6.2不等式的基本性质（题型专练）数学新教材青岛版八年级上册

6.2不等式的基本性质 （3大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一根据不等式的基本性质作判断 题型二 根据不等式的基本性质比较大小 题型三 不等式的基本性质的逆用 题型一根据不等式的基本性质作判断 1．若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 2．根据下列不等式，一定可以得到的是（    ） A． B． C． D． 3．根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．已知，下列式子不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 题型二 根据不等式的基本性质比较大小 1．若，则 ．（填“”“”或“”号） 2．如果，那么 1．（填“”，“ ”，或“”）． 3．若 ，则 （填“”、“”或“”）． 4．已知，则 （填“”“”或“”）． 5．若，且，则 ．（填不等号） 6．若，则，a，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型三 不等式的基本性质的逆用 1．实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 2．已知a，b，c是实数，若，且，则c可能是（　　） A．1 B．0 C． D． 3．若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．实数在数轴上的位置如图所示，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 3．三角形的三边长分别为5，8，，则该三角形的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 5．已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 1．阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 2．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2不等式的基本性质 （3大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一根据不等式的基本性质作判断 题型二 根据不等式的基本性质比较大小 题型三 不等式的基本性质的逆用 题型一根据不等式的基本性质作判断 1．若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，运用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．，，选项不符合题意； B．，，选项符合题意； C．，，选项不符合题意； D．，且，，选项不符合题意． 故选：B． 2．根据下列不等式，一定可以得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.此选项可得同号，无法得出，不符合题意； B. 由，得，不符合题意； C. 由，得，不符合题意； D.由，得，符合题意； 故选：D． 3．根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，注意等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A错误； B．∵， ∴，故B错误； C．∵，当时，成立，故C错误； D．∵，而， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 4．已知，下列式子不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质（不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变）逐项判断即可． 【详解】解：已知， 不等式的两边同时减2，不等号方向不变，一定成立，故A选项不合题意； 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，一定成立，故B选项不合题意； 时，，因此不一定成立，故C选项符合题意； 不等式的两边同时乘再加1，不等号方向不变，一定成立，故D选项不合题意； 故选C． 5．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵ ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 故C符合题意； D、∵，， ∴， 即D选项没说明，故D不符合题意； 题型二 根据不等式的基本性质比较大小 1．若，则 ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】此题考查了不等式的性质，不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．据此进行解答即可． 【详解】解：， 不等式两边都乘以3得， 不等式两边都减去得． 故答案为：． 2．如果，那么 1．（填“”，“ ”，或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．直接根据不等式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：， ，即． 故答案为：． 3．若 ，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以（除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 4．已知，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式性质的应用，注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．直接根据不等式的性质得出答案即可． 【详解】解：， ∴， ． 故答案为：． 5．若，且，则 ．（填不等号） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质求解，即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 故答案为：． 6．若，则，a，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．由题意，，根据不等式的性质比较，a，的大小关系． 【详解】解：， ， ， 三个式子同时加上， ， 故选：D． 题型三 不等式的基本性质的逆用 1．实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较实数大小，不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．由数轴可知，，再根据不等式两边同时乘以一个不为0的正数，不等式方向不变，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， 若，则， 即取值可能为1， 故选：D． 2．已知a，b，c是实数，若，且，则c可能是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向需要改变是解题的关键．根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：，且， 则c一定是负数， 故选：C． 3．若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．根据不等式的性质3求解即可，注意时也成立． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 故选：D． 1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由数轴可知，，根据不等式的性质逐一推理即可． 【详解】A、由图可知，，，所以，，所以，故选项A错误，不符合题意； B、由图可知，，，所以，故选项B错误，不符合题意； C、由图可知，，所以，所以，故选项C错误，不符合题意； D、由图可知，，，所以，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 2．实数在数轴上的位置如图所示，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，实数与数轴，由数轴可得，再根据不等式的性质判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴最大的数是， 故选：． 3．三角形的三边长分别为5，8，，则该三角形的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可求出，进而可得，即． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为5，8，， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：C． 4．阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 5．已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 1．阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值，相应的的值为 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接写出代数式的最小值，通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （2）利用完全平方公式可将代数式变形为，进而利用不等式的性质可得，于是可知其最大值是，再通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （3）利用完全平方公式可将已知条件变形为，于是可得，，通过解一元一次方程即可求出、的值，利用三角形三边之间的关系可得，即，再结合是中最长的边，即可求出的取值范围是； （4）根据已知条件可得，利用完全平方公式可将其变形为，利用不等式的性质可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 当代数式取得其最小值时，， 解得：， 代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， ， 当代数式取得其最大值时，， 解得：， 代数式的最大值是，这时相应的的值为； （3）解：，，是的三边长，且满足， ， ， ， ， ， ，， 解得：，， ， ， 是中最长的边， ， 的取值范围是； （4）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质，解一元一次方程，等式的性质，三角形三边之间的关系，整式的加减运算，有理数大小比较等知识点，利用完全平方公式对代数式或等式进行适当变形是解题的关键． 2．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）将与作差并计算，然后结合已知条件进行判断即可； （2）将与作差并计算，然后将结果与比较大小即可； （3）设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且，则，，将它们作差并计算，然后将结果与比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ； （3）解：设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且， 则，， ， ． 1 / 10 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