精品解析：四川省部分高中2026届高三第一次联合质检考试数学试题

四川省部分高中2026届第一次联合质检考试 数 学 试 题 考生注意： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 预祝你们考试成功！ 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 A. 57.2，3.6 B. 57.2，56.4 C. 62.8，63.6 D. 62.8，3.6 【答案】D 【解析】 【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变． 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的除法求复数，再求复数的模. 【详解】由题设，所以. 故选：B 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求集合，利用交集定义即可得解. 【详解】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 4. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集和补集的定义即可得解 【详解】由得，则，解得， 所以，则， 所以. 故选：D 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 又因为，所以． 故选：B． 6. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点、准线方程得解. 【详解】由题意知该抛物线的焦点为，准线方程为， 故焦点到准线的距离为2， 故选：B. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 4050 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算可得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则，所以. 故选：C. 8. 若，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知可得，逐个验证选项即可. 【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则， ，故A错误；，故B正确； ，，则，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可. 【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数， 所以，则， 即，所以4为函数的一个周期. 对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确； 对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同， 由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误； 对C, ，则 又，所以，正确； 对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同， 且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确. 故选：ACD 11. “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】要利用向量的外积的定义，可知外积向量的方向是要依据右手法则，所以外积两向量没有交换律，若外积的两个向量交换，则外积向量取反向，理解后就可以作出各选项判断. 【详解】对于A，根据外积定义可得， 又，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反， 即，C错误； 对于D，，根据定义得与反向，， 所以，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直的坐标表示求解作答. 【详解】向量，，且，则， 所以. 故答案为： 13. 若函数在上可导，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再把代入计算可得． 【详解】因为，所以， 把代入得，解得． 故答案为：． 14. 如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】取的中点为E，分别连接和，利用面面平行的性质定理证明，又，可证得四边形为平行四边形，进而可得为的中点，进一步计算可得的值；球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，通过分析计算可得为等边三角形，进而可求出弧PQ的长度. 【详解】取的中点为E，分别连接和， 细查题意知，只有当是的中点时，才满足题意，原因如下： 当是的中点时，，，， 平面，平面， ∵， ∴平面平面， ∵平面， 平面， 平面平面， 又平面平面，平面平面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为的中点， 所以； 球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长， ，， ，即，易得， 取的中点为，故可得， 平面平面，平面， 平面平面， 圆心距，设交线的轨迹为PQ，， 截面圆半径， 又因为，所以为等边三角形， . 故答案为：1，. 【点睛】方法点睛：对于第一空，证明四边形为平行四边形，可利用面面平行的性质定理；对于第二空，通过作出图形，分析截面圆的特征，然后进行几何计算，进而得出为等边三角形，最后计算弧长. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 令，则， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 因，有，则， 可得， 故在上的值域为. 16. 已知椭圆 ：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求 的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点 ， ，已知轴上点，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得， 设，显然， 则，， 所以 . 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆 ：的离心率，得，则， 由椭圆 过点，得，解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 【答案】（1） 因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以． （2） （3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）由题意得到平面，即得，再由可证平面，由线面垂直可得； （2）过在平面内作于，连接，证明平面，得到为二面角的平面角，在中，利用三角函数的定义求解即得； （3）由平面得到到平面的距离即为到平面的距离，利用等体积求得，设直线与平面所成的角为，求得，推得当时，最小，从而的值最大，由此即得点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过在平面内作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以，故为二面角的平面角， 因菱形中，，则，， 又是等边三角形，故， 由，知， 在中，，故二面角的正切值为. 【小问3详解】 因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 因为，所以， 即， 所以， 设直线与平面所成的角为，则，， 因正弦函数在第一象限单调递增，故要使最大，即使最大，则需使最小， 此时，由对称性知，， 所以，此时， 故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，且最大角的正弦值为. 18. 设函数，且. （1）求的取值范围； （2）若，且，求证：. 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 即， 即， 由（1）可知对任意，有，即， 因为，所以， 令，则有， 即， 则， 即， 即 故. 【解析】 【分析】（1）首先利用导数得到在内单调递增，再根据求解即可. （2）首先根据得到，结合第（1）问得到，令，得到，即可证明结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为， 故在内单调递增， 由，可知. 【小问2详解】 略 19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； （2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； （3）证明：不存在“等比关联数列”． 【答案】（1） （2） （3） 当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项， 则，，，， 因为是等比数列，所以，即，所以． 设的公比为，则，所以， 所以，， 剩余四项为，，，， 又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项， 当时，，所以，即，不符合题意； 当时，，所以，即，不符合题意； 因此当时，不存在“等比关联数列”． 【解析】 【分析】（1）根据定义计算出的前三项，即可写出等比数列的通项公式； （2）先计算出及的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再分两种情况讨论的可能性，从而得到使的前3项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率； （3）先计算出的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再求出确定的，推理出，，是连续三项，从而推理出是第4项或第7项，进而分两种情况讨论即可得证. 【小问1详解】 因为，，， 由定义可知，， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为中4项均不相同，所以有种，有项， 假设，则，，，． 设的公比为，则， 又数列的第三项，第四项， 或第三项，第四项， 所以， 且，得，且， 或， 且，得，且， 这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况， 故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省部分高中2026届第一次联合质检考试 数 学 试 题 考生注意： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 预祝你们考试成功！ 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 A. 57.2，3.6 B. 57.2，56.4 C. 62.8，63.6 D. 62.8，3.6 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 6. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 4050 8. 若，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 11. “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则______. 13. 若函数在上可导，，则__________． 14. 如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 16. 已知椭圆 ：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求 的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点 ， ，已知轴上点，求证：. 17. 已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 18. 设函数，且. （1）求的取值范围； （2）若，且，求证：. 19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； （2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； （3）证明：不存在“等比关联数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $