专题12 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用（压轴题10大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题12 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、定义法证明函数的单调性 1 类型二、利用单调性比较大小 3 类型三、利用单调性解不等式 4 类型四、利用函数的单调性求参数 4 类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断） 6 类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式 7 类型七、奇偶性结合单调性比较大小 8 类型八、奇偶性结合单调性解不等式 9 类型九、伪奇函数求最值问题 10 类型十、函数的对称性及其应用 11 压轴专练 13 类型一、定义法证明函数的单调性 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 一、多选题 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．利用定义法证明：函数在上是减函数. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）用定义法证明：函数在上是增函数. 类型二、利用单调性比较大小 利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 一、单选题 1．（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 2．，则有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 类型三、利用单调性解不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江黑河·月考）若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是定义在上的函数，，当时，，则不等式的解集为 4．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 类型四、利用函数的单调性求参数 利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 一、单选题 1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 7．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 8．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断） 定义法 若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 一、单选题 1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广西河池·期末）已知为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 二、填空题 5．（24-25高一上·天津宁河·期中）已知函数是奇函数，则实数a的值为 . 6．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 7．（24-25高一上·山西·期末）若函数为偶函数，则实数 ． 8．（24-25高一上·安徽·期中）已知定义域为的偶函数满足：，则函数的解析式为 . 类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 一、单选题 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（    ） A． B． C． D． 3．已知定义域为的函数为偶函数，且在内单调递减，记，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 类型七、奇偶性结合单调性比较大小 比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 一、单选题 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·月考）已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 类型八、奇偶性结合单调性解不等式 抽象不等式问题，解题步骤是： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 一、单选题 1．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 类型九、伪奇函数求最值问题 伪奇函数的性质：若，其中为奇函数. 则；(2). 一、单选题 1．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 类型十、函数的对称性及其应用 1、(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 2、 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 一、单选题 1．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D．9 4．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知是偶函数，对任意，且，都有，且，的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 2．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 二、多选题 20．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知的定义域是区间， 则“是单调函数”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（    ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 三、填空题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 23．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 24．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 四、解答题 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明： (1)函数是一个奇函数； (2)函数是一个偶函数． 26．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 27．讨论函数在区间上的单调性. 28．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 29．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 30．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、定义法证明函数的单调性 1 类型二、利用单调性比较大小 5 类型三、利用单调性解不等式 7 类型四、利用函数的单调性求参数 10 类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断） 14 类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式 18 类型七、奇偶性结合单调性比较大小 20 类型八、奇偶性结合单调性解不等式 24 类型九、伪奇函数求最值问题 26 类型十、函数的对称性及其应用 27 压轴专练 32 类型一、定义法证明函数的单调性 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 一、多选题 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误. 【详解】AB选项，在是减函数，且，故， ，AB正确； CD选项，因为，，所以， ，C正确，D错误. 故选：ABC 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数单调性定义计算化简出单调区间，应用特殊值法得出B,C 选项不单调递增. 【详解】的定义域为． 设，则， 当时，， 所以，所以在单调递增， 则函数在区间和上单调递增，A，D正确； 当或时， ，则 和上不单调递增，B，C错误． 故选：AD. 二、解答题 3．利用定义法证明：函数在上是减函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据单调性的定义证明即可. 【详解】证明：设 则， ， ，，， ，即， 所以函数在上是减函数. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【分析】函数在上单调递减，利用单调性的定义证明即可. 【详解】函数在上单调递减. 证明如下：任取，且， 则 . 因为， 所以，，， 所以，即. 所以函数在上是单调递减函数. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）用定义法证明：函数在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性定义证明即可. 【详解】证明：设是上的任意两个实数，且，所以， 则 ，. ，即， 函数在上是增函数. 类型二、利用单调性比较大小 利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 一、单选题 1．（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 2．，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性，判断选项即可． 【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有， 可得函数是定义域在上的增函数， 所以（1）（3）． 故选：． 3．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 类型三、利用单调性解不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江黑河·月考）若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性，求解不等式. 【详解】因为函数在单调递减，且， 所以，即，解得. 故选：C. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 二、填空题 3．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是定义在上的函数，，当时，，则不等式的解集为 【答案】 【分析】确定函数的单调性，再利用单调性求解不等式. 【详解】依题意，函数在上单调递减， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是增函数． 又因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 类型四、利用函数的单调性求参数 利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 一、单选题 1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数单调性可求得，再根据不等式范围大小可判断出结论. 【详解】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，函数是一次函数，结合一次函数单调性可判断选项B；当时，对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】当时，， ∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误； 当时，， ∵函数在区间上是严格增函数， 结合反比例函数的性质可知：，即. 故选项A，D错误，选项C正确. 故选：C. 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 二、填空题 6．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围. 【详解】 对任意，都有， 即成立，所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 7．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用定义法判断单调性，转化为不等式恒成立问题求解即可． 【详解】， 则 又在区间上是减函数， 所以在上恒成立，又，， 所以，即， 又，所以, 则 故答案为：． 8．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断） 定义法 若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 一、单选题 1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 4．（24-25高三上·广西河池·期末）已知为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用求出值并验证即可. 【详解】函数的定义域为，而为奇函数，则， 此时，，即为奇函数， 所以. 故选：B 二、填空题 5．（24-25高一上·天津宁河·期中）已知函数是奇函数，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义表达式求解即可. 【详解】由题知，的定义域是， 又是奇函数，故对定义域中的每一个，均满足， 即， 即， 即. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可； 【详解】当时，则， 由奇函数性质知， 所以. 故答案为：. 7．（24-25高一上·山西·期末）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质令代入求解即可； 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：. 8．（24-25高一上·安徽·期中）已知定义域为的偶函数满足：，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】先由构造法求出，再利用偶函数定义即可求出时的解析式，进而可得函数在上的解析式. 【详解】因为，， 所以当时，， 因为是定义域在上的偶函数， 所以当时，，， 所以函数在上的解析式为. 故答案为：. 类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 一、单选题 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 2．已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性可得，，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为是偶函数，所以，. 因为在上是增函数，所以， 所以. 故选;D. 3．已知定义域为的函数为偶函数，且在内单调递减，记，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知区间单调性及偶函数的对称性知在上递增，根据单调性比较的大小关系. 【详解】由为偶函数且在内单调递减， 所以在上递增， 由，而， 因为，故， 所以. 故选：B 类型七、奇偶性结合单调性比较大小 比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 一、单选题 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】是定义域为的奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在R上单调递减. 又，则， 则. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且， 所以，，在上单调递增， 当时，成立； 当时，成立； 当，即时，，即有，可得； 当时，，，可得，可得； 当时，，，可得，可得； 综上，或，即的取值范围是. 故选：B. 【点睛】易错点睛：本题容易忽略的情况，从而出现漏解的情况. 5．（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是奇函数且在单调递增，即可利用函数单调性解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 6．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·月考）已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数结合函数单调性的定义判定其单调性，根据奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】不妨设，所以， 则，所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得，. 故选：D 7．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可取不等式的解. 【详解】因为，且，都有成立， 故在上为增函数，而为上的偶函数， 故，故为上的奇函数， 故在上为单调增函数， 当时，原不等式即为， 故，解得； 当时，原不等式即为， 故，解得， 综上原不等式的解为：， 故选：C. 类型八、奇偶性结合单调性解不等式 抽象不等式问题，解题步骤是： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 一、单选题 1．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 2．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0， 则，故. 故选：B 二、填空题 3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 类型九、伪奇函数求最值问题 伪奇函数的性质：若，其中为奇函数. 则；(2). 一、单选题 1．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 2．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0， 则，故. 故选：B 二、填空题 3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 类型十、函数的对称性及其应用 1、(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 2、 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 一、单选题 1．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小. 【详解】的图象关于对称，所以， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的图象变换求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B 3．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，可得，利用基本不等式求解. 【详解】由题意可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为9. 故选：D. 4．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得函数关于点对称，结合单调性可得函数在上单调递增，再转化不等式为，由单调性即可列不等式得解集. 【详解】因为，则，所以函数关于点对称， 又函数在单调递增，所以函数在上单调递增， 即函数在上单调递增， 不等式转化为， 所以，即，解得， 故不等式的解集为. 故选：C. 5．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知是偶函数，对任意，且，都有，且，的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得的图像关于对称，结合的单调性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，可知的图像关于对称， 且，则， 又因为任意，且，都有， 可知在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增． 当，，可得； 当，，可得； 所以的解集是． 故选：A. 6．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】令，由，所以， 所以是偶函数，的图象关于轴对称， 所以，的图象关于轴对称， 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由，可得或， 结合图象可得或， 所以的解集是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得出函数关于对称，以及根据函数的单调性的定义得出的单调性. 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或， 则实数的取值范围是. 故选：D 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和可得. 【详解】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 2．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性判断即可. 【详解】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 故选：B 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象性质可得函数在上单调，进而可以求解． 【详解】由已知可得函数图象的对称轴为直线，且函数在区间上单调， 则或，解得或， 又，即，所以或， 即的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再结合分段函数，以及基本初等函数的定义，即可求解. 【详解】由题意可知，，则，所以单调递减， 当时，单调递减，则，得， 当时，单调递减，则，得， 在分界点处，，得， 综上可知，. 故选：A 6．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 7．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，即可得到的单调区间，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 即的单调递增区间为，故，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：A 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出的图象关于直线对称，然后分析出在和上的单调性，最后逐项分析函数值大小关系． 【详解】因为，所以的图象关于直线对称，由条件可知在上单调递减，所以在上单调递增． 对于A，，所以A错误； 对于B，因为，所以，所以B错误； 对于C，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为且，所以，所以D错误． 故选：C. 10．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 11．已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出函数在上单调递减，在上单调递增，即可得出的大小. 【详解】函数是R上的偶函数，所以关于对称， 当时，恒成立知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：D. 12．已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式. 【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为. 又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减. 由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得. 故选：A. 13．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式. 【详解】已知对任意，有，这表明当时，；当时，. 即当时，，所以函数在上是减函数. 因为是定义域为的奇函数，所以，那么. 所以可化为，即. 由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得. 得到.可得. 所以不等式的解集为. 故选：B. 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移法则确定函数关于直线对称，且在上单调递增，结合函数对称性和单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称， 又在上单调递增， 由，得，即， 平方并化简，得，解得或，即的取值范围为． 故选：D 15．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可. 【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 16．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果. 【详解】， 设，定义域为， 则，所以函数为奇函数， 所以，则，即. 故选：C. 17．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 18．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围. 【详解】因为，， 用代替得， 所以，结合， 所以，因为，， 所以， 设， 所以在单调递增，所以或或， 所以或或， 所以. 故选：C. 【点睛】方法点睛：二次函数在给定区间上的单调性问题，一般要讨论抛物线开口方向与区间与对称轴的位置关系. 19．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质，结合可求得函数的解析式，再利用即可求值. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得，则， 因为， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据所求和式的特征，通过计算得，即可求值. 二、多选题 20．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知的定义域是区间， 则“是单调函数”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB由单调增减函数定义判断，CD举反例结合充分条件判断即可. 【详解】当，则是单调递增函数； 也即， 是单调递增函数； 当，则是单调递减函数； 也即，是单调递减函数；故AB正确； 对C，令，，但不是单调函数，故C错误， 对D,令,定义域为,满足， 但在不单调，故D错误. 故选：AB 21．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（    ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【答案】BD 【分析】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D. 【详解】令，则有，即，故A错误； 不妨设，由，可得， ∴，∴函数在区间为增函数，故B正确； 由选项B可知，函数在区间为增函数， 可取，此时在区间为增函数， 而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误； ∵函数在区间为增函数，， ∴， ∴， ∴，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则 ． 【答案】－1 【分析】利用函特殊函数值求出，再验证即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即 ，解得， 可得， 因为函数定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，故. 故答案为：. 23．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 24．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 四、解答题 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明： (1)函数是一个奇函数； (2)函数是一个偶函数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明即可； （2）证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 对任意给定的，则． ∵，∴， ∴为奇函数； （2）的定义域为，对任意给定的，若，则， ∴； 若，则，∴． 故，都有，∴为偶函数． 26．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 27．讨论函数在区间上的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. 28．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 29．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 30．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出值. （2）利用单调函数的定义证明单调性. （3）利用函数的单调性及奇偶性角不等式. 【详解】（1）由函数是上的偶函数，得对任意恒成立， 即对任意恒成立，整理得对任意恒成立， 所以. （2）由（1）知，，在上单调递增， 任取，且， 则， 由，得，，， 因此，，则， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）、（2）知，上的偶函数在上单调递增，在上单调递减， 不等式，则，解得或， 所以原不等式的解集为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $