25.2 用列举法求概率（分层作业）数学人教版九年级上册

25.2 用列举法求概率 题型一 用列举法求概率—放回问题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》(依次用字母A、B、C、D表示这四个材料)，将A、B、C、D 分别写在4 张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明从A、B、C、D 4 张卡片中随机选 1 张，则所选的诵读材料是《论语》的概率是______； (2)若小明先从A，B，C，D 4 张卡片中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小亮从中随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法求他俩抽到两个相同诵读材料的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率．用列表法或树状图法展示等可能的所有事件是关键． （1）所有等可能事件共有四种，小明从中选取《论语》这一种的概率为． （2）本题可采用列表法（也可以用画树状图法）．列表时可用横向表示小明，纵向表示小亮，所有等可能事件的总数是（种），两人抽取到相同诵读材料的事件有4种，从而可求得结果． 【详解】（1）小明随机抽到诵读材料是《论语》的概率是：． （2）小明与小亮先后抽取卡片的情况列表如下： 一共有16种等可能的情况，其中符合题意的情况共有四种， ∴他俩抽到两个相同诵读材料的概率是：． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． (1)求甲同学选择班剪纸课的概率． (2)利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 【答案】(1)甲同学选班的概率为； (2)甲乙两人选择同一门课程的概率为． 【分析】本题考查的知识点是列举法求概率和列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 直接根据概率公式求解即可； 完整列出表格，列清所有可能的情况及甲、乙两人选择同一门课程的情况，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋共门特色课程， 甲同学选择班剪纸的概率为． （2）解：如下表所示： 　　乙 甲 共有种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有种， 甲、乙两人选择同一门课程的概率为． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某学校开设了（几何画板），（数学文化与趣味数学），（生活中的数学），（生活中的博弈论）四门数学类选修课供学生选择，小红和小亮两位学生分别随机选择其中一门课程学习． (1)小红选择（数学文化与趣味数学）的概率为______； (2)请利用列表或画树状图的方法，求两人恰好同时选择（几何画板）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题、两步概率问题，根据题意，掌握概率问题的解法，熟练掌握列举法求两步概率问题是解决问题的关键． （1）根据题意，结合一步概率问题的解法，利用简单概率公式求解即可得到答案； （2）根据题意，结合两步概率问题的解法，列表得到两人恰好同时选择（几何画板）及所有可能结果数，利用简单概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：开设了（几何画板），（数学文化与趣味数学），（生活中的数学），（生活中的博弈论）四门数学类选修课供学生选择， 小红选择（数学文化与趣味数学）的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 由上表可知，共有16种等可能的结果，两人恰好同时选择（几何画板）只有1种结果，则（两人恰好同时选择（几何画板））． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球恰好颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：从袋子中摸出1个球，可能是红球、白球、黑球共种结果，其中是红球的有种，故摸出一个球是红球的概率为； （2）解：画树状图为 共有种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色相同的结果有种， ∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为 ． 题型二 用列举法求概率—不放回问题 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）礼泉历史悠久，自秦始皇二十六年（前221年）建县，已有2200多年历史．境内有古文化遗址21处，古建筑5处，是陕西省18个重点文物旅游大县之一．某数学小组制作了四张礼泉县的风景名胜卡片，卡片除正面内容不同之外，其他完全相同，卡片正面内容如图所示： (1)将四张卡片背面朝上，洗匀后，从第随机抽取一张，恰好抽到“C．礼泉文庙”的概率是______； (2)将四张卡片骩于暗箱摇匀，随机抽取一张不放回，然后再随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的概率．（不考虑所抽取卡片的顺序） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接由概率公式求解即可； （2）画出树状图，得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，每张卡片被抽取的概率相同， ∴从中随机抽取一张，恰好抽到“C．礼泉文庙”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有种等可能性的结果数，其中抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的结果数有两种， ∴抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的概率为． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字，0，1，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀． (1)从口袋中随机取出一个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是______． (2)从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后再从剩下的小球中随机取出一个小球，记小球上的数字为．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，求得到的点坐标在第二象限的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合要求的结果数求出概率的即可． 【详解】（1）解：从口袋中随机取出一个小球结果有种，它们是等可能性的，取出的小球上的数字不为0的结果有两种， ∴取出的小球上的数字不为0的概率是； （2）画树状图为： 共有种等可能的结果数，得到的点坐标在第二象限的是 ，结果有种， ∴概率为． 3．（23-24九年级上·江西·期末）某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读活动，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，诵读的篇目有四种类型：．人生哲理；．家国情怀；．励志劝勉；．山明水秀．参与者需从这四种类型中随机抽取一种进行诵读． (1)若小贤参加“单人项目”，则他抽中的恰好是“．家国情怀”的概率为 ． (2)小凡和小欣参加“双人项目”，比赛规定：参加“双人项目”的两位同学，一位同学先抽，不放回，另一位同学再抽，且每人只能抽取一次，请用画树状图或列表的方法，求他们恰好抽到“．人生哲理”和“．励志劝勉”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小贤参加“单人项目”，他抽中的可能有种结果，他们是等可能性的，他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”有种可能，即概率为； （2）解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“．人生管理”和“．励志劝勉”类篇目的结果数为； 所以他们恰好抽到“．人生管理”和“．励志劝勉”类篇目的概率为． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期中）2023年9月23日晚，“第19届亚运会”开幕式在我国杭州隆重举行．小明和爸爸此次来杭州除了观看精彩比赛外，还想游览杭州的美景。由于时间关系，原计划去的乌镇和千岛湖只能去一个地方，他们决定不了．最后小刚提出用抽扑克牌的方式来决定．具体方法如下：把四张牌面数字分别是2、3、4、5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小刚先从其中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，那么去乌镇；否则，就去千岛湖． (1)如果小刚抽出的牌面数字是4，那么他们去乌镇的概率为 ； (2)请利用画树状图或列表的方法分析他们去乌镇和千岛湖哪个地方的概率大． 【答案】(1) (2)小刚和爸爸去千岛湖的概率大 【分析】（1）对结果进行列举，根据题意进行计算即可； （2）列出表格，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得 爸爸可选的扑克为2、3、5的三种结果，其中数字之和大于的为， ； 故答案：； （2）解：列表如下： 2 3 4 5 2      　　 3 4 5 共有12种等可能结果，其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，小于或等于7的结果有8种， 两人的牌面数字之和大于的概率：， 两人的牌面数字之和小于或等于的概率：， ， 小刚和爸爸去千岛湖的概率大． 【点睛】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图，理解放回和不放回的区别是解题的关键． 题型三 游戏的公平性 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 2．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ； (2)小明、小华和小颖利用这个转盘做游戏，采用下列游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之和小于等于3，则小明胜，若两数之和大于等于5，则小华胜，否则小颖胜．你认为这个游戏对小明和小华公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏对小明和小华公平，见解析 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式和列表法与树状图法． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两数之和小于等于3的结果数与两数之和大于等于5的结果数，则可计算出小明胜的概率、小华胜的概率和小颖胜的概率，然后比较两概率的大小可判断这个游戏对小明和小华是否公平． 【详解】（1）解：随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率； 故答案为：； （2）解：这个游戏对小明和小华公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两数之和小于等于3的结果数为3，两数之和大于等于5的结果数为3， 所以小明胜的概率，小华胜的概率，小颖胜的概率为， 因为， 所以这个游戏对小明和小华公平． 4．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．        A盘                B盘 (1)事件“盘转到数字4”是_______事件；（选填：必然，随机或不可能） (2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】(1)不可能 (2)这个游戏对双方不公平，理由见解析 【分析】本题考查事件判定、列表法求概率判断游戏的公平性等知识，读懂题意，熟记事件分类、列表法求概率的方法是解决问题的关键． （1）由事件的分类，结合题中盘没有数字4，即可得到答案； （2）由列表法得到全部结果，分别求出两次数字之和为奇数的概率及两次数字之和为偶数的概率，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知，盘没有数字4，因此，事件“盘转到数字4”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：这个游戏对双方不公平， 理由如下：列表如下，           2 3 4 1 3 4 5 2 4 5 6 3 5 6 7 由表可知，共有9种等可能得结果，其中偶数有4种，奇数有5种， （小明胜）；（小亮胜）； ， 这个游戏对双方不公平． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； (3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数，再求出C等级学生人数，再补全条形统计图即可； （2）用乘以B等级所占的比例即可解答； （3）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是男生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（名）． C等级学生人数为：（人）． 补全条形图如图： 故答案为：50． （2）解：测试结果为等级的学生数为20名， ． 故答案为：． （3）解：画出树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2． 所以抽取的两人恰好都是男生的概率为． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图、画条形统计图、求扇形统计图圆心角等知识点，从统计图中获取所需信息是解题关键． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【答案】(1)， (2)    【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率． (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了树状图法求概率、根的判别式等知识，熟练掌握列表法与树状图法、根的判别式以及概率公式是解答本题的关键． （1）先求出一元二次方程有实数根时，a的取值范围，再根据概率公式求解即可． （2）画树状图可得出所有可能出现的结果，再通过树状图得出点落在第二象限内的结果，利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：若一元二次方程有实数根， 则， ∴， ∵数字，，，中，小于等于的有，， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为； （2）画树状图如下：      共有12种等可能的结果：，，，，，，，，，，，， 其中落在第二象限内的有：，，共2种结果， ∴点落在第二象限内的概率为． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 【答案】(1)摸出的球上面标的数字为正数的概率是 (2)点M落在四边形内部（含边界）的概率为 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握用列表法或树状图法是解题的关键． （）直接利用概率公式计算可得； （）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； 【详解】（1），0，1中，正数有1个， ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 （2）如图， 列表如下： 0 1 0 1 由表知，共有9种等可能结果，其中点M落在四边形所围成的部分内（含边界）的有：，，，，，这6个， ∴点M落在四边形内部（含边界）的概率为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 用列举法求概率 题型一 用列举法求概率—放回问题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》(依次用字母A、B、C、D表示这四个材料)，将A、B、C、D 分别写在4 张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明从A、B、C、D 4 张卡片中随机选 1 张，则所选的诵读材料是《论语》的概率是______； (2)若小明先从A，B，C，D 4 张卡片中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小亮从中随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法求他俩抽到两个相同诵读材料的概率． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． (1)求甲同学选择班剪纸课的概率． (2)利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某学校开设了（几何画板），（数学文化与趣味数学），（生活中的数学），（生活中的博弈论）四门数学类选修课供学生选择，小红和小亮两位学生分别随机选择其中一门课程学习． (1)小红选择（数学文化与趣味数学）的概率为______； (2)请利用列表或画树状图的方法，求两人恰好同时选择（几何画板）的概率． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）． 题型二 用列举法求概率—不放回问题 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）礼泉历史悠久，自秦始皇二十六年（前221年）建县，已有2200多年历史．境内有古文化遗址21处，古建筑5处，是陕西省18个重点文物旅游大县之一．某数学小组制作了四张礼泉县的风景名胜卡片，卡片除正面内容不同之外，其他完全相同，卡片正面内容如图所示： (1)将四张卡片背面朝上，洗匀后，从第随机抽取一张，恰好抽到“C．礼泉文庙”的概率是______； (2)将四张卡片骩于暗箱摇匀，随机抽取一张不放回，然后再随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的概率．（不考虑所抽取卡片的顺序） 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字，0，1，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀． (1)从口袋中随机取出一个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是______． (2)从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后再从剩下的小球中随机取出一个小球，记小球上的数字为．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，求得到的点坐标在第二象限的概率． 3．（23-24九年级上·江西·期末）某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读活动，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，诵读的篇目有四种类型：．人生哲理；．家国情怀；．励志劝勉；．山明水秀．参与者需从这四种类型中随机抽取一种进行诵读． (1)若小贤参加“单人项目”，则他抽中的恰好是“．家国情怀”的概率为 ． (2)小凡和小欣参加“双人项目”，比赛规定：参加“双人项目”的两位同学，一位同学先抽，不放回，另一位同学再抽，且每人只能抽取一次，请用画树状图或列表的方法，求他们恰好抽到“．人生哲理”和“．励志劝勉”的概率． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期中）2023年9月23日晚，“第19届亚运会”开幕式在我国杭州隆重举行．小明和爸爸此次来杭州除了观看精彩比赛外，还想游览杭州的美景。由于时间关系，原计划去的乌镇和千岛湖只能去一个地方，他们决定不了．最后小刚提出用抽扑克牌的方式来决定．具体方法如下：把四张牌面数字分别是2、3、4、5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小刚先从其中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，那么去乌镇；否则，就去千岛湖． (1)如果小刚抽出的牌面数字是4，那么他们去乌镇的概率为 ； (2)请利用画树状图或列表的方法分析他们去乌镇和千岛湖哪个地方的概率大． 题型三 游戏的公平性 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 2．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为 ； (2)小明、小华和小颖利用这个转盘做游戏，采用下列游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之和小于等于3，则小明胜，若两数之和大于等于5，则小华胜，否则小颖胜．你认为这个游戏对小明和小华公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 4．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．        A盘                B盘 (1)事件“盘转到数字4”是_______事件；（选填：必然，随机或不可能） (2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图； (2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____； (3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率． (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $