24.2.1点和圆的位置关系（导学案）数学人教版九年级上册

24.2.1点和圆的位置关系（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。 （2）掌握不在一条直线上的三点可以确定一个圆这一事实，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。能画出三角形的外接圆，了解三角形的外心。初步理解反证法和应用。 （3）通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想。形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 重点：判断点和圆的位置关系，用尺规作三角形的外接圆，了解反证法。 难点：理解不在同一条直线的三点如何确定一个圆和反证法证明方法。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：复习：①在一个平面内，线段OA绕它 ，另一个端点A 叫做圆。 ②圆心为O、半径为的圆可以看成是 。圆是 ,它是 ,而不是 。 ③确定圆的条件：一是 ， 确定其位置；二是 ， 确定其大小。 【学法指导】 自研课本P92-94页内容 (一)点与圆的位置关系 问题：　我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉。如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 解决这个问题要研究点和圆的位置关系． 1.观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 2.设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？    3.反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 4.点与圆的三种位置关系及其数量间的关系如何用“”表示？ 5.本课开始提出的问题，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ （二）经过不在同一条直线上的三点作圆 1.如何过一个点A作一个圆?过点A可以作多少个圆? 学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结. 2.如何过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆? 学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结. 3.过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆? 归纳总结:不在同一直线上的三点确定一个圆. （三）三角形的外接圆及外心 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆。 1.类比四边形的圆的位置关系，指出⊙O和△ABC位置是什么？什么是三角形的外接圆？ 2.什么是三角形的外心？怎样确定三角形的外心？ 3.三角形的外心有什么性质？能说出其理由吗？ （四）反证法 问题：　经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？动手画一画，并交流。 思考：为什么不能画出圆？ 如图，假设过同一条直线上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.     那么点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，即点P为与的交点. 而，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. 所以过同一条直线上的三点不能作圆． 这一种证明的方法叫反证法 1.什么叫反证法？ 2.从上面证明中，你能归纳出反证法的一般步骤吗？ 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。例如，可以用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”. 自研课本P92-94页内容 典型例题 例1　 在矩形中，. (1) 以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何? (2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围?(直接写出答案) 例2　如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作：    (1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置． (2)写出D点坐标为_________，并求的半径长． 例3　 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 第二环节 合作探究 1.讨论点与圆的位置关系有哪种？设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，点与圆的三种位置关系及其数量间的关系如何用“”表示？ 2.讨论过一个点A作一个圆?过点A可以作多少个圆?过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆? 3.讨论过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆?如何确定？ 4.讨论什么是三角形的外接圆？什么是三角形的外心？怎样确定三角形的外心？三角形的外心有什么性质？ 5.讨论什么叫反证法？反证法的一般步骤？ 6.合作探究提升：1.如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值. 课本课堂练习 1.画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm，并且小于或等于3cm的点组成的图形. 2.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内? 3.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心? 1．（2025·无锡校考）若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 2.（2025上·枣庄校联考）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设( ) A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45° 3．（2025上·宁波九年级校联考）已知点、，且，画经过、两点且半径为的圆有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4.（2025·包河校联考）某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．     1.点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：点Ｐ在⊙O内 　; 点Ｐ在⊙O上 　;　点Ｐ在⊙O外 　; 2. 三点确定一个圆. 3.经过 可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 。外接圆的圆心是 ，叫做三角形的 。三角形的外心到 相等。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2.1点和圆的位置关系（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。 （2）掌握不在一条直线上的三点可以确定一个圆这一事实，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。能画出三角形的外接圆，了解三角形的外心。初步理解反证法和应用。 （3）通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想。形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 重点：判断点和圆的位置关系，用尺规作三角形的外接圆，了解反证法。 难点：理解不在同一条直线的三点如何确定一个圆和反证法证明方法。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：复习：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 ②圆心为O、半径为的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长的点的集合。圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面。 ③确定圆的条件：一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小。 【学法指导】 自研课本P92-94页内容 (一)点与圆的位置关系 问题：　我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉。如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 解决这个问题要研究点和圆的位置关系． 1.观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外。 2.设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？    点Ｐ在⊙O内点Ｐ在⊙O上点Ｐ在⊙O外 3.反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 点Ｐ在⊙O内；点Ｐ在⊙O上；点Ｐ在⊙O外。 把上面的两种关系，合并在一起我们用“”表示。符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 4.点与圆的三种位置关系及其数量间的关系如何用“”表示？ 点Ｐ在⊙O内　点Ｐ在⊙O上　点Ｐ在⊙O外。 5.本课开始提出的问题，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示。弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好. （二）经过不在同一条直线上的三点作圆 1.如何过一个点A作一个圆?过点A可以作多少个圆? 学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结. 以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可;可作无数个圆。 2.如何过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆? 学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结. 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；可作无数个圆。 3.过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆? 对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离要相等，因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。如图，分别作出线段AB的垂直平分线ＥＤ，和线段BC的垂直平分线ＦＧ，设它们的交点为O，则OA=OB=OC。于是以点O为圆心，OA(或OB，OC)为半径，便可作出经过A，B，C三点的圆.因为过A，B，C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个。 归纳总结:不在同一直线上的三点确定一个圆. （三）三角形的外接圆及外心 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆。 学生动手作图。 1.类比四边形的圆的位置关系，指出⊙O和△ABC位置是什么？什么是三角形的外接圆？ ⊙O叫做△ABC的外接圆，三角形△ABC叫做⊙O的内接三角形。 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 2.什么是三角形的外心？怎样确定三角形的外心？ 定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 确定外心方法：三角形三边中垂线的交点。 3.三角形的外心有什么性质？能说出其理由吗？ 性质：到三角形三个顶点的距离相等。根据线段垂直平分线性质可以得到。 （四）反证法 问题：　经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？动手画一画，并交流。 思考：为什么不能画出圆？ 如图，假设过同一条直线上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.     那么点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，即点P为与的交点. 而，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. 所以过同一条直线上的三点不能作圆． 这一种证明的方法叫反证法 1.什么叫反证法？ 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 2.从上面证明中，你能归纳出反证法的一般步骤吗？ ⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）； ⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； ⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。例如，可以用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”. 已知：如图 ，AB//CD，求证：∠1＝∠2. 证明：假设∠1≠∠2，过点O作直线A'B’,使∠EOB’=∠2. 根据“同位角相等，两直线平行”，可得 A'B’//CD. 这样，过点0就有两条直线AB，A'B'都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾. 假设不成立，∠1＝∠2. 自研课本P92-94页内容 典型例题 例1　 在矩形中，. (1) 以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何? (2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围?(直接写出答案) 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再根据点与圆的位置关系，即可求解。 【详解】解:(1)，故D点在⊙A上； 故B点在⊙A内； 在中，，故C点在⊙A外. (2)3≤r≤5。 例2　如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作：    (1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置． (2)写出D点坐标为_________，并求的半径长． 【分析】（1）根据垂径定理得到圆的圆心D点的位置及坐标； （2）从图上可直接读出点D的坐标；根据勾股定理进行计算，得到答案。 【详解】（1）由垂径定理得到圆的圆心D;如图所示：    （2）    D点坐标为；连接，由勾股定理得：. 例3　 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 【分析】图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度． 【详解】解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； ⑵∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°， ∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝.     因此圆的半径为3． 点A的坐标(，0), ∴△AOB外接圆的面积是9π. 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 【分析】先假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 【详解】证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°， 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°. 因此∠A+∠B+∠C>180°.     这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． 因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 第二环节 合作探究 1.讨论点与圆的位置关系有哪种？设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，点与圆的三种位置关系及其数量间的关系如何用“”表示？ 2.讨论过一个点A作一个圆?过点A可以作多少个圆?过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆? 3.讨论过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆?如何确定？ 4.讨论什么是三角形的外接圆？什么是三角形的外心？怎样确定三角形的外心？三角形的外心有什么性质？ 5.讨论什么叫反证法？反证法的一般步骤？ 6.合作探究提升：1.如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值. 【详解】（1）如图所示；；故答案为． （2）连接，，，， 点为弦的中点，， ， ， ， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， 当点在线段延长线上时最大，此时， ， 的最大值为. 课本课堂练习 1.画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm，并且小于或等于3cm的点组成的图形. 2.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内? 3.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心? 答案：1.(略).　2.(略). 3.因为A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在CD所在的直线上.因此使用 这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点就是圆心. 1．（2025·无锡校考）若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【详解】解：∵P的坐标为， ∴． ∵的半径为5， ∴点P在上． 故选：B． 2.（2025上·枣庄校联考）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设( ) A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45° 【详解】提出与结论相反的假设,每一锐角都大于45， 故：选D. 3．（2025上·宁波九年级校联考）已知点、，且，画经过、两点且半径为的圆有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【详解】解：∵过、两点的圆的圆心到点、的距离相等， ∴圆心到在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∵半径为， ∴不存在经过、两点且半径为的圆， 故选A． 4.（2025·包河校联考）某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．     【详解】解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点； (2)连接AB、BC；     (3)分别作出AB、BC的垂直平分线； (4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心. 1.点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：点Ｐ在⊙O内　点Ｐ在⊙O上　点Ｐ在⊙O外 2.不在同一直线上的三点确定一个圆. 3.经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $