第10讲 直线的交点坐标与距离公式（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版】 模块一 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1.3】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【变式2.3】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线和的交点为， (1)求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3.1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【变式3.3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4.2】（24-25高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【变式4.3】（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 模块二 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式5.1】（24-25高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【变式5.2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式6.1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·广东揭阳·期末）已知直线：和直线：. (1)若，求a的值； (2)若，求两直线，间的距离. 【变式6.3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）平行直线与直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知直线与直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求与之间的距离． 【变式7.3】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知为实数，设直线，. (1)若，求的值及与的交点坐标； (2)若，求与的距离. 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【变式8.3】（24-25高二上·天津武清·阶段练习）已知直线方程为. (1)证明：直线恒过定点，并求定点坐标； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·陕西西安·期中）费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当的三个内角都小于时，在内部存在唯一的点，使到三角形三个顶点距离之和最小，且点满足：.在直角坐标系内，的费马点为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 13．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 ． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）直线l经过两直线与的交点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)若点到直线l的距离与直线到直线l的距离相等，求实数a的值． 17．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 18．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版】 模块一 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解答过程】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【解答过程】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【解答过程】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可. 【解答过程】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立两直线方程分别解得点坐标，再由两点式即可得出直线的方程. 【解答过程】联立，即； 联立，即； 故直线的方程为，即． 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）联立直线方程后可求，利用平行直线系可求直线方程； （2）利用垂直直线系可求直线方程. 【解答过程】（1）由可得，故， 设所求直线为，代入可得， 故与已知直线平行的直线方程为. （2）设所求直线为，代入可得， 故与已知直线垂直的直线方程为. 【变式2.3】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线和的交点为， (1)求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）求出点坐标，得出斜率，即可求出直线的一般式方程； （2）求出直线的斜率，结合过点，即可求出直线的一般式方程. 【解答过程】（1）由题意， 直线和的交点为， ∴，解得：， ∴, 在直线中，直线过点且两坐标轴截距互为相反数， ∴当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：，即. 当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：， ∴直线的方程为：或. （2）由题意及（1）得，， 在直线中，直线过点且垂直于直线（即）， ∴直线斜率为， ∴直线的方程为：， 即. 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【解题思路】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【解答过程】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 【变式3.3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【解答过程】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 【变式4.1】（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【答案】或或 【解题思路】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值. 【解答过程】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 【变式4.3】（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【解答过程】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 模块二 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得. 【解答过程】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【解题思路】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【解答过程】设，则， 即， 所以. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【解答过程】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一下·四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案. 【解答过程】直线过定点， 直线 ， 则，可得过定点， 所以. 故选：A. 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【解答过程】由题点到直线的距离为. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【解答过程】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 【变式6.2】（24-25高二上·广东揭阳·期末）已知直线：和直线：. (1)若，求a的值； (2)若，求两直线，间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用两条直线垂直的条件即可求得结果. （2）利用两条直线平行的条件求出a的值，再利用点到线的距离公式即可得到答案. 【解答过程】（1）因为：，：且，所以，解得. （2）因为：，：，且，所以且，解得， 所以：，：，即：，：， 所以直线，间的距离为. 【变式6.3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【解题思路】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【解答过程】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）平行直线与直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行可求得，根据两平行直线的距离公式计算即得. 【解答过程】由可得，因，故， 则与之间的距离为：. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再根据平行线的距离公式计算即可. 【解答过程】由题意可知，即，可化为， 所以两平行线的距离为. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知直线与直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由垂直的条件列方程求解； （2）由平行求得参数值，再由平行间距离公式计算． 【解答过程】（1）由，则，解得． （2）由得，解得， 直线的方程为，即， 直线的方程为， 因此，与之间的距离为． 【变式7.3】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知为实数，设直线，. (1)若，求的值及与的交点坐标； (2)若，求与的距离. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据直线方程特点，分和两种情况分析判断，利用两直线垂直的判断方法求得值，回代方程，联立即可求得交点坐标； （2）根据直线方程特点，分和两种情况分析判断，利用两直线平行的判断方法求得值，检验即得直线方程，再利用两平行直线的距离公式，计算即得. 【解答过程】（1）因为直线，，， 当时，直线，，不符合题意 当时，直线斜率为，直线斜率为， 由可得： 即，解得； 则， 联立方程组，解得， 则与的交点坐标为. （2）因为直线，，， 由（1）知：时，不符合题意; 当时，由可得：，即， 解得或， 当时，两直线方程均为，不合题意， 当时，方程为，即， 方程为，即， 故与的距离为. 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【变式8.1】（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【解答过程】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 【变式8.2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【答案】 【解题思路】将函数中的根式转化为两点间距离公式的形式，再利用几何意义即可求解. 【解答过程】将函数中的被开方数进行配方， 可得， 所以函数的几何意义为：轴上一点到点与到点的距离之差， 即，如图所示. 根据三角形三边关系，即有，、当且仅当三点共线时取等号，此时在的延长线上. 故. 综上，的最大值为. 【变式8.3】（24-25高二上·天津武清·阶段练习）已知直线方程为. (1)证明：直线恒过定点，并求定点坐标； (2)为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 【答案】(1) (2)，此时点到直线距离的最大为 【解题思路】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值，并求出垂直时即可． 【解答过程】（1）由直线方程得 ， 因为，所以，解得， 所以直线恒过定点； （2）由（1）知，直线恒过定点， 则直线与已知直线垂直时，点到已知直线距离最大， 可知就是所求最大值， 直线的方程为，即， 因为直线与已知直线垂直， 所以，解得； 且. 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立方程求解即可. 【解答过程】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【解答过程】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【解答过程】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【解答过程】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【解答过程】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 7．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 8．（24-25高三上·陕西西安·期中）费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当的三个内角都小于时，在内部存在唯一的点，使到三角形三个顶点距离之和最小，且点满足：.在直角坐标系内，的费马点为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】确定，直线的方程为，再计算点到直线的距离即可. 【解答过程】如图所示：为等腰三角形，轴于，是中点， 故，，故，    ，直线的方程为，即， 故点到直线的距离为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 【答案】AB 【解题思路】根据点到直线的距离公式计算即可. 【解答过程】依题意，即,解得或. 故选：AB. 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【解答过程】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD. 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解题思路】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【解答过程】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 【答案】 【解题思路】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【解答过程】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 13．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解题思路】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【解答过程】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用点到直线距离公式计算. 【解答过程】点到直线的距离， 整理可得， 解得． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【解题思路】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【解答过程】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）直线l经过两直线与的交点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)若点到直线l的距离与直线到直线l的距离相等，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案； （2）直接由点到直线的距离公式及平行直线之间的距离公式列方程求解即可． 【解答过程】（1）联立，解得， 即两直线交点坐标为(1，6). 因为直线的斜率为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即. （2）由题意得， 整理得，解得或. 17．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【答案】(1)或 (2)或 (3)直线：，最大距离为 【解题思路】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【解答过程】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 18．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意写出直线的直线方程，利用两个距离建立方程，解得点到直线的距离公式，可得答案； （2）根据两直线垂直与点到直线距离，结合两点之间距离公式，建立方程，可得答案. 【解答过程】（1）由题意可得射线所在直线的斜率， 直线的方程为，一般式为， 由点到的距离为，且为轴，则设，， 由点到的距离为，则，整理可得， 解得或（舍去），所以点的坐标为. （2）由，且，则，由题意易知时，距离最近， 设，直线的斜率， 由题意可得，且在上，直线的斜率， 由，则，可得，即， 直线的方程为，整理可得， 点到的距离， 由，则到的距离为，可得， 所以，，解得或， 因为在线段上，所以，则，解得， 所以点的坐标为. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【解答过程】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $