重难点06 椭圆的离心率问题5考点（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

重难点06 椭圆的离心率问题 5大高频考点概览 考点01 几何法求离心率 考点02 坐标法求离心率 考点03 求离心率的取值范围 考点04 根据椭圆的离心率求椭圆标准方程 考点05 由椭圆的离心率求参数 地 城 考点01 几何法求离心率 1．（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东·期中）已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为 . 4．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为 . 6．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东·期中）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 坐标法求离心率 9．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·广东揭阳·期中）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广东·期中）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东·期中）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·广东汕头·期中）椭圆C：（）的左右两焦点分别为，，点P在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的离心率为 ． 14．（23-24高二上·广东广州·期中）已知椭圆上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，，则椭圆的离心率为 . 地 城 考点03 求离心率的取值范围 15．（23-24高二上·广东·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2024·广东·期中）已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·广东·期中）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 19．（2024高二·广东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·广东·期中）已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 根据椭圆的离心率求椭圆标准方程 22．（24-25高二下·广东·期中）已知椭圆的下焦点为，其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 23．（24-25高二上·广东广州·期中）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 24．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为16，则椭圆方程为 ． 25．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 26．（22-23高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 地 城 考点05 由椭圆的离心率求参数 27．（22-23高二上·广东·期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是 . 28．（22-23高二上·广东·期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（    ） A．3 B． C．12 D．2 29．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，则曲线是一个圆 B．当时，则曲线是一个椭圆 C．若时，则曲线是焦点为的椭圆 D．若曲线是离心率为的椭圆，则 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点06 椭圆的离心率问题 5大高频考点概览 考点01 几何法求离心率 考点02 坐标法求离心率 考点03 求离心率的取值范围 考点04 根据椭圆的离心率求椭圆标准方程 考点05 由椭圆的离心率求参数 地 城 考点01 几何法求离心率 1．（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设，根据椭圆的对称性和定义可得，，在直角与中，分别利用勾股定理建立方程，解之即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以， 在直角中，由， 即，解得. 在直角中，，即， 把代入整理得，由解得. 故选：C 2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，则可得，从而可求解. 【详解】椭圆E的焦点为，则， 如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有， 在中，由余弦定理推论得， 在中，由余弦定理得，解得， ， 所求椭圆E的离心率为. 故选：B． 3．（24-25高二上·广东·期中）已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】若，根据椭圆的定义有、，应用余弦定理及得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由为等腰三角形，则有，而， 又，， 若，则，， 所以， 在中， 在中， ，即，整理得，则. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率. 【详解】如下图所示： 因为的中点，且，则， 由椭圆的定义，则， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得， 即；又因， 代入整理得：，即， 解得或（舍）. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 故答案为：. 6．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可. 【详解】如图所示：    由题意得，又，则， 因为，，则，，故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得，即，解得. 故选：A. 7．（24-25高二上·广东·期中）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 8．（2024·广东·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，然后根据勾股定理以及椭圆的定义求解出的关系，化简可得的关系，最后根据离心率的定义求出结果. 【详解】设，因为，为的中点， 所以，， 由椭圆定义可得， 所以， 又因为，为的中点， 所以，， 设椭圆的半焦距为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以椭圆C的离心率， 故选：A. 地 城 考点02 坐标法求离心率 9．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆的对称性可得， 则， 则不妨取， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率. 故选：B. 10．（24-25高二上·广东揭阳·期中）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合条件设椭圆方程，并确定各点坐标，根据，得到，列方程化简可得，求离心率可得结论. 【详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 11．（24-25高二上·广东·期中）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设， 则切线，即，切线的斜率， 直线的斜率，则，所以. 故选：C 12．（23-24高二上·广东·期中）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题意可得， 由于，所以， 由于在椭圆上，所以，化简可得， 由于，故， 故选：D    13．（23-24高二上·广东汕头·期中）椭圆C：（）的左右两焦点分别为，，点P在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】作出辅助线，由等边三角形面积得到，，将其代入椭圆中，结合，求出，求出离心率. 【详解】取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 设，则， 故，解得，故， 故， 将代入中得，， 又，故，解得， 故，    故离心率为. 故答案为： 14．（23-24高二上·广东广州·期中）已知椭圆上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】过作轴于，根据相似关系确定，代入方程计算得到答案. 【详解】如图所示：过作轴于， ，则，，故， 则，整理得到，故. 故答案为：. 地 城 考点03 求离心率的取值范围 15．（23-24高二上·广东·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 16．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围. 【详解】 从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小. 若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得， 则只需，即， ， 所以，则，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 17．（2024·广东·期中）已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 【详解】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率. 故选：C. 18．（24-25高二上·广东·期中）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，不妨令焦点在轴，设出椭圆和双曲线的方程，根据垂直关系得到，然后结合三角函数，利用换元法表示出，结合辅助角公式即可求出最终结果. 【详解】由题意不妨设双曲线方程为， 椭圆方程为，， 则，，， 则，， 又，则， 化简可得，即， 设，，则， 设，，， 因为，， 所以， 即，解得， 则， 又，则， 所以，， 即的取值范围是.      故答案为： 19．（2024高二·广东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】依题意知，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*）， 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 又，故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 20．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 21．（23-24高二上·广东·期中）已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆离心率的定义和的大小关系求解离心率的取值范围即可. 【详解】由椭圆， 则椭圆的离心率， 又因为，则， 所以. 故选：B 地 城 考点04 根据椭圆的离心率求椭圆标准方程 22．（24-25高二下·广东·期中）已知椭圆的下焦点为，其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出的方程求解； （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，可得，求出直线与方程，求出交点的纵坐标，得证. 【详解】（1）由题意可知，， 解得， 故椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为， ，则， 由，得，且， 则， 易知直线与的斜率均存在， 则直线的方程为①， 直线的方程为②， 联立①②消去得， ， 故点的纵坐标为定值. 23．（24-25高二上·广东广州·期中）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1); (2),. 【分析】（1）由椭圆的上顶点坐标求得由离心率及椭圆中的关系可求得，从而得椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义得及焦距长可得，由平方及余弦定理解焦点三角形，得，再结合三角形面积公式求得. 【详解】（1）由题意知，解得，. ∴椭圆的方程为. （2）由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ②-①，整理得， 所以三角形的面积. 24．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为16，则椭圆方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆定义和焦点三角形的周长得，再由离心率及椭圆参数关系求椭圆方程. 【详解】由题设，则， 所以，又，则，可得，故椭圆方程为. 故答案为： 25．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 26．（22-23高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 地 城 考点05 由椭圆的离心率求参数 27．（22-23高二上·广东·期中）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是 . 【答案】/0.25 【分析】结合离心率和椭圆的关系式，全部代换为与的关系式，即可求解. 【详解】因为焦点在y轴上的椭圆，故， 又，所以. 故答案为： 28．（22-23高二上·广东·期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（    ） A．3 B． C．12 D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质，求出，得到，进而可求出值. 【详解】焦点在轴上的椭圆，可得， 椭圆的离心率为，可得：，解得. 故选：A 29．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，则曲线是一个圆 B．当时，则曲线是一个椭圆 C．若时，则曲线是焦点为的椭圆 D．若曲线是离心率为的椭圆，则 【答案】AC 【分析】将曲线：化为，将代入即可判断AB，将代入即可判断C，若曲线是离心率为的椭圆，分焦点在轴和焦点在轴两种情况讨论即可判断D. 【详解】解：将曲线：化为， 对于A，当时，曲线的方程为，所以曲线是以原点为圆心，2为半径的圆，故A正确； 对于B，当时，曲线是一个圆，故B错误； 对于C，若时，曲线的方程为，则曲线是焦点在轴上的椭圆，且焦点坐标为，故C正确； 对于D，曲线是离心率为的椭圆，由，即，得且， 当焦点在轴上时，，则，解得， 当焦点在轴上时，，则，解得， 综上，. 若曲线是离心率为的椭圆，则或，故D错误. 故选：AC. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $