第5章 5.3.3 古典概型(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

5．3.3　古典概型 学业标准 素养目标 1.结合具体实例，理解古典概型的意义．(难点) 2．掌握古典概型的概率公式，并会求事件的概率．(重点) 1.通过古典概型的概念的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过古典概型概率公式的应用，提升学生数学建模、数学运算等核心素养． 导学 古典概型 　同时抛掷两枚均匀骰子，求“掷出的点数之和等于5”的概率． [提示]　可知共有36个等可能的结果，事件“点数之和等于5”包含4个样本点，故所求概率为＝. 　有人认为，抛掷两枚均匀的骰子，两枚骰子点数之和可能为2，3，4，…，12，共有11种可能的情形．因此，“掷得点数之和是5”的可能性是.这种说法是否正确？为什么？ [提示]　这种说法不正确，任意抛掷两枚骰子，点数之和共有11种可能，但这11种结果不是等可能出现的．如点数之和12出现的可能性是，而点数之和6出现的可能性是，不满足等可能性，故“点数之和是5”的可能性是是不正确的． ◎结论形成 1．古典概型 如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． 2．古典概型的概率公式 试验的样本空间包含n个样本点，事件C包含有m个样本点，则事件C发生的概率为P(C)＝． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“种下一粒花生，观察它是否发芽”的试验是古典概型．(　　) (2)“向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合”的试验是古典概型.(　　) (3)“从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率”是古典概型．(　　) (4)“在区间(0，5)内任取一点，求此点小于2的概率”是古典概型．(　　) 解析　对于(1)，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性，故不正确；对于(2)，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性，故不正确；对于(3)，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于(4)，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故不正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两门学习，则所有可能的结果共有(　　) A．2个　　　　　　　 B．3个 C．4个 D．5个 解析　选学的所有可能情况是{音乐，美术}，{音乐，体育}，{美术，体育}，所以共有3个． 答案　B 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为4的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　掷两颗均匀的骰子，共有36个等可能结果，其中和为4的结果有(1，3)，(3，1)，(2，2)，共3个，故所求概率为＝.故选D． 答案　D 4．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 ． 解析　基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率：P＝＝. 答案　 题型一　利用古典概型公式求概率（一题多变） 　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． [解析]　由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球， 样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点． (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求摸出1个白球和1个黑球的概率． 解析　样本点总数为6， 事件“摸出1个白球和1个黑球”＝{(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共3个样本点，所以P＝＝，即摸出1个白球和1个黑球的概率为. 在确定是古典概型问题后，求其概率只需套用公式P(C)＝计算即可，其中关键是求出n和m的值，即样本点总数和事件C所包含的样本点个数，求基本事件个数时可灵活选用列举法、树状图法、列表法、坐标法等方法.　 [触类旁通] 1．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析　依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C＝6件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有CC＝4， 所以这2名学生来自不同年级的概率为＝. 故选D． 答案　D 题型二　较复杂的古典概型问题 　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，若这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时． (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率． [解析]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来： 如上图所示，本题中的样本点的总数为24. (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝. (2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝. (3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝＝. [素养聚焦]　　本题考查较复杂的古典概型的概率计算问题，突出考查数学建模核心素养． 利用古典概型解较复杂概率问题的注意点 在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、更准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法；对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.　 [触类旁通] 2．(1)从1，2，3，4，5这5个数中任选两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数构成一个对数值，则所得对数值不大于1的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)抛掷两枚骰子，求： ①点数之和为4的倍数的概率； ②点数之和大于5而小于10的概率； ③同时抛掷两枚骰子，至少有一个5点或6点的概率． 解析　(1)用a表示底数，b表示真数，则当b＝1时，(a，b)的所有情况为(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，共4种，此种情况下对数值均为0. 当b≠1时，(a，b)的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共12种． 满足对数值不大于1的情况有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10种，所以所求事件的概率P＝＝，故选A． (2)列表，得样本点总数为n＝36. 第二次掷得点数 点数和 第一次掷得点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ①记事件A为“点数之和是4的倍数”，则由表可知，A包含的样本点为：(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，共9个．所以P(A)＝＝. ②记事件B为“点数之和大于5而小于10”，其所对应的样本点见表中的阴影部分，显然事件B包含的样本点共有20个，所以P(B)＝＝. ③同时抛掷两枚骰子，可能的结果可以表示为下面所示的表格． 第二次掷得点数 第一次掷得点数 　 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 解法一　共有36个样本点，其中至少有一个5点或6点的结果如表中阴影部分所示，共有20个样本点，所以至少有一个5点或6点的概率为P＝＝. 解法二　“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点和6点”，如上表，“没有5点和6点”的样本点共有16个，故“至少有一个5点或6点”的概率为P＝1－＝. 答案　(1)A　(2)略 [缜密思维提能区] 易错辨析 古典概型的应用 [典例]　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道，甲、乙两人依次各抽取一道题，求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率． [解析]　设3道选择题分别为A，B，C，2道填空题分别为D，E，甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(A，E)，(E，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(B，E)，(E，B)，(C，D)，(D，C)，(C，E)，(E，C)，(D，E)，(E，D)，共20种，甲抽到选择题，乙抽到填空题的情况有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，共6种，故所求概率为＝. 纠错心得 “无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的基本事件总数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性．而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分．如本题“甲、乙依次各抽取一题”与“甲、乙共抽两道题”不同，前者与顺序有关，后者与顺序无关．因此古典概型的应用的关键点，一是等可能性，二是是否与顺序有关． 知识落实 技法强化 1.古典概型的概念． 2.古典概型的概率公式． 1.根据公式P(A)＝计算古典概型概率时，关键是求出一次试验中等可能出现的所有样本点数n及事件A所包含的样本点数k，并且注意n种结果必须是等可能的． 2.“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述． [必备知识·基础巩固] 1．下列试验中，是古典概型的有(　　) A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间[1，10]上任取一个实数，求取到1的概率 解析　由古典概型性质：样本点的有限性及它们的发生是等可能的， A：样本点只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足； B：样本点坐标系中整数点是无限的，不满足； C：样本点是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足； D：样本点是区间[1，10]上的所有实数，是无限的，不满足；故选C． 答案　C 2．某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率是，故选D． 答案　D 3．(2024·贵州黔东南高一期末)掷一枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的点数为奇数且小于4，则事件A发生的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有1，2，3，4，5，6共6种， 其中满足掷出的点数为奇数且小于4有1，3共2种， 所以事件A发生的概率为＝. 答案　D 4．(2024·福建南平高一期末)甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423　123　423　344　114　453　525　332　152　342　534　443　512　541　125　432　334　151　314　354 据此估计甲获得冠军的概率为(　　) A．0.5 B．0.6 C．0.65 D．0.68 解析　由题意得甲获胜的情况有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13种，所以估计甲获得冠军的概率为＝0.65，故选C． 答案　C 5．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是 ． 解析　设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，故P＝＝. 答案　 6．甲、乙两名运动员各自从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 ． 解析：试验的样本空间Ω＝{(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)}，有9个样本点． 而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P＝＝. 答案　 7．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ． 解析　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝. 答案　 8．某旅游爱好者计划从三个亚洲国家A1，A2，A3和三个欧洲国家B1，B2，B3中选择两个国家去旅游． (1)若从这六个国家中任选两个，求这两个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，求这两个国家包括A1但不包括B1的概率． 解析　(1)由题意知，从六个国家中任选两个国家，包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个， 其中所选两个国家都是亚洲国家包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个， 故所求概率为＝. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个， 其中所选两个国家包括A1但不包括B1包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个， 故所求概率为. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(　　) A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16 C．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16 解析　记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．故选ACD． 答案　ACD 10．(多选题)从集合A＝{－1，－3，2，4}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－5，1，4}中随机选取一个数记为b，则(　　) A．ab＞0的概率是 B．a＋b≥0的概率是 C．函数y＝ax＋b的图象不经过第三象限的概率是 D．ln a＋ln b＞1的概率是 解析　由题意可得(a，b)的所有可能取法有(－1，－5)，(－1，1)，(－1，4)，(－3，－5)，(－3，1)，(－3，4)，(2，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，－5)，(4，1)，(4，4)，共12种． 满足ab＞0的取法有(－1，－5)，(－3，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共6种， 则ab＞0的概率P1＝＝，因此A正确． 满足a＋b≥0的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，4)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共7种， 则a＋b≥0的概率P2＝，因此B错误． 因为函数y＝ax＋b的图象不经过第三象限，所以a＜0，b≥0，取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，1)，(－3，4)，共4种，则函数y＝ax＋b的图象不经过第三象限的概率P3＝＝，因此C正确． 因为ln a＋ln b＝ln (ab)＞1，所以a＞0，b＞0，ab＞e，取法有(2，4)，(4，1)，(4，4)，共3种，故ln a＋ln b＞1的概率P4＝＝，因此D错误．故选AC． 答案　AC 11．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ． 解析　设他们“心有灵犀”为事件A． 由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，故样本空间共有36个样本点． 满足|a－b|≤1的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个样本点，故所求概率为. 答案　 12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如图．结构为戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如图，若从五个阳数中随机抽取三个数． (1)试验的样本空间包含 个样本点； (2)使得这三个数之和等于15的概率是 ． 解析　从五个阳数中随机抽取三个数，取法有{1，3，5}，{1，3，7}，{1，3，9}，{1，5，7}，{1，5，9}，{1，7，9}，{3，5，7}，{3，5，9}，{3，7，9}，{5，7，9}，故试验的样本空间包含10个样本点，其中当抽到{1，5，9}或者{3，5，7}时，满足这三个数之和等于15，共2种，故概率为＝. 答案　(1)10　(2) 13．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率． 解析　将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共有10个样本点． 令D表示事件“此人被评为优秀”，E表示事件“此人被评为良好”，F表示事件“此人被评为良好及以上”．则 (1)P(D)＝. (2)因为P(E)＝＝， 所以P(F)＝P(D)＋P(E)＝. [核心价值·探索创新] 14．已知1，4，2，8，y这5个数的平均数为4，在2，0，1，y这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个数的中位数的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　因为1，4，2，8，y这5个数的平均数为4， 所以1＋4＋2＋8＋y＝20，解得y＝5. 从2，0，1，5这4个数中随机取出3个不同的数，样本空间Ω＝{(0，1，2)，(0，1，5)，(0，2，5)，(1，2，5)}，共4个样本点，设事件A为“2是取出的3个数的中位数”，则A＝{(0，2，5)，(1，2，5)}，共2个样本点，所以P(A)＝＝.故选C． 答案　C 15．甲、乙进行游戏，规则如下：两人各掷一枚质地均匀、大小相同的骰子，观察正面向上的点数，用数字1，2，3，4，5，6表示掷出的点数，用(i，j)表示“甲掷的点数是i，乙掷出的点数是j”． (1)若点数是顺连号(i＜j)，则甲获胜；若点数相同，则乙获胜，试问这个游戏公平吗？为什么？ (2)定义事件A为“甲掷出的骰子正面向上的点数是6”，事件B为“两人掷出的骰子的点数之和是10”，试求P(A∪B)的值． 解析　(1)依题意基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个； 满足甲获胜的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)共5个，则甲获胜的概率为P甲＝； 满足乙获胜的有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个，则乙获胜的概率为P乙＝＝，因为P甲≠P乙，所以该游戏不公平； (2)事件A包含的基本事件有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，事件B包含的基本事件有(4，6)，(5，5)，(6，4)，所以事件A∪B包含的基本事件有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，(4，6)，(5，5)共8个，所以P(A∪B)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $