第一章 集合与常用逻辑用语单元综合测试-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 4．下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 8．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 10．已知集合，则（    ） A． B．A有16个真子集 C．A中有3个元素 D． 11．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，则 . 13．设集合.若，则 . 14．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 16．（15分） 已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 18．（17分） 设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 2．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合， 所以，故A选项错误； ，且不相等，故B，D选项错误； ，故C选项正确. 故选：C. 3．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由全称命题的否定可知， 命题的否定是：， 故选：A 4．下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正整数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故选：A． 5．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故选：C． 6．“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由“”，取，，则关于的方程为，，方程无实数解， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的充分条件； 再由“关于的方程有且仅有整数解”，可设方程的两个整数解分别为，， 根据韦达定理，，则得，故， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的必要条件. 综上，“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的必要不充分条件. 故选：C 7．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解析】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 8．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【解析】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（   ） A．集合的真子集是 B． C．设，若，则 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，集合的真子集包括，A错误； 对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确； 对于C，因为，，，所以，，，C正确； 对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，D正确． 故选：BCD. 10．已知集合，则（    ） A． B．A有16个真子集 C．A中有3个元素 D． 【答案】AD 【考查点】利用元素与集合，集合与集合之间的基本关系来作出判断即可． 【解析】由题得，则，故A正确； A有个真子集，故B错误． A中有4个元素，故C错误； ，故D正确； 故选：AD 11．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，则 . 【答案】0或或 【解析】根据题意可知, 若，可知，满足题意； 若，即时，可知, 若，可知或， 解得或; 综上可知或或. 故答案为：或或 13．设集合.若，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 14．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是 ． 【答案】3或7 【解析】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 因为集合中有个元素，则集合有个子集，有个真子集， 此时集合中有两个元素，其真子集个数为. 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 【解析】（1）由集合， 若，可得且，则，解得， 所以，可得故． （2）由集合， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，实数的值为． 16．（15分） 已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为集合 ， 所以 ， 解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. （2）因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 17．（15分） 已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 【解析】（1）∵，∴，解得． （2）． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． （3）由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 18．（17分） 设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 19．（17分） 对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【解析】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $