重难点03 直线与圆的对称问题9考点（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

重难点03 直线与圆的对称问题 9大高频考点概览 考点01 点关于直线对称问题 考点02 直线关于点对称问题 考点03 直线关于直线对称问题 考点04 根据对称性求最值 考点05 对称在光线反射中的应用 考点06 圆的自身轴对称性 考点07 圆关于点对称 考点08 圆关于直线对称 考点09 与圆的对称有关的最值问题 地 城 考点01 点关于直线对称问题 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 3．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 地 城 考点02 直线关于点对称问题 4．（21-22高二上·广东深圳·期中）1.已知，直线： (1)直线关于点A的对称直线的方程； (2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程. 5．（22-23高二上·广东深圳·期中）（多选）以下四个命题正确的有 A．点和点关于直线对称 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．直线关于原点对称的直线方程为 D．经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 地 城 考点03 直线关于直线对称问题 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为 . 8．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，所在直线方程为.求 (1)点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程. （1）根据中线和均过点，可联立方程求得点坐标； （2）利用点关于直线对称点的求法可求得点关于直线对称的点，由此可得直线方程，即为所求对称直线方程. 9．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 根据对称性求最值 10．（22-23高二上·广东·期中）已知点、，在直线上，则的最小值等于 . 11．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 地 城 考点05 对称在光线反射中的应用 12．（24-25高二上·广东东莞·期中）一条光线从射出，经过轴反射后，与圆相切，则反射光线所在直线的方程为 .（写出一条即可） 13．（24-25高二上·广东佛山·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 14．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于 ． 15．（23-24高二下·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 地 城 考点06 圆的自身轴对称性 16．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 17．（24-25高二上·广东东莞·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 18．（22-23高二上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 由题意可得说明直线经过圆心，推出，代入，利用基本不等式，确定最小值 19．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ． 20．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 地 城 考点07 圆关于点对称 21．（2024高二·广东·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·广东·期中）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 地 城 考点08 圆关于直线对称 24．（21-22高二上·广东深圳·期中）若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A． B． C． D． 25．（21-22高二下·广东深圳·期中）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A．B． C． D． 地 城 考点09 与圆的对称有关的最值问题 26．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 27．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 28．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 . 29．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 直线与圆的对称问题 9大高频考点概览 考点01 点关于直线对称问题 考点02 直线关于点对称问题 考点03 直线关于直线对称问题 考点04 根据对称性求最值 考点05 对称在光线反射中的应用 考点06 圆的自身轴对称性 考点07 圆关于点对称 考点08 圆关于直线对称 考点09 与圆的对称有关的最值问题 地 城 考点01 点关于直线对称问题 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 2．（24-25高二上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求. 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 3．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用对称求出点，然后根据点的坐标得到，最后根据倾斜角与斜率的变化关系得到范围. 【详解】设点，有，解得，，所以， ，，结合图可知，. 故答案为：. 地 城 考点02 直线关于点对称问题 4．（21-22高二上·广东深圳·期中）1.已知，直线： (1)直线关于点A的对称直线的方程； (2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设上任意一点坐标，利用对称，求出点关于的对称点，代入到直线中，即可求解出直线的方程；（2）先求出与直线的交点，则反射光线一定经过交点，再在上任意找一点，求出该点关于直线的对称点，则直线就是反射光线所在的直线 【详解】（1）设点是直线上一点，则点关于的对称点为，因为在直线上，代入得： 所以直线的方程为： （2）如图所示，联立与，解得： ，所以交点坐标为，在直线上任找一点，比如，求出关于直线：的对称点，则直线BD即为反射光线所在的直线，则由题意得： ，解得： 则，直线BD为：    5．（22-23高二上·广东深圳·期中）（多选）以下四个命题正确的有 A．点和点关于直线对称 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．直线关于原点对称的直线方程为 D．经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 【答案】ABD 【分析】则的中点在直线上，且与直线垂直，可判断A选项的正误；求出圆上的点到直线的距离等于的点的个数，可判断B选项的正误；求出直线关于原点对称的直线方程，可判断C选项的正误；求出经过点且在轴和轴上截距互为相反数的直线方程，可判断D选项的正误. 【详解】对于A，若点和点关于直线对称， 则的中点在直线上，且与直线垂直， 所以A正确； 对于B，设与直线平行且与直线之间的距离为的直线的方程为， 则，解得或， 所以，圆上的点到直线的距离等于的点的个数即为 直线、与圆的公共点的个数之和， 圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交，直线与圆相切， 故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B正确； 对于C，直线关于原点对称的直线为， 在直线上任取一点，则点关于原点的对称点在直线上， 则有，即， 因此，直线关于原点对称的直线方程为，C不正确； 对于D，若所求直线过原点，可设所求直线的方程为，则， 此时，所求直线的方程为， 若所求直线不过原点，可设所求直线的方程为，则， 此时，不满足题意. 综上所述，经过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为，D正确. 故选：ABD. 地 城 考点03 直线关于直线对称问题 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线，将点的坐标代入直线的方程，可求出所求直线的方程. 【分析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 7．（22-23高二上·广东佛山·期中）直线关于直线的对称直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出为所求直线上一点，找出其关于的对称点，代入直线即可求出. 【详解】设为所求直线上一点，它关于的对称点为， 则可得， 由题可得在直线上， 所以，整理可得所求的对称直线方程为. 故答案为：. 8．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，所在直线方程为.求 (1)点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据中线和均过点，可联立方程求得点坐标； （2）利用点关于直线对称点的求法可求得点关于直线对称的点，由此可得直线方程，即为所求对称直线方程. 【详解】（1）由得：，即. （2）设关于直线对称的点，则，解得：， ，则直线方程为，即， 即直线关于直线对称的直线方程为：. 9．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 地 城 考点04 根据对称性求最值 10．（22-23高二上·广东·期中）已知点、，在直线上，则的最小值等于 . 【答案】12 【分析】求出关于的对称点的坐标，则即为的最小值. 【详解】设关于的对称点为 则，解得，， ，则， 所以的最小值是12. 故答案为：. 11．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 地 城 考点05 对称在光线反射中的应用 12．（24-25高二上·广东东莞·期中）一条光线从射出，经过轴反射后，与圆相切，则反射光线所在直线的方程为 .（写出一条即可） 【答案】（答案不唯一，或） 【分析】由题意反射光线经过，设为，根据直线与圆相切列式即可求出，进而得出反射光线所在直线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 点关于轴的对称点为，反射光线斜率存在， 设反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 所以，解得或， 所以反射光线所在直线的方程为：或. 故答案为：或. 13．（24-25高二上·广东佛山·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点，然后计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直， 故，. 从而，，故，即或. 但不重合，故，所以，从而，即. 而，，故. 根据对称性，光线经过的路程即为. 故选：C. 14．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于 ． 【答案】 【分析】根据对称性求出直线与直线的方程，再将这两条直线的方程联立，即可求得点的坐标. 【详解】如下图所示： 则、，直线方程为 ，即， 三角形重心为 ，即， 设，设点关于直线对称点为， 由题意可得，解得，即点， 由光的反射性可知、、、四点共线，且， 直线斜率为，直线方程为， 因为直线过重心，即，整理得， 解得（舍去）或，即点， 所以，直线的方程为， 联立，解得，即点. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）. 15．（23-24高二下·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 【答案】/0.5 【分析】求出点关于的对称点为，设，则，求出关于轴的对称点为，表达出直线的方程，由对称性可得在直线上，代入方程，求出，求出直线的方程，联立直线与直线，求出，从而得到的值. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 地 城 考点06 圆的自身轴对称性 16．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心，可求的值. 【详解】由，得，故圆心为， 又因为圆关于直线对称， 故圆心在直线上，则. 故选：A 17．（24-25高二上·广东东莞·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，解得. 故选:A. 18．（22-23高二上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】16 【分析】 由题意可得说明直线经过圆心，推出，代入，利用基本不等式，确定最小值 【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值是16 故答案为：16 19．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ． 【答案】20 【分析】由圆关于直线对称列方程求，由此确定圆的圆心坐标和半径，设，由直线与圆有公共点，列不等式求的范围及最大值. 【详解】方程可化为， 所以圆的圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则， 所以，所以，所以的最大值为20， 故答案为：20. 20．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 地 城 考点07 圆关于点对称 21．（2024高二·广东·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知圆与所求圆对称，求出圆心和半径，即可得出圆的方程. 【详解】因为所求圆的圆心与圆的圆心关于原点对称， 所以所求圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为. 故选：B. 22．（23-24高二上·广东·期中）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为， 故选：D 23．（24-25高二上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解. 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 地 城 考点08 圆关于直线对称 24．（21-22高二上·广东深圳·期中）若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点关于直线对称可求得圆心的坐标，进而可得出圆的方程. 【详解】记点，设圆心的坐标为，则，可得， 线段的中点在直线上，则，即， 所以，，解得，即圆心， 因此，圆的方程为. 故选：A. 25．（21-22高二下·广东深圳·期中）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为 因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为 即 故选：C 地 城 考点09 与圆的对称有关的最值问题 26．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得结果. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 故选：C 27．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】先根据已知画出圆及点结合点关于x轴对称，进而数形结合即可得出距离和的最小值. 【详解】根据题意画出圆，以及点的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值， 为点到点的距离减圆的半径， 即， 故答案为：． 28．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为 . 【答案】11 【分析】先设C的对称点根据斜率关系及中点在对称直线上求出点,再根据数形结合得出距离和最小最后应用两点间距离公式计算即可. 【详解】设圆心关于对称的点为， 则解得 即，连接，， 所以， 所以当三点共线时距离和最小为， 故的最小值为. 故答案为：11. 29．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解. 【详解】圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $