第5章 5.1.2 第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

5.1.2　数据的数字特征 第1课时　最值、平均数、中位数、百分位数、众数 学业标准 素养目标 1.结合实例，掌握最值、平均数、中位数、百分位数、众数的定义，理解集中趋势参数的统计含义．(难点) 2.会计算数据的这些数字特征，并能解决有关的实际问题．(重点) 1.通过计算数据的数字特征，主要提升数学运算核心素养． 2.通过数字特征统计含义的应用，重点培养学生数据分析核心素养． 导学 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 　平均数、中位数、百分位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关？它有何缺点？ [提示]　平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大． 　平均数、中位数、百分位数、众数中哪些是一定出现在已知数据中的？哪些不一定出现在已知数据中？ [提示]　众数一定会出现在已知数据中，但可能不是唯一的，而平均数、中位数、百分位数不一定出现在已知数据中． ◎结论形成 1．最值 一组数据的最值指的是其中最大值与最小值，最值反映的是这组数据最极端的情况，最大值用max表示，最小值用min表示． 2．平均数 (1)定义 如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)． 这一公式在数学中常简记为＝i． (2)求和符号∑的性质 ①(xi＋yi)＝i＋i； ②(kxi)＝ki； ③＝nt． (3)平均数的性质 如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b． (4)统计含义 平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数、百分位数和中位数都不具有的性质．所以与众数、百分位数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． 3．中位数、百分位数 (1)中位数定义 如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数据的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数据的中位数． (2)中位数的统计含义 一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势． (3)百分位数 ①定义 一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值． ②计算方法 设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数． ③几个特殊的百分位数 0分位数是最小值，100%分位数是最大值，50%分位数是中位数，25%分位数简称为第一四分位数，75%分位数简称为第三四分位数． 4．众数 (1)定义 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数． (2)统计含义 一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于一组数据来说，众数是唯一的．(　　) (2)中位数在一组数据中是唯一的，且一定是这组数据中的一个数据．(　　) (3)x1，x2，x3的平均数为，则2x1－1，2x2－1，2x3－1的平均数为2－1.(　　) (4)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的25%分位数为6.(　　) 解析　(1)众数可能不唯一． (2)中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的一个数据，也可能不是这组数据中的数据． (3)2x1－1，2x2－1，2x3－1的平均数为2－1，故正确． (4)这组数据的25%分位数为5.故错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数 　B．中位数 　C．方差 　　D．众数 解析　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度． 答案　C 3．下列关于50%分位数的说法正确的是(　　) A．50%分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C．它是四分位数 D．它适用于总体是离散型的数据 解析　由百分位数的意义可知选项B，C，D错误． 答案　A 4．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ． 解析　＝6. 答案　6 题型一　众数、中位数、平均数的简单应用\a\vs4\al(（一题多变） 　在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分别是4∶11，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中位数． [解析]　甲选手各局的得分分别是：4，8，11，4，11，11，11； 按照从小到大的顺序排列是：4，4，8，11，11，11，11； 乙选手各局的得分分别是：11，11，5，11，9，8，6； 按照从小到大的顺序排列是：5，6，8，9，11，11，11. (1)平均数甲＝(4＋8＋11＋4＋11＋11＋11)＝，乙＝(11＋11＋5＋11＋9＋8＋6)＝； (2)两者的众数都是11； (3)甲的中位数是11，乙的中位数是9. [母题变式] (变条件、变结论)例1中若最后一局的比分变为11∶a，其他6局的比分不变，且已知乙运动员成绩的平均数为9，求a的值． 解析　由(11＋11＋5＋11＋9＋8＋a)＝9， 得a＝8. 平均数、众数、中位数的求解策略 (1)求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计． (2)求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数． (3)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数.　 [触类旁通] 1．(1)(2024·浙江杭州高一期中)某校素质运动会上，10个男生的引体向上个数依次为15，17，14，12，10，17，17，16，12，14，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　　) A．c>b>a　　　　　 B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a (2)如果将一组数据5，4，6，5，4，13，5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是(　　) A．中位数和众数都是5 B．众数是10 C．中位数是4 D．中位数、平均数都是5 解析　(1)该组数据的平均数a＝＝14.4； 将引体向上的个数按照从小到大的顺序排列为10，12，12，14，14，15，16，17，17，17， 则中位数b＝＝14.5；该组数据的众数c＝17.∴c>b>a. (2)将这组数据从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5，每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5，这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，B、C错误．平均数＝6，故D错误． 答案　(1)A　(2)A 题型二　百分位数 　从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数． [解析]　将所有数据从小到大排列，得 7．8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4， 则25%分位数是＝8.15， 75%分位数是＝8.75， 95%分位数是第12个数据为9.9. 计算一组数据p%分位数的方法步骤 (1)按照从小到大排列原始数据． (2)计算i＝np%. (3)若i不是整数，大于i的最小整数j，则p%分位数为第j项数据；若i是整数，则p%分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.　 [触类旁通] 2．某省公布了该省6个县市的人均二氧化碳排放量． 县(市) A1 A2 A3 A4 A5 A6 人均排放量/吨 2.0 7.5 3.9 5.3 6.4 5.7 则：①这6个县市人均二氧化碳排放量的中位数是 ； ②人均二氧化碳排放量较少的前25%的县市为 ． 解析　把这组数据由小到大排序得：2.0，3.9，5.3，5.7，6.4，7.5. ①人均二氧化碳排放量的中位数是5.5 ②∵6×25%＝1.5，∴25%分位数是3.9，即应填A1和A3. 答案　①5.5　②A1和A3 题型三　平均数、中位数、众数 　据报道，某公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润(单位：万元)如下表所示： 部门 A B C D E F G 人数 1 1 2 1 5 3 20 每人所创年利润 5.5 5 3.5 3 2.5 2 1.5 (1)求该公司职工每人所创年利润的平均数、中位数、众数． (2)假设部门A每人所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B每人所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？ (3)在(2)的条件下，你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？ [解析]　(1)＝≈2.1(万元)，中位数为1.5(万元)，众数为1.5(万元). (2)′＝≈3.3(万元)，中位数为1.5(万元)，众数为1.5(万元). (3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平． [素养聚焦]　　通过数字特征的应用，重点提升数据分析核心素养． 平均数、中位数、众数均反映了样本数据的“集中趋势”，但各有侧重： (1)平均数与每一个样本数据都有关，任何一个样本数据的改变都可能会引起平均数的改变． (2)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映这组数据的集中趋势． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．因此，若平均数受数据中的极端值影响较大时，估计的可靠性就较低，这时可用众数、中位数来表示这组数据的集中趋势.　 [触类旁通] 3．某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示． 用水量/t 22 38 40 41 44 50 95 天数 1 1 1 2 2 1 2 (1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？ (2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？ 解析　(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是 ＝×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t)； 每天用水量的中位数是＝42.5(t). (2)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适． 知识落实 技法强化 数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义和使用． 选择合适的数字特征体现数据的分布特点： (1)最值：反映一组数据的极端情况． (2)平均数：反映了数据的“平均水平”． (3)中位数和百分位数：优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，便于利用中间数据的信息；缺点是对极端值不敏感．结合百分位数可更好地确定数据的分布特征． (4)众数反映了一组数据的“多数水平”． [必备知识·基础巩固] 1．在某次考试中，10名同学得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95，则这一组数据的众数和中位数分别是(　　) A．84，68　　　　　　　　 B．84，78 C．84，81 D．78，81 解析　显然，在样本容量为10的这组数据中，众数是84，将这10个数据按由小到大的顺序排列：68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，所以中位数是＝81. 答案　C 2．已知甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩分别为甲：9，12，1x，24，27，乙：9，15，1y，18，24(单位：分).其中x，y为两个不清楚的数据，若甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　) A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 解析　因为甲组数据的中位数为15，所以易知x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，所以＝16.8，解得y＝8. 答案　C 3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　) A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 解析　平均数为 ＝87(分)，众数为85(分)，中位数为85(分)，故选C． 答案　C 4．(多选题)已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如下表所示， 成绩 10 9 8 7 人数 1 4 3 2 则下列说法正确的有(　　) A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数为8.5 D．这10名男生引体向上测试成绩的20%分位数为7.5 解析　对于A，10名男生引体向上测试成绩的平均数为(10＋4×9＋3×8＋2×7)＝8.4，所以A错误； 对于B，这10名男生引体向上的测试成绩的众数为9，所以B错误； 对于C，这10名男生引体向上测试成绩的中位数为＝8.5，所以C正确； 对于D，这10名男生引体向上测试成绩的20%分位数为＝7.5，所以D正确． 答案　CD 5．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4　8.4　9.4　9.9　9.6　9.4　9.7 去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数分别为 ． 解析　7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，则平均数为＝＝9.5. 答案　9.5 6．数据1，2，2，3，5，6，6，7，8，8的40%分位数为 ，75%分位数为 ． 解析　∵40%×10＝4，∴40%分位数为＝4；∵75%×10＝7.5，∴75%分位数为第8个数据7. 答案　4　7 7．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人、乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分． 解析　由题意知两个班总成绩为40×90＋50×81＝7 650(分)，总人数为40＋50＝90，所以平均成绩为＝85(分). 答案　85 8．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2022年12月公布了20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表： 国家和地区 排放总量/千吨 人均排放量/吨 国家和地区 排放总量/千吨 人均排放量/吨 中国 10 330 000 7.4 巴西 480 000 2.0 美国 5 300 000 16.6 英国 480 000 7.5 欧盟 3 740 000 7.3 墨西哥 470 000 3.9 印度 2 070 000 1.7 伊朗 410 000 5.3 俄罗斯 1 800 000 12.6 澳大利亚 390 000 16.9 日本 1 360 000 10.7 意大利 390 000 6.4 德国 840 000 10.2 法国 370 000 5.7 韩国 630 000 12.7 南非 330 000 6.2 加拿大 550 000 15.7 波兰 320 000 6.2 印度尼西亚 510 000 2.6 沙特阿拉伯 490 000 16.6 求这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数是多少？ 解析　把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大顺序排列： 1．7，2.0，2.6，3.9，5.3，5.7，6.2，6.2，6.4，7.3，7.4，7.5，10.2，10.7，12.6，12.7，15.7，16.6，16.6，16.9. 因为i＝20×25%＝5为整数， 所以20个数的25%分位数为＝5.5. 因为i＝20×50%＝10，所以50%分位数为＝7.35，因为i＝20×75%＝15， 所以75%分位数为＝12.65. 所以这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量的三个四分位数为 25%分位数 50%分位数 75%分位数 5.5(吨) 7.35(吨) 12.65(吨) [关键能力·综合提升] 9．已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是(　　) A．8.2 B．6.8 C．6.2 D．8.6 解析　由于30×60%＝18，设第19个数据为x， 则＝8.2，解得x＝8.6，即19个数据是8.6. 答案　D 10．记样本x1，x2，…，xm的平均数为，样本y1，y2，…，yn的平均数为(≠).若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＝＋，则的值为(　　) A．3 B．4 C． D． 解析　由题意知x1＋x2＋…＋xm＝m， y1＋y2＋…＋yn＝n， ＝ ＝＝＋ ＝＋. 所以＝，＝， 可得3m＝n，所以＝. 答案　D 11．从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：3，3，4，7，9，10，11，12. 两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲： ，乙： ． 解析　甲、乙两个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．对甲分析：该组数据8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：该组数据最中间的是7与9，故中位数是＝8，故运用了中位数． 答案　众数　中位数 12．某校年级组长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩(单位：分)，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示： 110　144　125　63　89　121　145　123　74　96　97　142　115　68　83　116　139　124　85　98　132　147　128　133　99　117　107　113　96　141 估计该校高三学生一模数学成绩的25%分位数为 ，50%分位数为 ． 解析　把这30名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列为63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147.因为25%×30＝7.5，50%×30＝15，所以这30名学生一模数学成绩的25%分位数为96，50%分位数为＝115.5.据此可以估计本校高三学生一模数学成绩的25%分位数约为96，50%分位数约为115.5. 答案　96　115.5 13．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 解析　(1)甲群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)， 中位数为15(岁)，众数为15(岁).平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． (2)乙群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)， 中位数为5.5(岁)，众数为6(岁). 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差． [核心价值·探索创新] 14．以下是某地在甲、乙两个重要道路交叉口设置的电子监控在连续一周时间里抓拍到的每一天的车辆违章次数情况： 甲：6，8，9，10，9，9，12； 乙：7，9，8，11，10，9，11. (1)试分别求甲、乙两路口车辆违章次数的平均数、中位数、众数； (2)分别求甲的25%分位数和乙的75%分位数． 解析　(1)甲路口车辆违章次数的平均数为 ＝9， 将各数按大小排序为6，8，9，9，9，10，12，因此中位数为9，众数是9. 乙路口车辆违章次数的平均数为 ≈9.3， 将各数按大小排序为7，8，9，9，10，11，11，因此中位数是9，众数是9和11. (2)将甲组数从小到大排列为6，8，9，9，9，10，12，共7个数，因为7×25%＝1.75，所以甲组数的25%分位数为8. 将乙组数从小到大排列为：7，8，9，9，10，11，11，因为7×75%＝5.25，所以乙的75%分位数为11. 15．高一三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82，中位数是75，女同学的平均分是80，中位数是80. (1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)； (2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？ (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？ 解析　(1)这次测验全班平均分＝(82×27＋80×21)≈83.13(分). (2)因为男同学的中位数是75， 所以至少有14人得分不超过75分． 又女同学的中位数是80， 所以至少有11人得分不超过80分． 所以全班至少有25人得分在80分以下(含80分). (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大． 学科网（北京）股份有限公司 $