第一章专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第二册

第06课时　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动 1 考点二　带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动 2 考点三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动 3 巩固训练·提升能力 4 第06课时　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图所示，一个带电粒子以垂直于磁感应强度并垂直于磁场边界的速度射入宽度为的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，不计带电粒子所受重力，由此推断该带电粒子  (    ) A. 运动轨迹半径为 B. 电荷量与质量的比值为 C. 穿越磁场的时间为 D. 带负电且在磁场中动能一直增大 【变式训练1】（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和，射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为，两粒子同时由点出发，同时到达点，如图所示，则(    ) A. 粒子带正电，粒子带负电 B. 两粒子的轨道半径之比 C. 两粒子的质量之比 D. 两粒子的质量之比 【变式训练2】（多选）如图所示，矩形内部存在磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直于纸面，已知边长为，边长为，、分别为、的中点。分别在点和点沿水平方向向右射入一个质量为、电荷量为的粒子，粒子的速度大小分别为和，从点射入的粒子从点射出，从点射入的粒子从点射出，两粒子在磁场中的运动时间分别为、，粒子所受的重力不计，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 考点二　带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，边长为的正三角形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，同种粒子每次都从点沿与边成的方向垂直射入磁场，初速度大小为时，粒子从边距点处射出磁场．不计粒子的重力，则粒子(    ) A. 一定带负电 B. 初速度为时，在磁场中运动的时间变短 C. 初速度为时，出射位置距点 D. 射入磁场的速度足够大，能从边的中点射出 【变式训练1】（单选）如图所示，等腰梯形区域包含边界存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，边长，一质量为、带电量为的粒子从点沿着方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子能从边射出，粒子的最大速度为(    ) A.   B. C. D. 【变式训练2】（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上。该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场。不计粒子重力，，。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B. 若粒子恰好从边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间 C. 若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为 D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过 考点三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子不计重力第一次以速度沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转角；该带电粒子第二次以速度从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的(    ) A. 半径之比为 B. 速度之比为 C. 时间之比为 D. 时间之比为 【变式训练1】（单选）一圆筒处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔射入筒内，射入时的运动方向与成角。当筒转过时，该粒子恰好从小孔飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】如图所示，和为平行金属板，质量为、电荷量为的带电粒子从由静止开始被两板间的电场加速后，从上的小孔穿出，以速度由点射入圆形匀强磁场区域，经点穿出磁场，为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。 判断粒子的电性，并求、间的电压； 求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.质量和电荷量都相等的带电粒子和以不同的速率经小孔垂直进入匀强磁场，运动的半圆轨迹如图中虚线所示．下列表述正确的是  (    ) A. 带负电，带正电 B. 的速率小于的速率 C. 洛伦兹力对、做正功 D. 的运行时间大于的运行时间 2.如图所示，有一圆形匀强磁场区域，为圆的圆心，磁场方向垂直纸面向里．两个正、负电子、，以不同的速率沿着方向进入磁场，运动轨迹如图所示，不计电子之间的相互作用及重力。与比较，下列判断正确的是(    ) A. 为正电子，为负电子 B. 的速率较大 C. 在磁场中所受洛伦兹力较大 D. 在磁场中运动的时间较长 3.如图，三个速度大小不同的同种带电粒子沿同一方向从图示长方形区域的匀强磁场边缘射入，当它们从下边缘飞出时，相对入射方向的偏角分别为、、，则它们在磁场中的运动时间之比为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个质量为、电量为的粒子从轴上的点射入磁场，入射速度方向与轴正方的夹角为，粒子垂直轴离开磁场。不计粒子的重力。则正确的是(    ) A. 粒子一定带负电 B. 粒子在磁场中运动的时间为 C. 粒子入射速率为 D. 粒子离开磁场的位置到点的距离为 5.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则为(    ) A. B. C. D. 6.直角三角形中，边长为，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。在边的中点有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率、质量为、电荷量为的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则(    ) A. 从边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是 B. 从边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为 C. 边有粒子射出的区域的长度是 D. 从点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反 二、多选题。 7.如图所示，直线上方存在范围足够大的磁感应强度为的匀强磁场，一质子质量为、电荷量为以速度从点沿与成角的方向射入磁场中，若不计质子重力，则(    ) A. 质子从磁场中射出时距点的距离为 B. 质子从磁场中射出时距点的距离为 C. 质子在磁场中运动的时间为 D. 质子在磁场中运动的时间为 8.如图所示，以为圆心、半径为的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为、带电量为的粒子以速率从圆上的点沿方向垂直射入磁场后，从圆上点图中未画出射出磁场。已知圆心到、两点连线的距离为，不计粒子重力，下列说法正确的是(    ) A. 磁场的磁感应强度大小为 B. 磁场的磁感应强度大小为 C. 粒子在磁场中的运动时间为 D. 粒子在磁场中的运动时间为 9.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是(    ) A. 电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B. 电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C. 在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D. 电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 10.真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子不计重力沿着与夹角的方向以一定的速度大小未知射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为(    ) A. B. C. D. 11.如图所示，半径为的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为该圆形区域的水平直径，为圆心。一带正电微粒从点沿与成角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是(    ) A. 若微粒从圆形磁场边界上的点离开，，则入射速度大小为 B. 若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒人射速度大小为 C. 若人射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为 D. 若将下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为 12.如图所示，直角三角形区域中存在一匀强磁场，比荷不同的两个粒子、不计重力以相同的速度沿方向射入磁场，并分别从边上的、两点射出，粒子的比荷是粒子比荷的一半，则 A. 从点射出的粒子的向心加速度小 B. 从点和点射出的粒子动能一样大 C. 、两粒子带异种电荷 D. 、两粒子在磁场中运动的时间不同 三、计算题。 13.如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，一带电粒子从轴上的点以速度射入第一象限内，速度方向与轴正方向成角，并恰好垂直于轴射出第一象限。已知，不计粒子重力。求： 判断粒子的电性 粒子的比荷粒子从点运动到点的时间。 14.如图所示，圆形区域中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，区域半径为。带电粒子质量为，电荷量为，从点沿半径方向进入磁场区域，从点离开磁场，出磁场时速度偏转角为，带同种电荷的粒子质量为，从点以相同速度沿半径方向进入磁场区域，从圆弧中点点离开磁场。不计重力和粒子间的相互作用，求： 粒子的速度和在磁场中的运动时间 粒子的电荷量 15.如图所示，正六边形的边长为，内有垂直纸面向外的匀强磁场，感应强度为，在点有一粒子源，可以以不同速率沿方向发射质量为，电荷量为的带电粒子不计重力和粒子间的相互作用力，粒子进入正六边形内磁场中运动。求： 粒子从点射出时，该粒子的速率是多少 粒子在磁场中运动的最长时间是多少 若要求粒子从边射出磁场，其速率满足什么条件 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课时　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动 1 考点二　带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动 2 考点三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动 4 巩固训练·提升能力 6 第06课时　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动 关键能力·规律方法 1、直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示，进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等。d为粒子进出磁场的位置相距的距离。 2、平行边界 这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，通常有两种情况，一种是从磁场边界端点飞出，如图甲所示；另一种是与磁场边界相切，如图乙、丙所示。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图所示，一个带电粒子以垂直于磁感应强度并垂直于磁场边界的速度射入宽度为的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，不计带电粒子所受重力，由此推断该带电粒子  (    ) A. 运动轨迹半径为 B. 电荷量与质量的比值为 C. 穿越磁场的时间为 D. 带负电且在磁场中动能一直增大 【变式训练1】（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和，射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为，两粒子同时由点出发，同时到达点，如图所示，则(    ) A. 粒子带正电，粒子带负电 B. 两粒子的轨道半径之比 C. 两粒子的质量之比 D. 两粒子的质量之比 【变式训练2】（多选）如图所示，矩形内部存在磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直于纸面，已知边长为，边长为，、分别为、的中点。分别在点和点沿水平方向向右射入一个质量为、电荷量为的粒子，粒子的速度大小分别为和，从点射入的粒子从点射出，从点射入的粒子从点射出，两粒子在磁场中的运动时间分别为、，粒子所受的重力不计，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 考点二　带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动 关键能力·规律方法 三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 1．一个“解题流程”，突破临界问题 2．从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态予以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，边长为的正三角形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，同种粒子每次都从点沿与边成的方向垂直射入磁场，初速度大小为时，粒子从边距点处射出磁场．不计粒子的重力，则粒子(    ) A. 一定带负电 B. 初速度为时，在磁场中运动的时间变短 C. 初速度为时，出射位置距点 D. 射入磁场的速度足够大，能从边的中点射出 【变式训练1】（单选）如图所示，等腰梯形区域包含边界存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，边长，一质量为、带电量为的粒子从点沿着方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子能从边射出，粒子的最大速度为(    ) A.   B. C. D. 【变式训练2】（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上。该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场。不计粒子重力，，。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B. 若粒子恰好从边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间 C. 若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为 D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过 考点三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动 关键能力·规律方法 1．沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图甲所示)。 粒子做圆周运动的半径r＝。 粒子在磁场中运动的时间 t＝T＝，θ＋α＝。 　　 2．不沿径向射入的粒子的速度方向与半径的夹角为θ，根据对称性，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子不计重力第一次以速度沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转角；该带电粒子第二次以速度从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的(    ) A. 半径之比为 B. 速度之比为 C. 时间之比为 D. 时间之比为 【变式训练1】（单选）一圆筒处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔射入筒内，射入时的运动方向与成角。当筒转过时，该粒子恰好从小孔飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(    ) A. B. C. D. 【变式训练2】如图所示，和为平行金属板，质量为、电荷量为的带电粒子从由静止开始被两板间的电场加速后，从上的小孔穿出，以速度由点射入圆形匀强磁场区域，经点穿出磁场，为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。 判断粒子的电性，并求、间的电压； 求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.质量和电荷量都相等的带电粒子和以不同的速率经小孔垂直进入匀强磁场，运动的半圆轨迹如图中虚线所示．下列表述正确的是  (    ) A. 带负电，带正电 B. 的速率小于的速率 C. 洛伦兹力对、做正功 D. 的运行时间大于的运行时间 2.如图所示，有一圆形匀强磁场区域，为圆的圆心，磁场方向垂直纸面向里．两个正、负电子、，以不同的速率沿着方向进入磁场，运动轨迹如图所示，不计电子之间的相互作用及重力。与比较，下列判断正确的是(    ) A. 为正电子，为负电子 B. 的速率较大 C. 在磁场中所受洛伦兹力较大 D. 在磁场中运动的时间较长 3.如图，三个速度大小不同的同种带电粒子沿同一方向从图示长方形区域的匀强磁场边缘射入，当它们从下边缘飞出时，相对入射方向的偏角分别为、、，则它们在磁场中的运动时间之比为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个质量为、电量为的粒子从轴上的点射入磁场，入射速度方向与轴正方的夹角为，粒子垂直轴离开磁场。不计粒子的重力。则正确的是(    ) A. 粒子一定带负电 B. 粒子在磁场中运动的时间为 C. 粒子入射速率为 D. 粒子离开磁场的位置到点的距离为 5.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则为(    ) A. B. C. D. 6.直角三角形中，边长为，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。在边的中点有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率、质量为、电荷量为的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则(    ) A. 从边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是 B. 从边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为 C. 边有粒子射出的区域的长度是 D. 从点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反 二、多选题。 7.如图所示，直线上方存在范围足够大的磁感应强度为的匀强磁场，一质子质量为、电荷量为以速度从点沿与成角的方向射入磁场中，若不计质子重力，则(    ) A. 质子从磁场中射出时距点的距离为 B. 质子从磁场中射出时距点的距离为 C. 质子在磁场中运动的时间为 D. 质子在磁场中运动的时间为 8.如图所示，以为圆心、半径为的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为、带电量为的粒子以速率从圆上的点沿方向垂直射入磁场后，从圆上点图中未画出射出磁场。已知圆心到、两点连线的距离为，不计粒子重力，下列说法正确的是(    ) A. 磁场的磁感应强度大小为 B. 磁场的磁感应强度大小为 C. 粒子在磁场中的运动时间为 D. 粒子在磁场中的运动时间为 9.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是(    ) A. 电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B. 电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C. 在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D. 电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 10.真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子不计重力沿着与夹角的方向以一定的速度大小未知射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为(    ) A. B. C. D. 11.如图所示，半径为的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为该圆形区域的水平直径，为圆心。一带正电微粒从点沿与成角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是(    ) A. 若微粒从圆形磁场边界上的点离开，，则入射速度大小为 B. 若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒人射速度大小为 C. 若人射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为 D. 若将下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为 12.如图所示，直角三角形区域中存在一匀强磁场，比荷不同的两个粒子、不计重力以相同的速度沿方向射入磁场，并分别从边上的、两点射出，粒子的比荷是粒子比荷的一半，则 A. 从点射出的粒子的向心加速度小 B. 从点和点射出的粒子动能一样大 C. 、两粒子带异种电荷 D. 、两粒子在磁场中运动的时间不同 三、计算题。 13.如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，一带电粒子从轴上的点以速度射入第一象限内，速度方向与轴正方向成角，并恰好垂直于轴射出第一象限。已知，不计粒子重力。求： 判断粒子的电性 粒子的比荷粒子从点运动到点的时间。 14.如图所示，圆形区域中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，区域半径为。带电粒子质量为，电荷量为，从点沿半径方向进入磁场区域，从点离开磁场，出磁场时速度偏转角为，带同种电荷的粒子质量为，从点以相同速度沿半径方向进入磁场区域，从圆弧中点点离开磁场。不计重力和粒子间的相互作用，求： 粒子的速度和在磁场中的运动时间 粒子的电荷量 15.如图所示，正六边形的边长为，内有垂直纸面向外的匀强磁场，感应强度为，在点有一粒子源，可以以不同速率沿方向发射质量为，电荷量为的带电粒子不计重力和粒子间的相互作用力，粒子进入正六边形内磁场中运动。求： 粒子从点射出时，该粒子的速率是多少 粒子在磁场中运动的最长时间是多少 若要求粒子从边射出磁场，其速率满足什么条件 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课时　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动 1 考点二　带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动 5 考点三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动 8 巩固训练·提升能力 11 第06课时　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点一　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动 关键能力·规律方法 1、直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示，进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等。d为粒子进出磁场的位置相距的距离。 2、平行边界 这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，通常有两种情况，一种是从磁场边界端点飞出，如图甲所示；另一种是与磁场边界相切，如图乙、丙所示。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图所示，一个带电粒子以垂直于磁感应强度并垂直于磁场边界的速度射入宽度为的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为，不计带电粒子所受重力，由此推断该带电粒子  (    ) A. 运动轨迹半径为 B. 电荷量与质量的比值为 C. 穿越磁场的时间为 D. 带负电且在磁场中动能一直增大 【答案】B  【解析】【详解】带电粒子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，画出运动轨迹，如图所示 设粒子的轨迹半径为，由几何知识得 解得 故A错误； D.带电粒子受到的洛伦兹力方向与运动方向始终垂直，所以洛伦兹力不做功，不能改变粒子的动能，故D错误； C.穿越磁场的时间为 故C错误； B.根据洛伦兹力提供向心力有 解得 故B正确。 故选B。 【变式训练1】（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度和，射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，磁场宽度为，两粒子同时由点出发，同时到达点，如图所示，则(    ) A. 粒子带正电，粒子带负电 B. 两粒子的轨道半径之比 C. 两粒子的质量之比 D. 两粒子的质量之比 【答案】BD  【解答】A.根据题干，两粒子同时由点出发，同时到达点，可以判断两粒子的运动轨迹如图所示， 由左手定则知粒子带负电，粒子带正电，A错误； B.两粒子的轨道半径分别为、，由轨迹图几何关系可知，两粒子轨道半径分别为 ， ，则，B正确； ．两粒子垂直于磁场方向进入磁场，在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则 ，粒子运动周期 ，粒子运动轨迹对应的圆心角为，粒子运动轨迹对应的圆心角为，两粒子在磁场的运动时间相同，结合，解得，C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练2】（多选）如图所示，矩形内部存在磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直于纸面，已知边长为，边长为，、分别为、的中点。分别在点和点沿水平方向向右射入一个质量为、电荷量为的粒子，粒子的速度大小分别为和，从点射入的粒子从点射出，从点射入的粒子从点射出，两粒子在磁场中的运动时间分别为、，粒子所受的重力不计，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】 【详解】根据题意作出粒子轨迹示意图，如图 在三角形  中，由几何关系可得 求得 即从点射入的粒子从点射出的粒子转过的圆心角 又由 可得 同理，可得 ，  即从点射入的粒子从点射出的粒子转过的圆心角 比较速度可得 粒子运动的时间关系 AC正确。 故选AC。 考点二　带电粒子在多边形边界匀强磁场中的运动 关键能力·规律方法 三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 1．一个“解题流程”，突破临界问题 2．从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态予以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，边长为的正三角形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，同种粒子每次都从点沿与边成的方向垂直射入磁场，初速度大小为时，粒子从边距点处射出磁场．不计粒子的重力，则粒子(    ) A. 一定带负电 B. 初速度为时，在磁场中运动的时间变短 C. 初速度为时，出射位置距点 D. 射入磁场的速度足够大，能从边的中点射出 【答案】C  【解析】由左手定则可知，粒子带正电，故A错误； 由题意可知，初速度大小为时，粒子从边距点处射出磁场，则粒子运动的半径为，当初速度为时，则由，可知粒子的运动半径变为原来的倍，即，因粒子入射方向不变，由图可知出射位置距点，故 C正确； 由图可知，无论粒子的速度是还是时，粒子在磁场中的偏转角均为，根据，粒子在磁场中的运动时间不变，故 B错误； 因边的中点在粒子的入射方向上，则粒子不可能从边的中点射出，故D错误． 【变式训练1】（单选）如图所示，等腰梯形区域包含边界存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，边长，一质量为、带电量为的粒子从点沿着方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子能从边射出，粒子的最大速度为(    ) A.   B. C. D. 【答案】A  【解析】为使粒子能从边射出，其临界点为、，其几何关系如图所示： 当粒子过点时，做圆周运动的圆心在点，根据几何关系可知，根据牛顿第二定律可知，解得；当粒子过点时，起做圆周运动的圆心在点，根据几何关系可知，根据牛顿第二定律可知，解得，为使粒子能从边射出，速度范围。 故选A。 【变式训练2】（多选）如图所示，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形区域，点在原点，点和点分别在轴和轴上。该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一带正电的粒子质量为，电荷量为，以速度从点沿轴正方向射入磁场。不计粒子重力，，。下列说法正确的是(    ) A. 若粒子恰好从点射出磁场，则粒子的速度 B. 若粒子恰好从边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间 C. 若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与轴正方向的夹角为 D. 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过 【答案】BD  【解析】A. 若粒子恰好从点射出磁场，几何关系可知，粒子圆周运动半径为，根据解得，故A错误； B. 若粒子恰好从边的中点射出磁场，轨迹如图： 设轨迹圆半径为，由几何关系可知，解得，则，可知，则粒子在磁场中运动的时间，故B正确 C. 若，则轨迹圆半径，这种情况粒子从边射出，设粒子射出磁场时速度方向与轴正方向夹角为，则，即，故C错误 D. 若粒子从边射出磁场，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大不超过，则最长运动时间，所以粒子在磁场中运动的时间一定不超过，故D正确。 考点三　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动 关键能力·规律方法 1．沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图甲所示)。 粒子做圆周运动的半径r＝。 粒子在磁场中运动的时间 t＝T＝，θ＋α＝。 　　 2．不沿径向射入的粒子的速度方向与半径的夹角为θ，根据对称性，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 例题分析·考点题型 【例题1】（多选）如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子不计重力第一次以速度沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转角；该带电粒子第二次以速度从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的(    ) A. 半径之比为 B. 速度之比为 C. 时间之比为 D. 时间之比为 【答案】AC  【解答】 设圆柱形区域为，带电粒子第一次以速度沿直径入射时，轨迹如图所示，粒子飞出此磁场区域时速度方向偏转角， 则知带电粒子轨迹对应的圆心角，轨迹半径为， 运动时间为； 带电粒子第二次以速度沿直径入射时，粒子飞出此磁场区域时速度方向偏转角，则知带电粒子轨迹对应的圆心角，轨迹半径为，运动时间为； 所以轨迹半径之比：；时间之比：：：； 根据半径公式得，速度之比：故AC正确，BD错误。 故选AC。 【变式训练1】（单选）一圆筒处于磁感应强度大小为的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔射入筒内，射入时的运动方向与成角。当筒转过时，该粒子恰好从小孔飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由题意，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如下图： 由几何关系，粒子做圆周运动的圆弧所对圆心角为，故粒子在磁场中运动时间 粒子在磁场中运动的时间与筒转过所用的时间相等，即，解得，故选A。 【变式训练2】如图所示，和为平行金属板，质量为、电荷量为的带电粒子从由静止开始被两板间的电场加速后，从上的小孔穿出，以速度由点射入圆形匀强磁场区域，经点穿出磁场，为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。 判断粒子的电性，并求、间的电压； 求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； 若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】带电粒子在磁场中运动，由左手定则可知粒子带正电。 粒子在电场中运动，由动能定理有，解得。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有，解得。 设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如下图： 由题意，粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系有 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为，有，带电粒子在磁场中运动的时间 联立以上各式，解得。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.质量和电荷量都相等的带电粒子和以不同的速率经小孔垂直进入匀强磁场，运动的半圆轨迹如图中虚线所示．下列表述正确的是  (    ) A. 带负电，带正电 B. 的速率小于的速率 C. 洛伦兹力对、做正功 D. 的运行时间大于的运行时间 【答案】A  【解析】根据左手定则可知，带正电，带负电，A正确； 因为，而的轨迹半径大于的轨迹半径，所以的速率大于的速率，B错误； 洛伦兹力不做功，C错误； 和的运行时间都为，D错误． 2.如图所示，有一圆形匀强磁场区域，为圆的圆心，磁场方向垂直纸面向里．两个正、负电子、，以不同的速率沿着方向进入磁场，运动轨迹如图所示，不计电子之间的相互作用及重力。与比较，下列判断正确的是(    ) A. 为正电子，为负电子 B. 的速率较大 C. 在磁场中所受洛伦兹力较大 D. 在磁场中运动的时间较长 【答案】B  【解析】A.由的运动轨迹可判断，刚进入磁场，所受洛伦兹力竖直向下，结合左手定则，结合速度方向，可判断带负电，故A错误； B.由运动轨迹可知，的半径大，根据公式，且正负电子的比荷相等，可知，的速率大，故B正确； C.根据公式，结合选项的结论可知，受到的洛伦兹力大，故C错误； D.由运动轨迹可知，的圆心角大，根据公式，可知运动的时间长，故D错误。 故选B。 3.如图，三个速度大小不同的同种带电粒子沿同一方向从图示长方形区域的匀强磁场边缘射入，当它们从下边缘飞出时，相对入射方向的偏角分别为、、，则它们在磁场中的运动时间之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式为，由此可知，三个粒子在磁场中的运动周期相同，所以偏转角为的粒子的运动时间为，偏转角为的粒子的运动时间为，偏转角为的粒子的运动时间为，所以有，选项C正确。 4.如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个质量为、电量为的粒子从轴上的点射入磁场，入射速度方向与轴正方的夹角为，粒子垂直轴离开磁场。不计粒子的重力。则正确的是(    ) A. 粒子一定带负电 B. 粒子在磁场中运动的时间为 C. 粒子入射速率为 D. 粒子离开磁场的位置到点的距离为 【答案】D  【解析】A.根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；   时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图 粒子运动的半径为 洛伦兹力提供向心力 解得粒子入射速率 轨迹对应的圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为 故BC错误； D.粒子离开磁场的位置到点的距离为，故D正确。 故选D。 5.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】 设圆形区域磁场的半径为，当速度大小为时，从点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为图甲时，由题意知，由几何关系得轨迹圆半径为； 从点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为图乙；由题意知，由几何关系得轨迹圆的半径为； 洛伦兹力充当向心力，即：，解得： ，故速度与半径成正比，因此 ，故正确，错误。 6.直角三角形中，边长为，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。在边的中点有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率、质量为、电荷量为的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则(    ) A. 从边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是 B. 从边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为 C. 边有粒子射出的区域的长度是 D. 从点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反 【答案】A  【解析】A.由题意，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则知，从边射出的粒子顺时方向运动到边，根据，得半径 ，结合几何关系，可知从边射出的粒子在磁场中的运动轨迹与相切时，对应在磁场中运动的时间最长，由几何知识求得轨迹对应圆心角为，从点射出时，时间最短，轨迹对应圆心角为，运动轨迹如图所示 根据，，所以从边射出的粒子，在磁场中运动的时间满足，故A正确 B.由几何知识，可得从边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为，故B错误 C.边有粒子射出的区域长度为，故C错误 D.从点射出的粒子，由几何知识判断知速度方向偏转，故 D错误。 故选A。 二、多选题。 7.如图所示，直线上方存在范围足够大的磁感应强度为的匀强磁场，一质子质量为、电荷量为以速度从点沿与成角的方向射入磁场中，若不计质子重力，则(    ) A. 质子从磁场中射出时距点的距离为 B. 质子从磁场中射出时距点的距离为 C. 质子在磁场中运动的时间为 D. 质子在磁场中运动的时间为 【答案】AD  【解析】由左手定则可判断出质子应落在、之间，设质子从磁场中射出时距点的距离为，其运动轨迹如图所示，由图示的几何关系可知，即，粒子做圆周运动满足，所以，故A正确，B错误； 质子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为，所以质子在磁场中运动的时间为，故C错误，D正确。 故选AD。 8.如图所示，以为圆心、半径为的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为、带电量为的粒子以速率从圆上的点沿方向垂直射入磁场后，从圆上点图中未画出射出磁场。已知圆心到、两点连线的距离为，不计粒子重力，下列说法正确的是(    ) A. 磁场的磁感应强度大小为 B. 磁场的磁感应强度大小为 C. 粒子在磁场中的运动时间为 D. 粒子在磁场中的运动时间为 【答案】BC  【解答】粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示： 、由几何关系得、，则，由牛顿第二定律得：，联立解得：，项错误，项正确； 、粒子在磁场中运动的周期为：，在磁场中的运动时间为：，项正确，项错误。 9.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是(    ) A. 电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B. 电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C. 在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D. 电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同 【答案】BC  【解答】、根据知，电子在磁场中运动的周期相等，由知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大，弧长，运动时间越长，圆心角越大，但是半径不一定大，可知电子在磁场中运动时间越长，轨迹线不一定越长，故A错误，B正确； 、由周期公式知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，圆心角相同，但轨迹不一定重合，轨迹、与，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误。 故选：。 10.真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子不计重力沿着与夹角的方向以一定的速度大小未知射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】CD  【解析】粒子从  点射出时，轨迹圆心为  ，半径为  ，如图所示 根据几何关系有  解得  根据，解得 粒子从  点射出时，轨迹圆心为  ，半径为  ，根据几何关系有 解得 根据，可得。 故选CD。 11.如图所示，半径为的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为该圆形区域的水平直径，为圆心。一带正电微粒从点沿与成角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是(    ) A. 若微粒从圆形磁场边界上的点离开，，则入射速度大小为 B. 若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒人射速度大小为 C. 若人射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为 D. 若将下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为 【答案】BD  【解析】A.如图所示连接、，过磁场圆圆心作连线的垂线，再过点作速度的垂线，两垂线的交点即为轨迹圆的圆心，由几何知识，可知刚好在圆形磁场区域的边界上，且水平，故微粒从点离开时对应轨道半径，由，解得，A错误； B.微粒在磁场中运动的位移最大对应为圆的直径，轨道半径，微粒入射速度大小为，B正确； C.只改变入射微粒速度大小，微粒在磁场中运动的轨道对应的圆心角一定小于，时间小于为，C错误； D.若将下方磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为，运动位移最大的出射点仍为点，对应微粒速度，D正确。 故选BD。 12.如图所示，直角三角形区域中存在一匀强磁场，比荷不同的两个粒子、不计重力以相同的速度沿方向射入磁场，并分别从边上的、两点射出，粒子的比荷是粒子比荷的一半，则 A. 从点射出的粒子的向心加速度小 B. 从点和点射出的粒子动能一样大 C. 、两粒子带异种电荷 D. 、两粒子在磁场中运动的时间不同 【答案】AD  【解答】 A.不计重力的粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，分别从点和点射出，轨迹如图所示，由图知，粒子运动的半径，又粒子的向心加速度，速度相同，则大的加速度小，即粒子的加速度小，故A正确。 B.粒子的动能，速度相同，质量不一定相同，则动能不一定相同，故B错误。 C.两粒子偏转方向相向，受力方向相同，为同种电荷，故C错误。 D.粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系图示弦切角相等，粒子在磁场中偏转的圆心角相等，根据粒子在磁场中运动的时间为：；又因为粒子在磁场中圆周运动的周期为：，比荷不同，则周期不同，可知粒子在磁场中运动的时间不相等，故D正确。 故选AD。 三、计算题。 13.如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，一带电粒子从轴上的点以速度射入第一象限内，速度方向与轴正方向成角，并恰好垂直于轴射出第一象限。已知，不计粒子重力。求： 判断粒子的电性 粒子的比荷粒子从点运动到点的时间。 【答案】由左手定则可知，粒子带负电； 粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如图所示 设粒子的质量为，电荷量为，运动轨迹的半径为，根据几何知识可得 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 粒子做匀速圆周运动的周期为 由几何知识可得 则 解得  14.如图所示，圆形区域中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，区域半径为。带电粒子质量为，电荷量为，从点沿半径方向进入磁场区域，从点离开磁场，出磁场时速度偏转角为，带同种电荷的粒子质量为，从点以相同速度沿半径方向进入磁场区域，从圆弧中点点离开磁场。不计重力和粒子间的相互作用，求： 粒子的速度和在磁场中的运动时间 粒子的电荷量 【答案】解：根据粒子运动的轨迹图有几何关系可得粒子的轨迹半径 设粒子的速度为，由于洛伦兹力提供向心力 解得 由几何关系可知，轨迹所对的圆心角为，又周期  解得 由几何关系可知   由于洛伦兹力提供向心力 联立解得  15.如图所示，正六边形的边长为，内有垂直纸面向外的匀强磁场，感应强度为，在点有一粒子源，可以以不同速率沿方向发射质量为，电荷量为的带电粒子不计重力和粒子间的相互作用力，粒子进入正六边形内磁场中运动。求： 粒子从点射出时，该粒子的速率是多少 粒子在磁场中运动的最长时间是多少 若要求粒子从边射出磁场，其速率满足什么条件 【答案】由点射出时，其运动半径为，由，解得 粒子由边射出时，运动的圆心角最大，由几何关系可知 运动的最长时间，又，解得 若粒子恰好由点离开磁场，轨道半径为，速率为，由几何关系可得 由，解得，故其速率应满足的条件为  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $