第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（5分）（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（5分）（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   5．（5分）（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．（6分）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是 . 13．（5分）（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 14．（5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 16．（15分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知． (1)证明． (2)若，求的最小值． 17．（15分）（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 18．（17分）（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【解答过程】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C. 2．（5分）（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（5分）（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，得到，求得，得到，即可求解. 【解答过程】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 4．（5分）（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 5．（5分）（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【解答过程】这一事实表示为一个不等式为． 证明：，， ， 又，， ，即， 即. 故选：. 6．（5分）（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【解答过程】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 7．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【解答过程】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C. 8．（5分）（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD. 10．（6分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解题思路】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【解答过程】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD. 11．（6分）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【解答过程】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【解答过程】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）由作差法代入计算，即可判断； （2）由待定系数法可得，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）设， 则，解得， 所以， 因为，则， 所以，即. 16．（15分）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知． (1)证明． (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）根据不等式的性质，利用作差法证明； （2）利用基本不等式求最小值． 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 所以； （2）因为，则，又， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是． 17．（15分）（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18．（17分）（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【解答过程】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为. 19．（17分）（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解答过程】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $