重难点04 圆的轨迹及最值问题6考点（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

重难点04 圆的轨迹及最值问题 6大高频考点概览 考点01 圆的轨迹问题 考点02 定点到圆上点的最值 考点03 圆上点到定直线的最值 考点04 过圆内定点的弦长最值 考点05 切线长的最值 考点06 斜率、截距、距离型最值 地 城 考点01 圆的轨迹问题 1．（24-25高二上·广东·期中）已知，，圆上恰有个点满足，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得点在圆上，结合圆与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可. 【详解】设， 由，可得， 即， 即点在圆上， 且圆心，半径， 又圆的圆心为，半径为， 且圆上恰有个点满足该条件， 即圆与圆有两个公共点， 则， 即， 解得， 故选：A. 2．（24-25高二下·广东河源·期中）已知圆：，直线：． (1)若与仅有一个交点，求； (2)设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径求解. （2）利用求出点的轨迹圆的方程，则问题转化为该圆与直线存在公共点，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】（1）圆心，半径，因与仅有一个交点， 则圆心到直线的距离，所以. （2）设点，由，得， 化简得，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 又点在直线上，则直线与圆存在公共点， 则，解得， 所以的取值范围为. 3．（24-25高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)定值， 【分析】（1）设，结合题设列出方程即可求解； （2）设，，，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，进而求解即可. 【详解】（1）设，因为，即， 所以， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）设，，. 联立方程组得， 所以， 则，， 因为 ， 所以， 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为.    4．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点． (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及线段的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设，，根据中点及点在圆上，代入可得轨迹方程； （2）易知为圆与圆的公共弦，两圆联立可得直线方程，再根据垂径定理可得线段长度. 【详解】（1）设，， 则，即， 又点在圆上， 即，即， 代入可得， 即； （2）   由（1）得点在圆上， 又点在上， 由，可知点与满足， 即与在圆， 即为圆与圆的公共弦， 联立可得， 又圆心到的距离， 所以弦长. 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求P的轨迹方程，首先设出点，然后根据两点间距离公式，求得方程； （2）先求出直线的定点坐标，然后根据垂径定理求得的距离，又因为直线过定点，所以最大取到直径，最小就是垂径定理求得的距离，故可得的取值范围. 【详解】（1）设，， 由题意可得，两端同时平方得， 故，化简得. 故曲线的方程为：. （2）直线：，即， 令，解得， 故直线过定点. 代入点到圆的方程：， 故点在圆的内部. 设圆心到直线的距离为，又， 所以. 又因为，， 所以,解得. 故的取值范围为：. 6．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，进而求得圆的半径，可求圆的方程； （2）设，根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由，解得，则圆心为 ， 圆的标准方程为 （2）设.由，可得， 则， 又点在圆上，所以，即， 化简得， 点的轨迹方程为. 7．（24-25高二上·广东·期中）在中，若动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，应用向量数量积的坐标公式列方程求得，利用定点到圆心距离求定点到圆上点距离的范围. 【详解】设，则，即， 即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 又，所以的取值范围为. 故选：C 8．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】运用直接法，设点，依题意列出方程，化简即得. 【详解】设点，依题意，, 代入点的坐标，可得：， 化简得：. 即点的轨迹方程为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知为坐标原点，点和直线，点是点A关于直线l的对称点，且点满足. (1)求点的坐标及点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设，根据斜率之积和的中点坐标得到方程组，求出，设，直接法求出点的轨迹方程； （2）圆心到的距离小于等于半径，列出不等式，求出答案. 【详解】（1）因为点是点A关于直线l的对称点， 设， 则，解得，故， 又因为，设，则， 整理得，故点的轨迹方程为. （2）点的轨迹方程为为以为圆心，半径为1的圆， 若与直线有公共点， 则，解得或， 所以的取值范围是. 10．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出点和点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点坐标与点坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点为线段的中点，设点的坐标为. 根据中点坐标公式，已知，则有，. 由此可得，. 点在上，将，代入圆方程可得： ，即， 两边同时除以得. 故选：C. 地 城 考点02 定点到圆上点的最值 11．（24-25高二下·广东·期中）已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案. 【详解】点的坐标为，动点满足， 故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 圆的方程为， 圆心与原点的距离为， 则的最大值为. 故选：B 12．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：. 故选：C 13．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】先根据已知画出圆及点结合点关于x轴对称，进而数形结合即可得出距离和的最小值. 【详解】根据题意画出圆，以及点的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值， 为点到点的距离减圆的半径， 即， 故答案为：． 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 . 【答案】7 【分析】将求的最大值转化为求的最大值问题，利用对称性，结合图形求解即可. 【详解】解析：由点，分别是圆，圆上的动点， 可知：， 所以，， 设关于轴的对称点为，则， 当，，三点共线时，取最大，最大值为， 所以. 故答案为：7    地 城 考点03 圆上点到定直线的最值 15．（2024·广东·期中）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 16．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】4 【分析】先求出圆心到直线的距离，加上半径即可得点到直线距离的最大值. 【详解】由题圆，可得，圆心，半径， 圆心到直线的距离等于， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：4. 17．（24-25高二上·广东·期中）（多选）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 18．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 解法二：求出两直线的交点坐标，利用点到直线的距离公式求出P到直线的距离的表达式，结合不等式知识，即可求得答案. 【详解】解法一：直线整理可得，， 即直线恒过，同理可得恒过， 又，直线和互相垂直， 两条直线的交点在以，为直径的圆上， 即的轨迹方程为，（去掉， （这是因为不能表示直线，不能表示直线，） 设该圆心为，则，则， 由于垂直于直线，故M到的距离即为，而， 即，而当时，点的坐标为，不符合题意。 故的取值范围是， 故选：A． 解法二：联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由， 故得的取值范围是, 故选：A． 【点睛】关键点睛；解答本题的关键在于要确定两直线所过定点，从而确定动点的轨迹方程，继而结合圆上的点到定直线的距离，求解即可. 地 城 考点04 过圆内定点的弦长最值 19．（22-23高二上·广东·期中）若圆的方程为，则圆中过点的最短的弦长为 . 【答案】 【分析】由题可知点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，进而即得. 【详解】由题可得圆的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆， 且由，即点在圆内， 则最短的弦是以为中点的弦， 所以圆中过点的最短的弦长为. 故答案为：. 20．（23-24高二上·广东江门·期中）过的直线与圆相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可判断点在圆内，圆的圆心为，当过点的直线与垂直时，所得弦的长度最短，通过求斜率即可求解. 【详解】因为，所以点在圆内， 圆的圆心，当过点的直线与垂直时，所得弦的长度最短， 因为过点，的直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为，故直线的方程为，即. 故选：. 21．（23-24高二上·广东广州·期中）圆C与直线相切于点，且经过点. (1)求圆C的方程； (2)已知直线， ①证明：直线与圆C相交； ②求直线被圆C截得的弦长最短时的方程. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据切线性质可知：圆心C在直线上，结合圆的定义求圆心和半径，即可得方程； （2）①根据直线的方程可知：直线过定点，结合点与圆C的位置关系分析证明；②根据圆的性质可知：当时，直线被圆C截得的弦长最短，根据垂直关系求直线方程. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 代入可得：，解得， 可知：圆C的圆心C在直线上， 设，因为， 即，解得， 则，且圆C的半径， 所以圆C的方程为. （2）①对于直线，即， 令，解得，即直线过定点， 且，可知点在圆C内， 所以直线与圆C相交； ②当时，直线被圆C截得的弦长最短， 此时，可知直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 22．（23-24高二上·广东·期中）（多选）已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，最长 C．当时，弦最短 D．最短弦长 【答案】AC 【分析】由直线方程求定点可判定A，由弦长公式可判定B、C、D. 【详解】直线方程可化为，当， 故直线恒过定点，A正确； 易知圆心，半径， 显然当直线过圆心时，最长，则， 故B错误； 当时，此时弦最短，即， 故C正确； 当时，则弦长，故D错误. 故选：AC 23．（22-23高二上·广东广州·期中）过点作圆的最短弦，延长该弦与x轴、y轴分别交于，两点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意，求得的直线方程，再求出的坐标，即可求得三角形面积. 【详解】因为直线的斜率与直线的斜率满足， 即，故，则直线方程为：，即， 令，则；令，则， 即点坐标分别为，又坐标为， 故的面积. 故选：A. 24．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式|可分析出当时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内， 因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， 当时，最大，最小， 又因为圆：，所以圆心，, 则，此时：. 故答案为：. 地 城 考点05 切线长的最值 25．（24-25高二上·广东·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故答案为：. 26．（24-25高二上·广东深圳·期中）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】圆的圆心，半径， 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值为：． 故答案为：． 27．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 28．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 【答案】 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积. 【详解】由，即，则，半径， 所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，    由题意，且，而， 所以，要使四边形的面积最小，只需最小， 又，即只需最小，显然， 所以，故最小. 故答案为：. 地 城 考点06 斜率、截距、距离型最值 29．（24-25高二上·广东·期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解. 【详解】对于A选项，实数、满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆上点， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； 对于B选项，原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误； 对于C选项，令，则直线与圆有公共点，所以，， 解得，所以的最大值为，故C正确； 对于D选项，令，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值为，故D正确. 故选：CD. 30．（23-24高二上·广东·期中）点在曲线上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果. 【详解】 如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点到直线的距离，即直线与圆相离， 点到直线的距离， 最小值为，最大值为， 则的取值范围为. 故选：B 31．（24-25高二上·广东·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 圆的轨迹及最值问题 6大高频考点概览 考点01 圆的轨迹问题 考点02 定点到圆上点的最值 考点03 圆上点到定直线的最值 考点04 过圆内定点的弦长最值 考点05 切线长的最值 考点06 斜率、截距、距离型最值 地 城 考点01 圆的轨迹问题 1．（24-25高二上·广东·期中）已知，，圆上恰有个点满足，则可以为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东河源·期中）已知圆：，直线：． (1)若与仅有一个交点，求； (2)设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 3．（24-25高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 4．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点． (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及线段的长度． 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点，求的取值范围. 6．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 7．（24-25高二上·广东·期中）在中，若动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为 . 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知为坐标原点，点和直线，点是点A关于直线l的对称点，且点满足. (1)求点的坐标及点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 10．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 定点到圆上点的最值 11．（24-25高二下·广东·期中）已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 . 地 城 考点03 圆上点到定直线的最值 15．（2024·广东·期中）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为 . 17．（24-25高二上·广东·期中）（多选）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 18．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 过圆内定点的弦长最值 19．（22-23高二上·广东·期中）若圆的方程为，则圆中过点的最短的弦长为 . 20．（23-24高二上·广东江门·期中）过的直线与圆相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·广东广州·期中）圆C与直线相切于点，且经过点. (1)求圆C的方程； (2)已知直线， ①证明：直线与圆C相交； ②求直线被圆C截得的弦长最短时的方程. 22．（23-24高二上·广东·期中）（多选）已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，最长 C．当时，弦最短 D．最短弦长 23．（22-23高二上·广东广州·期中）过点作圆的最短弦，延长该弦与x轴、y轴分别交于，两点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D．5 24．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 地 城 考点05 切线长的最值 25．（24-25高二上·广东·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 26．（24-25高二上·广东深圳·期中）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 27．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 地 城 考点06 斜率、截距、距离型最值 29．（24-25高二上·广东·期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 30．（23-24高二上·广东·期中）点在曲线上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·广东·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $