重难点05 椭圆的轨迹方程及焦点三角形问题8考点（期中真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

重难点05 椭圆的轨迹方程及焦点三角形问题 8大高频考点概览 考点01 椭圆的轨迹问题 考点02 椭圆中焦点三角形基本量的计算 考点03 椭圆焦点三角形的周长问题 考点04 椭圆焦点三角形的面积问题 考点05 椭圆焦点三角形的内切圆问题 考点06满足条件的焦点三角形个数 考点07 椭圆中焦点三角形的角平分线问题 考点08 椭圆中焦点三角形的最值问题 地 城 考点01 椭圆的轨迹问题 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中，点到两定点，的距离之和为8，则点的轨迹方程为 . 3．（23-24高二上·广东东莞·期中）在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆M：，点，S是圆M上一动点，若线段SN的垂直平分线与SM交于点Q. (1)求点Q的轨迹方程C； (2)对于曲线C上一动点P，且P不在x轴上，设△PMN内切圆圆心为E，证明：直线EM与EN的斜率之积为定值. 5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知是圆上一动点，点在轴上的射影是，点满足. (1)求动点的轨迹的方程： (2)若是椭圆的右顶点，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积. 6．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程. 7．（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 地 城 考点02 椭圆中焦点三角形基本量的计算 8．（23-24高二下·广东·期中）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 9．（23-24高二上·广东·期中）已知Р为椭圆上的点，、，是椭圆的两个焦点，且，则 10．（23-24高二上·广东广州·期中）设，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 11．（23-24高二上·广东·期中）是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 椭圆焦点三角形的周长问题 12．（24-25高二上·广东·期中）椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 13．（2024·广东·期中）已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为16，则椭圆方程为 ． 15．（22-23高二上·广东·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 地 城 考点04 椭圆焦点三角形的面积问题 16．（24-25高二上·广东·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 18．（23-24高二上·广东深圳·期中）（多选）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 19．（22-23高二上·广东湛江·期中）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·广东·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 地 城 考点05 椭圆焦点三角形的内切圆问题 21．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点. （1）的周长为 . （2）若，且的内切圆半径为，则椭圆焦距为 . 22．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为 ． 23．（22-23高二上·广东·期中）（多选）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 24．（21-22高二上·广东·期中）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（    ）地 城 考点06 满足条件的焦点三角形个数 A． B． C． D．不能确定 25．（2025·广东·期中）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 26．（23-24高二上·广东·期中）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（22-23高二上·广东·期中）已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 地 城 考点07 椭圆中焦点三角形的角平分线问题 28．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为 . 29．（23-24高二上·广东·期中）已知P是椭圆上的动点，是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是 ． 30．（23-24高二上·广东·期中）、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为 A．1 B．2 C．3 D．4 地 城 考点08 椭圆中焦点三角形的最值问题 31．（24-25高二上·广东·期中）（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 32．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 椭圆的轨迹方程及焦点三角形问题 8大高频考点概览 考点01 椭圆的轨迹问题 考点02 椭圆中焦点三角形基本量的计算 考点03 椭圆焦点三角形的周长问题 考点04 椭圆焦点三角形的面积问题 考点05 椭圆焦点三角形的内切圆问题 考点06满足条件的焦点三角形个数 考点07 椭圆中焦点三角形的角平分线问题 考点08 椭圆中焦点三角形的最值问题 地 城 考点01 椭圆的轨迹问题 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【答案】C 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹. 【详解】连接， 因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆. 故选：C 2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中，点到两定点，的距离之和为8，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】依题意可得点为以两定点为焦点的椭圆，即可求出，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点到点，的距离之和为8， 即， 所以点的轨迹为以点，为焦点的椭圆， 且，解得，所以， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·广东东莞·期中）在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 【答案】， 【分析】根据得到顶点C的轨迹是椭圆，确定即可得方程. 【详解】设顶点， 则， 所以顶点C的轨迹是以为焦点的椭圆，除去左右两个顶点， 设该椭圆为， 其中， 所以椭圆为， 即顶点C的轨迹方程是，. 故答案为：，. 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆M：，点，S是圆M上一动点，若线段SN的垂直平分线与SM交于点Q. (1)求点Q的轨迹方程C； (2)对于曲线C上一动点P，且P不在x轴上，设△PMN内切圆圆心为E，证明：直线EM与EN的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，可得，满足椭圆定义，由此可求得点轨迹方程； （2）根据条件求出点E的坐标，再利用斜率公式进行解题即可. 【详解】（1）圆M：的圆心，半径. 设SN中点为K，则KQ为线段SN的垂直平分线，则， 所以， 所以点Q的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 即，则， 所以点Q的轨迹方程为：；    （2）证明：根据椭圆的对称性，不妨设，圆E的半径为. ， 同理，所以， 又， 所以. 对于，， 又， 所以， 所以， ， 即直线EM与EN的斜率之积为定值.    5．（23-24高二上·广东广州·期中）已知是圆上一动点，点在轴上的射影是，点满足. (1)求动点的轨迹的方程： (2)若是椭圆的右顶点，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由向量定比分点得出坐标之间的关系，代入圆方程即可得的方程为； （2）写出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理即可求得的面积为. 【详解】（1）根据题意可设，则,如下图所示：    易知， 由可得，即； 由点在圆上，所以， 即可得， 所以动点的轨迹的方程为. （2）如下图所示：    设， 易知，则可得直线方程为， 联立直线和椭圆方程，整理可得； 可得； 则的面积为 易知， 所以， 即的面积为 6．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义求解， （2）由点差法得直线斜率后求解， 【详解】（1）由题可知， 则 由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴，∴ ∴的轨迹方程为： （2）设,∵ 都在椭圆上， ∴  ，，相减可得， 又中点为，∴ ， ∴  ，即直线的斜率为， ∴直线的方程为，即, 因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件. 故直线的方程为. 7．（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程． （2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解. 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有， 故以为中点的弦所在的直线方程为，即. 地 城 考点02 椭圆中焦点三角形基本量的计算 8．（23-24高二下·广东·期中）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解. 【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得, 又，故. 故选：A. 9．（23-24高二上·广东·期中）已知Р为椭圆上的点，、，是椭圆的两个焦点，且，则 【答案】 【解析】由条件可得，由余弦定理可得可得答案. 【详解】由椭圆，可得、 由条件可得 由余弦定理可得 所以，即 所以 故答案为： 10．（23-24高二上·广东广州·期中）设，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆C：，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：C.    11．（23-24高二上·广东·期中）是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆的方程，结合已知可得，，再结合可求出的值； 然后在中，利用余弦定理求出的值，从而得到的度数. 【详解】是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点， 则，， 又，由， 得， 中，由余弦定理， 而为三角形内角，所以. 故选：B. 地 城 考点03 椭圆焦点三角形的周长问题 12．（24-25高二上·广东·期中）椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和标准方程求解即可得答案. 【详解】    因为长轴长为10，即， 所以长半轴长， 则由题可知,短半轴长， 半焦距， 故的周长为. 故选：B. 13．（2024·广东·期中）已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标，得到，根据椭圆定义，由题中条件求出，得出，进而可求出结果. 【详解】因为椭圆的焦点为，，所以； 又过点的直线与交于，两点，的周长为， 则根据椭圆定义可得，， 解得，因此， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 14．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为16，则椭圆方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆定义和焦点三角形的周长得，再由离心率及椭圆参数关系求椭圆方程. 【详解】由题设，则， 所以，又，则，可得，故椭圆方程为. 故答案为： 15．（22-23高二上·广东·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得. 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D 地 城 考点04 椭圆焦点三角形的面积问题 16．（24-25高二上·广东·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可. 解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 17．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 【答案】4 【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4. 【详解】根据椭圆定义可知， 由勾股定理可得， 所以可得， 因此可得三角形的面积为. 故答案为：4 18．（23-24高二上·广东深圳·期中）（多选）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对于A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，A错误； 对于B：根据椭圆的定义可得，B正确； 对于C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对于D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：BD.    19．（22-23高二上·广东湛江·期中）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得各边长，再利用面积公式即可求得的面积. 【详解】由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4， 即，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 整理得，所以，则，故的面积. 故选：D. 20．（23-24高二上·广东·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可. 【详解】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，若，则， 即，故，故，故C正确； 对D，由余弦定理 ，即，解得，故，故D正确； 故选：ACD 地 城 考点05 椭圆焦点三角形的内切圆问题 21．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点. （1）的周长为 . （2）若，且的内切圆半径为，则椭圆焦距为 . 【答案】 40 12 【分析】（1）根据椭圆的定义求出的周长； （2）根据三角形面积等于内切圆的半径与周长乘积的一般，列式计算即可. 【详解】（1）过左焦点， 的周长为， （2），设， 则根据椭圆的定义可得：， 在中，， 所以根据余弦定理可得， 即，即， 所以，， 所以由三角形面积公式可得：①， 又②， 由①②可知, 整理可得，即， 因为，则，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：40；12. 22．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据切线长定理与椭圆性质可得，从而可结合椭圆定义得到的值，即可得，，根据余弦定理即可求解. 【详解】设的内切圆与、相切于点，， 由切线长定理可得，，， 又，则，故， 由椭圆定义可知， 即， 故，又，则，故， 设，则，， 则， 则有，解得， 所以的长为. 故答案为：. 23．（22-23高二上·广东·期中）（多选）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程可求得的值，利用△的面积即可求出P点到轴的距离；利用平面向量的夹角公式判断的大小；根据椭圆的定义可以求出△的周长；利用内切圆的几何性质可以求出内切圆半径. 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故 正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 故选：.   地 城 考点06 满足条件的焦点三角形个数 24．（21-22高二上·广东·期中）已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合椭圆的定义可求得、，即可得出结论. 【详解】在椭圆中，，，，则， ，可得， 所以，，解得，此时点位于椭圆短轴的顶点. 因此，满足条件的点的个数为. 故选：B. 25．（2025·广东·期中）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解. 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 26．（23-24高二上·广东·期中）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】分别讨论为腰或者底的情况. 【详解】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故答案选：C.    27．（22-23高二上·广东·期中）已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意，分为直角，为直角，为直角三种情况讨论，分析即得解 【详解】由题意，椭圆C：，，故； 若是直角三角形， （1）若为直角： 由于为的中点， 故 设，则 故点P为圆与椭圆的交点， 联立，可得，即 共有4个点 （2）若为直角： 则，则，有2个点； （3）若为直角： 则，则，有2个点； 综上，满足条件的点P的个数为8. 故选：C 地 城 考点07 椭圆中焦点三角形的角平分线问题 28．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为 . 【答案】/ 【分析】先利用勾股定理求出，再根据角平分线定理可求出，再结合椭圆得定义即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 又因为的角平分线与x轴交于点，则， 又因为，所以， 所以，即，解得， 所以， 即椭圆C的长轴长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用勾股定理及角平分线定理求出，是解决本题的关键. 29．（23-24高二上·广东·期中）已知P是椭圆上的动点，是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设是第二象限的点,作出图形,设与直线交于点,易得,再结合椭圆中,,可得,再由椭圆中,可得. 【详解】由题意,设是第二象限的点,作出图形(见下图),设与直线交于点, 因为,所以, 又M是的角平分线上一点，则,, 故是的中位线,则. 是椭圆上的动点，则, 在椭圆中,,,, 则, 则,, 又因为椭圆中,所以, 故,即. 故答案为:.    【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了转化思想在解题中的运用,利用三角形的中位线、椭圆中,是解决本题的关键,属于中档题. 30．（23-24高二上·广东·期中）、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】延长交延长线于N, 则 选:A. 【点睛】涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义. 地 城 考点08 椭圆中焦点三角形的最值问题 31．（24-25高二上·广东·期中）（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 32．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设点，用焦半径公式代入化简成二次函数，求其最值即得. 【详解】由，可得， 设点，则， 于是 ， 因，故当时，取得最大值为4. 故选：C. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $