与圆的位置关系，故学生需要具备一定的几何直观和空间想象能力。因此教学时应注重概念的解释和实例的演示，通过图形辅助理解，提供足够的练习机会，帮助学生提高解决问题的能力。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:会判断直线与圆的三种位置关系。 1.教学目标 （1）了解直线和圆的三种位置关系，掌握运用代数法和几何法来确定直线与圆的三种位置关系； （2）通过生活中的实际事例，探求直线和圆三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想； （3）通过本节知识的操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会数学活动充满探索与创造，让学生发现美、感受美、创造美。 2.目标解析 （1）从生活中直线和圆的位置关系的实例(太阳升起过程等)以及动手探索直线和圆的位置关系，学生依据图形特点，复习点和圆的不同位置关系以及各种位置关系的数量表示，引导学生从运动观点以及量变到质变的过程理解直线和圆相交、相切、相离等概念。 （2）抽象归纳出直线和圆的三种位置关系，直线和圆的三种位置关系中每种位置关系的圆心与直线的距离与圆的半径之间的关系。应用数形结合、分类讨论等数学思想等去研究圆与直线的位置关系及其它性质。 (3)经历圆与直线位置关系的探究过程，在操作、实验、发现、确认等数学活动中，从探索直线和圆的位置关系中，体会数学活动，充满探索与创造，让学生发现美、感受美、创造美，同时培养学生分析问题解决问题的能力，发展学生的抽象能力、几何直观、数学运算和推理能力。 本节课在学生学习了点和圆的不同位置关系以及各种位置关系的数量表示的基础上，探究直线和圆的三种位置关系，直线和圆的三种位置关系中，每种位置关系都是转化为判断的圆心与直线的距离和圆的半径之间的关系进行判断。直线和圆的三种位置关系相交、相切、相离等，如果没有具体的图形，学生可能难以想象和理解直线与圆的位置关系，故学生需要具备一定的几何直观和空间想象能力，教学中通过具体的实例结合图形帮助学生理解。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为会正确判断直线和圆的位置关系。 创设情景，引入新课 复习：点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：点Ｐ在⊙O内　点Ｐ在⊙O上　点Ｐ在⊙O外 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　从直线的圆的交点个数判断直线和圆的位置关系 思考　（1）在太阳升起的过程中，太阳和海平线会有几种位置关系?如果我们把太阳看作一个圆，把海平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗? 追问1：直线和圆（海平线和太阳）位置上有几种关系？交点如何？ 三种关系：直线和圆没有交点，有1个交点。有2个交点。 (2) 如图，在纸上画一条直线，把一个硬币在纸上移动，你能发现在移动硬币的过程中，它与直线的公共点个数的变化情况吗? 追问2：直线和圆位置上有几种关系？交点如何？ 三种关系：直线和圆没有交点，有1个交点。有2个交点。 把上面的位置关系抽象如下图： 追问3：这三种情况的直线和圆分别叫什么？ （1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 （2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 （3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。 （设计意图：通过实例操作，抽象归纳出直线和圆的三种位置关系.） 典型例题 例1.　 Rt△ABC,∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，⊙C与线段AB有一个公共点?当半径r为何值时,⊙C与线段AB有两个公共点? 【分析】先由面积公式求出ＣＤ长，当半径r在小于等于ＢＣ长大于ＡＣ长或等于ＣＤ长时，⊙C与线段AB有一个公共点；当半径r在小于ＢＣ长大于等于ＡＣ长时，⊙C与线段AB有两个公共点。 【详解】解:由三角形面积公式得，，即，，. 当或时,⊙C与线段AB有一个公共点. 当时,OC与线段AB有两公共点. （设计意图：强化直线和圆的位置关系.） 探究点2　圆心到直线的距离d与圆的半径r之间大小关系判断直线和圆的位置关系 如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d、观察圆与直线的位置关系。 追问1：在直线和圆的不同位置关系中，你能得到d与r具有怎样的大小关系? 当直线和⊙0相交时当直线和⊙0相切时当直线和⊙0相离时 追问2：反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗? 当时，直线和⊙0相交；当时直线和⊙0相切；当时直线和⊙0相离. 追问3：你能将直线和圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系、交点个数关系用“”表示出来吗？ 直线和⊙0相交2个交点； 直线和⊙0相切1个交点； 直线和⊙0相离0个交点. 追问4：你能完成下面三种位置关系表吗？ 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图　　　形 公共点个数 公共点名称 　　———— 直线名称 　　———— 圆心到直线距离d与半径r的关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图　　　形 公共点个数 　　　2 　　　1 　　　0 公共点名称 　　交点 　　切点 　　———— 直线名称 　　割线 　　切线 　　———— 圆心到直线距离d与半径r的关系 （设计意图：探究圆心到直线的距离d与圆的半径r之间大小关系判断直线与圆的位置关系.） 典型例题 例2.如图，已知⊙0的半径为4cm，点0到直线的距离OP为6cm，则把直线向上平移________cm，才能使直线与⊙0相切. 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解。 【详解】解:观察图形:∵⊙0的半径为4cm，点0到直线的距离OP为6cm. ,把直线向上平移6-4=2（cm）或6+4=10（cm）才能使直线与⊙0相切， 故答案为:2或10. 例3.如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF // AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是什么? 【分析】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，求点B到AC的距离，即BO，可知与OB的半径相等，故圆与直线AC相切，点B到EF的距离，小于⊙B的半径，故圆与直线EF相交，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定直线与圆的位置关系是解题的关键. 【详解】由题中已知条件，得BO⊥AC，BO=BD=, 即点B到AC的距离为，与⊙B的半径相等， ∴直线AC与OB相切； ∵　EF∥AB,∠ABC=90°, ∴AB∥EF，垂足为E，且， ∴直线EF与⊙B相交。 （设计意图：强化判定直线与圆的位置关系。） 课本练习：圆的直径是13cm，如果圆心与直线的距离分别是: (1)4.5cm;　(2)6.5cm;　(3)8 cm. 那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共点? 答案：(1)相交，有两个公共点，(2)相切，有一个公共点.(3)相离，没有公共点. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点A运动到时，点到达；当点A运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（    ）        A． B．　　C．当与相切时， 　D．当时， 【详解】解：如图，由题意可得：    ∴，故A不符合题意； ，故B不符合题意； 如图，当AB与⊙O相切时，    ∴， ∴， ∴，故C符合题意； 如图：当时，    ∴ ∴，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 1.(2025·武汉期末)如图，直线与半径为r的⊙0相交，且点O到直线的距离为7，则r的值可以是(　　　) 　A.3　　　B.4　　　C.7　　　D.10 【详解】解：直线与⊙0相交，所以圆的半径r大于点O到直线的距离，点O到直线的距离为7， 故选D. 2.(2025·陕西渭南·期中)已知直线与⊙0相交，圆心0到直线的距离为5cm，则⊙0的半径可能为多少cm？(只写一个) 【详解】解:∵直线与⊙0相交，圆心O到直线的距离为5cm，⊙0的半径大于5，AO的半径可能为6cm， 故答案为:6. 3.已知⊙0的半径r=7cm,直线,且与⊙0相切,圆心0到的距离为9cm，求与的距离. 【详解】解:(1)与与在圆的同一侧:与的距离为9-7=2（cm） (2)与与在圆的同一侧:与的距离为9＋7=16（cm）. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.直线和圆的位置关系： （1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 （2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 （3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。 2.直线和圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系、交点个数关系： 直线和⊙0相交2个交点； 直线和⊙0相切1个交点； 直线和⊙0相离0个交点。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：1.已知⊙0的半径为10，直线与⊙0相切于点P，则PO＝(　　) A.1　　B.5　　C.8　　D.10 【详解】解:⊙0的半径为10.直线与00相切于点P,PO=10.故选D. 2.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： （1）若d=4cm ,则直线与圆____, 直线与圆有____个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 【详解】解:若圆的半径为,（1）当d=4cm时，d,则直线与圆相交, 直线与圆有2个公共点. （2）当d=6cm时，d,则直线与圆相切, 直线与圆有1个公共点.（3）当d=8cm时，d,则直线与圆相离, 直线与圆有0个公共点. 3.课本习题24.2第4题. 探究性作业：1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，那么： （1）当直线AB和⊙O相离时, 则r的取值范围是什么？ （2）当直线AB和⊙O相切时, 则r的取值范围是什么？   （3）当直线AB和⊙O相交时,则r的取值范围是什么？ 【详解】解:（1）　　（2）　　　（3）. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 24.2.2直线和圆的位置关系（第1课时） 探究点1　从直线的圆的交点个数判断直线和圆的位置关系 探究点2　圆心到直线的距离d与圆的半径r之间大小关系判断直线和圆的位置关系 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $