第6章 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算&6.2.3 平面向量的坐标及其运算(1)(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 6．2.3　平面向量的坐标及其运算(1) 学业标准 素养目标 1.理解直线上向量的坐标，掌握直线上向量的运算与坐标的关系，并能简单应用．(难点) 2.类比直线上向量的坐标及其运算，掌握平面向量的坐标及其运算，并能熟练应用．(重点) 1.通过学习直线上向量的坐标及平面向量的坐标的定义，培养学生数学抽象核心素养． 2.通过平面(直线上)向量的坐标运算及简单应用，提升学生数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学1 直线上向量的坐标及运算 　已知A，B都是数轴上的点，A(－1)，B(3)，则线段AB中点的坐标为 ，的坐标为 ，||等于 ． [提示]　线段AB中点的坐标为＝1，的坐标为4，||＝|4|＝4. ◎结论形成 1．直线上向量的坐标 给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时x称为向量a的坐标． 在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标关系 (1)关系 设直线上a，b的坐标分别为x1，x2；μ，v为实数，则①a＝b的充要条件是x1＝x2，②a±b的坐标为x1±x2，③μa－vb的坐标为μx1－vx2． (2)数轴上的两点之间的距离公式及中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝|x2－x1|，x＝． 导学2 平面向量的坐标及其运算 　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，向量a如何表示？ [提示]　因为|a|＝4，且向量a与i的夹角是30°，所以OA＝2，OB＝2，于是a＝2i＋2j. ◎结论形成 1．向量垂直 平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，就称向量a与b垂直，记作a⊥b． 2．向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． 3．向量的坐标 给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 点睛 对符号(x，y)的认识 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，为了加以区别，常说点P(x，y)或者向量a＝(x，y). 4．平面上向量的运算与坐标的关系 (1)向量加法与减法运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； ②a－b＝(x1－x2，y1－y2)； ③λa＝(λx1，λy1)； ④向量相等的充要条件：a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2； ⑤ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)； ⑥ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)． (2)模长公式：设a＝(x，y)，则|a|＝． 5．两点间的距离公式及中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，M(x，y)为线段AB的中点． (1)两点间的距离公式 AB＝||＝． (2)中点坐标公式 x＝，y＝． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量坐标一定相同．(　　) (2)若两向量坐标相同，则它们一定是相等的向量.(　　) (3)向量平移后，坐标也随之改变．(　　) (4)向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 答案　A 3．设数轴上两点A，B的坐标分别为－2，4，记线段AB的中点为C．则C点坐标为 ，||＝ ． 解析　C点坐标为＝1，||＝|4－1|＝3. 答案　1　3 4．若a＝(x－2，5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝ ，y＝ ． 解析　∵a＝b，∴即 答案　1　3 题型一　平面向量的坐标表示 　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． [解析]　(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， 所以A(2，2)， 故a＝(2，2). 因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， 所以∠COy＝30°. 又OC＝AB＝3，所以C， 所以＝＝， 即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋＝(2，2)＋ ＝， 即B. 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.　 [触类旁通] 1．已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标． 解析　如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1，)，D， ∴＝(2，0)，＝(1，)，＝(1－2，－0)＝(－1, )，＝＝. 题型二　平面向量坐标的运算（一题多变） 　已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，求，－2的坐标． [解析]　由题意得＝(2，4)，＝(1，3)， ＝(－5，1)，∴－2＝(11，1). [母题变式] (变结论)本例中，试以{，}为一组基底表示＋＋. 解析　＝(1，3)，＝(2，4)，＝(－3，5)， ＝(－4，2)，＝(－5，1)， 则＋＋＝(－12，8). 由平面向量基本定理∃m，n∈R， 使＋＋＝m＋n， ∴(－12，8)＝m(1，3)＋n(2，4)， 即(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)， 可得解得 ∴＋＋＝32－22. 平面向量坐标运算应用技巧 (1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值． (2)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求基向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法．设c＝xa＋yb，在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x，y的值.　 [触类旁通] 2．(1)已知a＝(1，－1)，b＝(3，0)，则3a－2b等于(　　) A．(5，3)　　　　　　　　 B．(4，－1) C．(－2，－1) D．(－3，－3) (2)已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且＝，又点P是线段OB的中点，则B点的坐标是 ． 解析　(1)3a－2b＝3(1，－1)－2(3，0)＝(3，－3)－(6，0)＝(3－6，－3－0)＝(－3，－3)，故选D． (2)∵＝，∴＝.设P(x1，y1)， 即＝(x1，y1)，＝(6－x1，3－y1)， ∴∴即P(2，1). 又P是OB中点，设B(x，y)， 则2＝，1＝， ∴x＝4，y＝2，∴B(4，2). 答案　(1)D　(2)(4，2) 题型三　向量坐标运算的简单应用 　已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，试问： (1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由． [解析]　由题可知＝(1，2)，＝(3，3)， ＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t). (1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－； 若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－； 若P在第二象限，则有 解得－＜t＜－. (2)＝＋＝(－1－3t，－2－3t)＋(4，5) ＝(3－3t，3－3t). 若四边形OABP是平行四边形，则有＝， 即方程组显然无解． ∴四边形OABP不可能是平行四边形． [素养聚焦]　　本题主要考查向量坐标运算的应用，突出考查数学运算、逻辑推理等核心素养． 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值.　 [触类旁通] 3．(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝ ． (2)已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是 ． 解析　(1)以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3).由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4. (2)当ABCD为平行四边形时， 则＝＋＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)， 故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是 (1，3)∪(3，＋∞). 答案　(1)4　(2)(1，3)∪(3，＋∞) [缜密思维提能区] 易错案例 对点的位置情况考虑不周致误 [典例]　已知M(1，5)，N(5，17)，点P在直线MN上，且||＝3||，求点P的坐标． [错解]　设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x－1，y－5)，＝(5－x，17－y). 因为||＝3||， 所以(x－1，y－5)＝3(5－x，17－y). 所以解得 故点P坐标为(4，14). [正解]　设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x－1，y－5)，＝(5－x，17－y). 当＝3时， 由错解得点P的坐标为(4，14). 当＝－3时， 有(x－1，y－5)＝－3(5－x，17－y)， 解得x＝7，y＝23. 所以点P的坐标为(7，23). 综上可知，点P的坐标为(4，14)或(7，23). 纠错心得 在解决向量问题时，注意向量表达式之间的区别，|a|＝λ|b|与a＝λb是不同的，此外还要注意对点的位置情况进行细致分析，不要出现遗漏的情况. 知识落实 技法强化 1.直线上向量的坐标及运算． 2.平面向量的坐标及其运算． 3.两个公式两点间的距离公式和中点坐标公式． 1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的联系，使向量运算完全代数化． 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标．如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时＝(xB－xA，yB－yA). [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论正确的是(　　) A．的坐标是2　　　　 B．＝－3 C．的坐标是4 D．＝2 解析　易知向量的坐标为1－(－1)＝2，A正确；向量的坐标为－1－5＝－6，－3的坐标为－3×2＝－6，所以＝－3，B正确；向量的坐标为1－5＝－4，C错误；向量的坐标为5－1＝4，2的坐标为2×2＝4，所以＝2，D正确．故选ABD． 答案　ABD 2．已知＝(2，3)，则点N位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 解析　因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定． 答案　D 3．已知向量a＝(3，－4)，b＝(λ，8)，且a∥b，则|a－b|＝(　　) A．15　　　　　　　　 B． C．16 D．225 解析　因为a∥b，所以3×8－λ(－4)＝0， 解得λ＝－6， 所以a－b＝(3，－4)－(－6，8)＝(9，－12)， 则|a－b|＝＝15. 答案　A 4．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第三象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B． C． D． 解析　解法一　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)， 又＝＋λ＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 于是由＝＋λ可得， (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7y)， 所以即 因为点P在第三象限，所以 解得λ＜－1. 故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1). 解法二　＝＋＝＋＋λ ＝＋λ＝(5，4)＋λ(5，7) ＝(5＋5λ，4＋7λ)， 所以P(5＋5λ，4＋7λ)， 因为点P在第三象限，所以 所以λ＜－1. 答案　A 5．设数轴上两点A，B的坐标分别为－1，5，记线段AB的中点为C，则||等于 ． 解析　C点坐标为＝2，则||＝3. 答案　3 6．平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长，取点E使＝，则点E的坐标为 ． 解析　设C(x，y)，由＝， 得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4). 即解得 即C(－5，－2).又E在DC延长线上，＝， 设E(a，b)， 则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)， 解得a＝－8，b＝－.所以E. 答案　 7．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，以{e1，e2}为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式为 ． 解析　设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)， 则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，所以 解得所以a＝e1＋e2. 答案　a＝e1＋e2 8．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2). (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值． 解析　(1)设B(x1，y1)， 因为＝(4，3)，A(－1，－2)， 所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， 所以所以 所以B(3，1).同理可得D(－4，－3). 设BD的中点M(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， 所以M. (2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， 又＝λ(λ∈R)， 所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)， 所以所以 [关键能力·综合提升] 9．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．2 B． C． D． 解析　由题意，以A为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形ABCD的边长为2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，M(2，1)，N(1，2)， 所以＝(2，2)，＝(－1，2)，＝(2，1)，λ＋μ＝λ(2，1)＋μ(－1，2)＝(2λ－μ，λ＋2μ)， 又＝λ＋μ， 所以解得所以λ－μ＝. 答案　B 10．(多选题)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A．＋＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则μ＝1 解析　A选项，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，A选项正确． B选项，若∥，则λ·μ＝1，故可取λ＝3，μ＝，B选项错误． C选项，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1，所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，C选项正确． D选项，因为B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)，＝－＝(1－λ，μ－1)，则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1，所以D选项错误． 答案　AC 11．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝ ． 解析　过C作CE⊥x轴于点E， 由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋，即＝λ， 所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝. 答案　 12．已知a＝(x，m)，b＝(3x－2，x＋2).①若a＝b，则m＝ ；②若存在实数x，使得a∥b，则实数m的取值范围是 ． 解析　①因为a＝b， 所以⇒即m＝3； ②因为a∥b，所以存在实数λ，使得a＝λb成立，则有⇒x(x＋2)＝m(3x－2)，因此该方程有实数解， x(x＋2)＝m(3x－2)⇒x2＋x(2－3m)＋2m＝0，于是有Δ＝(2－3m)2－8m≥0⇒m≥2或m≤. 答案　①3　②∪[2，＋∞) 13．已知a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，在①(ta＋b)∥(a＋tb)，②|ta＋b|＝|a＋tb|这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)若 ，求实数t的值； (2)若向量c＝(x，y)，且c＝－ya＋(1－x)b，求|c|. 解析　(1)因为a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，所以ta＋b＝(－t，－t＋1)，a＋tb＝(－1，－1＋t). 若选择①：由(ta＋b)∥(a＋tb)，则－t(－1＋t)＝(－t＋1)·(－1)，解得t2＝1，所以t＝1或t＝－1； 若选择②：由|ta＋b|＝|a＋tb|， 则＝， 则t2＝1，所以t＝1或t＝－1. (2)由c＝－ya＋(1－x)b＝(y，y)＋(0，1－x)＝(y，1－x＋y)， 因为c＝(x，y)， 所以解得x＝y＝1， 所以c＝(1，1)，可得|c|＝＝. [核心价值·探索创新] 14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， (1)若＋＋＝0，则的坐标为 ； (2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，则m－n＝ ． 解析　(1)设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y). 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2). (2)设点P的坐标为(x0，y0)， 因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， 所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)， ＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)， 因为＝m＋n， 所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， 所以 两式相减得m－n＝y0－x0， 又点P在函数y＝x＋1的图象上， 所以y0－x0＝1，所以m－n＝1. 答案　(1)(2，2)　(2)1 15．已知向量u＝(x，y)与v＝(y，2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示． (1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)设a＝(1，1)，b＝(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； (3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标． 解析　(1)证明　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， 所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， mf(a)＋nf(b)＝m(a2，2a2－a1)＋n(b2，2b2－b1) ＝(ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1). 所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)， 即对于任意向量a，b及常数m，n， 恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b). (2)f(a)＝(1，1)，f(b)＝(0，－1). (3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)， 所以 所以c＝(2p－q，p). 学科网（北京）股份有限公司 $