第6章 6.2.1 向量基本定理(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

　向量基本定理与向量的坐标 6．2.1　向量基本定理 学业标准 素养目标 1.掌握共线向量基本定理，并能解决有关问题(如平行、点共线等).(重点) 2.理解基底的定义，掌握平面向量基本定理，并能熟练应用．(重点、难点) 1.通过共线向量基本定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算核心素养． 2.通过平面向量基本定理的应用，提升学生逻辑推理、直观想象等核心素养． 导学1 共线向量基本定理 　①若a＝λb(λ∈R)，a与b是否平行？②若a∥b，是否一定有b＝λa(λ∈R)? [提示]　①平行． ②不一定．当a≠0时，必有b＝λa； 当a＝0，b≠0时，不存在λ∈R使b＝λa. ◎结论形成 共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． 如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ. 导学2 平面向量基本定理 　对于平面内的任意向量c，是否可以用平面内的一个非零向量a线性表示？是否可以用平面内的两个非零向量a，b线性表示？当向量c可以用两个非零向量a，b线性表示时，表示方法是唯一的吗？ [提示]　当a与c共线时，c可用a线性表示，否则不可以；当非零向量a，b共线时，向量c不一定能用a，b线性表示，若非零向量a，b不共线，则任意向量c一定可以用a，b线性表示，且表示方法是唯一的． ◎结论形成 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb． 2．基底 平面内不共线的两个向量a与b组成的该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式． 点睛　 平面向量基本定理的理解 (1)a，b是同一平面内的两个不共线的向量，a，b的选取不唯一，即一个平面可以有多组基底． (2)平面内的任一向量c都可以沿基底进行分解． (3)基底{a，b}确定后，实数x，y是唯一确定的． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a和b共线，则必有b＝λa.(　　) (2)若向量a和b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.(　　) (3)若向量，共线，则A，B，C，D四点共线．(　　) (4)任何向量在基底{e1，e2}下的表示式a＝a1e1＋a2e2是唯一的．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底{e1，e2}表示为(　　) A．e1＋e2　　　　　　　 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 解析　a＝－2e1＋e2. 答案　B 3．设a，b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D．－1 解析　＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在常数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.因为a，b不共线，所以所以p＝－1.故选D． 答案　D 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为 ． 解析　∵a∥b，∴a＝λb，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2，∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6. 答案　6 题型一　共线向量基本定理的应用（一题多变） 　已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，问a与b是否共线？ [解析]　∵e1，e2共线，∴存在λ∈R，使e1＝λe2. ∴a＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2， b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝(6λ－8)e2， ∴a＝b(λ≠)，∴a与b共线； 当λ＝，b＝0时，a与b也共线． [母题变式] (变条件)本例中，若将“共线向量”改为“不共线向量”，其他条件不变，则a与b还共线吗？ 解析　若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2). ∴(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0. ∵e1，e2不共线，∴ ∴λ不存在，∴a与b不共线． [素养聚焦]　　本题主要考查平面向量基本定理的应用，突出考查数学运算核心素养． 要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可． 应用共线向量定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题．另一方面当已知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向量的等量关系，为下一步运算提供一个有利条件.　 [触类旁通] 1．设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线． (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线． 解析　(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3， ∴＝＋＝2a＋8b＋3＝2a＋8b＋3a－3b＝5＝5. ∴，共线， 又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb反向共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ ， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴a＝b， ∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0, ∴k2－1＝0，∴k＝±1， ∵λ＜0，∴k＝－1. 题型二　平面向量基本定理的应用（一题多解） 　在△ABC中， (1)若D是BC边的中点，试用，表示； (2)若E是BC边上一点，且＝，试用，表示. [解析]　(1)解法一　如图，因为＝＋，＝＋， 所以2＝＋＋＋. 因为D是BC边的中点， 所以＋＝0， 所以2＝＋， 故＝(＋). 解法二　如图，因为＝＋， 而＝＝(－)， 所以＝＋(－)＝＋. (2)如图，因为＝＋， 而＝＝ ＝(－)， 所以＝＋(－)＝＋. 用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.　 [触类旁通] 2．(1)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. (2)如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，，. 解析　(1)因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2. 又e1，e2不共线，所以 解得所以c＝a－2b. (2)＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋ ＝b－a. 连接EF，BD(图略)，由E，F为中点，得EF綊BD，得BG＝BF，则＝＋＝＋＝a＋＝a＋b－a＝a＋b. 题型三　向量基本定理的应用 　(1)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ． (2)设点O是直线AB外一点，求证：P，A，B三点共线的充要条件是∃t∈R，使＝x＋y且x＋y＝1. [解析]　(1)如图， ＝－ ＝－ ＝(－)＋ ＝－＋， 又＝λ1＋λ2， 且与不共线， 所以λ1＝－，λ2＝， 故λ1＋λ2＝. (2)证明　先证必要性：若P，A，B三点共线，如图， 则∃t∈R，使＝t， 即－＝t－t， 故＝(1－t)＋t， 令x＝1－t，y＝t， 则x＋y＝1，必要性成立 再证充分性：若＝x＋y且x＋y＝1， 则＝x＋(1－x)，即－＝x(－)，从而＝x，故P，B，A三点共线． 充分性成立． 综上，充要性成立． [答案]　(1)　(2)略 1．本例(2)给出一个重要结论，它有如下两方面应用： (1)若A，B，C三点共线，则有＝x＋y且x＋y＝1. (2)若＝x＋y且x＋y＝1，则有A，B，C三点共线． 2．向量基本定理的应用应注意的两点 (1)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件合理选取． (2)充分挖掘题目中的有利条件(如三点共线、平行、相似关系等)，注意方程思想的应用(求参数值).　 [触类旁通] 3．如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点．若＝＋2μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于 ． 解析　因为E为AO的中点， 所以＝＝(＋)， 所以＝－＝(＋)－＝－. 又＝＋2μ， 所以解得所以λ＋μ＝. 答案　 [缜密思维提能区] 易错辨析 对向量基本定理理解不清致错 [典例]　已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　　) A．λ＝0　　　　　　　　 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 [解析]　若e1与e2共线， 则存在实数k，使e2＝ke， ∴a＝e1＋λke1＝(1＋λk)e1， ∴a＝b. 若e1与e2不共线②， 若a与b共线，则存在实数m使a＝mb. 即e1＋λe2＝2me1，∴(1－2m)e1＋λe2＝0. ∵e1与e2不共线，∴∴λ＝0. ∴a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0. [答案]　D 纠错心得 1．在应用平面向量基本定理时要注意等式a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑． 2．e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．若当基底{e1，e2}确定后，则实数λ1，λ2是唯一确定的． 知识落实 技法强化 1.共线向量基本定理． 2.平面向量基本定理． 1.注意共线向量基本定理中a≠0这个条件． 2.平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，下列结论错误的是(　　) A．A，B，C共线　　　　　　 B．A，B，D共线 C．B，C，D共线 D．A，C，D共线 解析　＝－＝4e1＋2e2，＝－＝3e1，由向量共线的条件b＝λa(a≠0)可得A，C，D共线，而其他λ无解．故只有D正确． 答案　ABC 2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且ma－3b与向量a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　) A．－1或3 B． C．－1或4 D．3或4 解析　由已知，必存在实数λ，使ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即ma－3b＝λa＋(2－m)λb， 于是解得m＝－1或3. 答案　A 3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为(　　) A．3 B． C．2 D．8 解析　＋＝(＋)＋(＋) ＝2＋(＋) ＝2－＝3.所以λ＝3. 答案　A 4．(多选题)下列叙述正确的是(　　) A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb B．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线 C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c 解析　判断非零向量a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb.在A选项中，若a＝b＝0时不成立，所以A选项错误，B选项正确；在C选项中，m＝2n，所以m∥n，所以C选项正确；D选项也正确． 答案　BCD 5．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝ ，μ＝ ． 解析　由条件可知解得 答案　　－ 6．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋me2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则实数m＝ ． 解析　∵A，B，C三点共线，∴与共线， ∴存在实数λ，使＝λ成立， 即2e1＋me2＝λ(e1＋3e2)， 即(2－λ)e1＋(m－3λ)e2＝0. ∵e1，e2是两个不共线的向量，∴ ∴λ＝2，m＝6，故m的值为6. 答案　6 7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝ ． 解析　由图知 ＝＋，① ＝＋，② 又∵＋2＝0. ∴①＋②×2，得 3＝＋2，∴＝＋， ∴λ＝. 答案　 8．设e1，e2是两个不共线的向量，如图，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若＝2e1，＝3e2，以{e1，e2}为基底，表示与. 解析　平行四边形OPQR中，＝＋＝2e1＋3e2， ＝－＝3e2－2e1.S是OQ，PR的中点， ∴＝＝e2－e1， ＝－＝－e1－e2. [关键能力·综合提升] 9．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析　∵c∥d，∴c＝λd， 即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb. 又∵a，b不共线，∴∴ ∴c＝－d，∴c与d反向． 答案　D 10．(多选题)如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，如果＝a，＝b，以下向量表示正确的是(　　) A．＝－a－b B．＝－a＋b C．＝－a＋b D．＝a－b 解析　由已知可得＝－＝b－a，故D错误；因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，由＝－＝－＝－a－(b－a)＝－a－b，故A错误；＝－＝－＋＝－b＋(b－a)＝－a＋b，故B正确； ＝－＝－＝－a＋b，故C正确． 答案　BC 11． 如图，在△ABC中，＝＝，若＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ＝ ． 解析　因为＝－ ＝－ ＝(＋)＋ ＝－b－a＋b ＝b－a. 所以λ＋μ＝－＋＝0. 答案　0 12．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ． 解析　由＝λ＋μ， 得＝λ·(＋)＋μ·(＋)， 则＋＋＝0， 得＋＋＝0， 得＋＝0. 又与不共线， 所以解得 所以λ＋μ＝. 答案　 13．如图，在△OAB中，G为中线OM上一点，且＝2，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q. (1)用向量，表示； (2)设向量＝，＝n，求n的值． 解析　(1)因为G为中线OM上一点，且＝2， 所以＝＝×(＋)＝＋＝＋×(－)＝＋； (2)因为＝，＝n，＝＋，所以＝＋＝×＋＝＋，又G，P，Q三点共线，所以＋＝1，解得n＝，故n的值为. [核心价值·探索创新] 14．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若＝a，＝b，E为BF的中点，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析　设BE＝m，则AE＝BF＝2BE＝2m， 在Rt△ABE中，可得AB＝m. 过点E作EH⊥AB于点H， 则EH＝＝m，EH∥AD， AH＝＝m. 所以AH＝AB，HE＝AD． 所以＝＋＝＋＝a＋b.故选A． 答案　A 15．设平面上不在一条直线上的三点为O，A，B，证明：当实数p，q满足＋＝1时，连接p，q两个向量终点的直线通过一个定点． 解析　设＝p，＝q，其中C′为直线A′B′上任意一点，如图． 则＝λ＋μ＝λp＋μq(λ＋μ＝1). ∵＋＝1，令λ＝，μ＝， 则＝＋＝，其中C点是以OA，OB为邻边的平行四边形的另一顶点，显然C为定点，故满足要求． 学科网（北京）股份有限公司 $