精品解析：上海市建平中学2025-2026学年高二上学期开学综合素质检测（9月月考）数学试题

2025学年上海市建平中学高二上学期开学综合素质检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 2. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则______． 2. 方程在区间上的所有解的和为__________. 3. 已知数列满足，则_________. 4. 已知平面向量，，满足，且，则的值为________. 5. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 6. 已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______． 7. 若，平面内一点满足，则的最大值为_________. 8. 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 9. 为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则__________. 10. 已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足，且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为___________. 11. 已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是________． 12. 莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 若，则是第（ ）象限角 A. 一或二 B. 一或三 C. 二或三 D. 二或四 14. 设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）． A. B. C. D. 15. 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 16. 矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则的面积为定值 B. 若，则的最小值为 C. 若，则满足的点不存在 D. 若，，则的面积为 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 18. 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% （1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式; （2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 19. 如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上. （1）求码头点的坐标； （2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标. 20. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 21. 设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为． （1）若，，求数列的前n项和； （2）若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列； （3）若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年上海市建平中学高二上学期开学综合素质检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 2. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量投影的概念及数量积的坐标运算求解. 【详解】∵，， ∴在方向上的数量投影为，解得， 故答案为：3． 2. 方程在区间上的所有解的和为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用倍角余弦公式得到关于的一元二次方程求解，由正弦函数值求，即可得结果. 【详解】由，即，解得或， 在，当时，当时或， 所以所有解的和为. 故答案为： 3. 已知数列满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，从而得到为常数数列，进而可求. 【详解】因为，，所以， 所以为常数数列，且，所以. 故答案为：. 4. 已知平面向量，，满足，且，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】可化为，两边平方结合数量积的性质可求. 【详解】因为，所以，两边平方可得， 又， 所以， 故答案为： 5. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 【答案】13 【解析】 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 6. 已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设、的夹角为，因为在方向上的数量投影为， 所以，因此，因此，所以， ， 因此有，因为， 所以当时，有最小值，最小值为， 故答案为：10 7. 若，平面内一点满足，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合数量积的计算可得，即是角平分线，由角平分线的性质可得，设，则，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，从而可求的最大值. 【详解】由可得. 因为，即， 所以，即是角平分线， 由角平分线的性质可得， 设，则，由可得. 因为， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为， 所以的最大值是. 故答案为： 8. 疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 9. 为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的角的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值. 【详解】设的角的对边分别为、、， 在内取点，使得， 设，，， 由余弦定理得，， ，∴， ，∴， 则，即角B为直角，则， 由， 得， 即，所以. 故答案为：. 10. 已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足，且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知可得出或对任意正实数恒成立，在对应的不等式两边平方，利用参变量分离法结合基本不等式可求得的取值范围，进而可求得结果. 【详解】且恒成立，则， 可得到或， ①若对任意正实数恒成立， 在不等式两边平方可得，所以， 由于，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，此时，； ②若对任意正实数恒成立， 在不等式两边同时平方可得，所以， 由于没有最大值，所以不恒成立. 综上所述，，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：由向量模的三角不等式可得出，利用绝对值不等式得出或，在求参数的最值或取值范围时，可利用参变量分离法结合基本不等式求解. 11. 已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】恒等变换化简解析式，求出方程的根，由条件得出区间内不存在整数，再根据可得是或的子集，从而得出的取值范围. 【详解】 ， 令，有，解得， 令，解得， 方程在区间内无解，则区间内不存在整数， 又，得，又， 所以，或， 解得或， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用间接法得到区间内不存在整数，从而得解. 12. 莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】因为点为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点在哪一条弧上.每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角或，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值. 【详解】当点落在圆弧上时，长度恒为半径2， 设，， 原式 其中，， 又，， 原式取最小值. 当点落在圆弧上时，根据对称性同理可得原式取最小值. 当点落在圆弧上时，长度恒为半径2， 设，， 原式 又 ，∴当时，原式取最小值. ，故原式取最小值. 故答案为：. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 若，则是第（ ）象限角 A. 一或二 B. 一或三 C. 二或三 D. 二或四 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性可得，根据倍角公式结合齐次式问题可得，即可得结果. 【详解】因为在上单调递减，且，可得. 从而，这说明，所以存在，且 . 由，可得，所以是第一或三象限角. 故选：B. 14. 设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 15. 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可. 【详解】如图所示，过点作，垂足为点． 则， 同理， 动点满足，． ，． ， ， 因此的轨迹一定通过的垂心． 故选：D． 16. 矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则的面积为定值 B. 若，则的最小值为 C. 若，则满足的点不存在 D. 若，，则的面积为 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下所示的空间直角坐标系， 则点、、，则，， 因为，即点， 对于A选项，当时，，则点到直线的距离为， 则，A对； 对于B选项，当时，，则， 因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则，，， ， 所以，若，则满足的点不存在，C对； 对于D选项，若，，则， 此时，点到直线的距离为，则，D对. 故选：B 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简函数，再由的最小正周期为，且，求得，即可求得的解析式； （2）根据题意，得出，由，得到中有一个为，另一个为，得到方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数 ， 因为函数的最小正周期为，且，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 将的图象向左平移个单位长度得到函数， 因为，且， 所以中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数，且的最小值是， 所以，解得或，所以的值为或. 18. 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% （1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式; （2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 【答案】（1）；（2）9 【解析】 【详解】（1）当时，数列是首项为4，公差为2的等差数列，， 当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又， 的表达式为 设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时， 当时，由， 该生产线前年每年平均的维护费用 当时，为递增数列， 当时，，也为递增数列， 又，，. 则第9年初需要更新该生产线. 19. 如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上. （1）求码头点的坐标； （2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON方程，再求解Q点坐标. （2）由直线AQ的方程求解B点坐标，进而求解AB的直线方程.由（1）知C为垂足，可联立直线AB与PC 方程，即可求解C点坐标. 【小问1详解】 由已知得，，直线ON方程： 设，由，得，. 【小问2详解】 直线AQ的方程为即 由，解得，即 则直线AB 方程， 点P到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C， 因为，且，， ，则直线PC方程为 联立，解得 轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为. 20. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 【答案】（1）或 （2）①存在，；②，最大值为2 【解析】 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果，方法二：设则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则，化简后再利用可求得其最大值. 【小问1详解】 因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即. 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或. 【小问2详解】 ①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或 ， 因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即， 所以，所以 ， 且时，满足. 所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2. 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题. 21. 设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为． （1）若，，求数列的前n项和； （2）若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列； （3）若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合， 【答案】（1） （2） ，，成等差数列， +=2， 当时,+=,2,不符题意舍去， 当时，. ,即，， ，（舍）或即， 存在互不相同的正整数，使得，，成等差数列， ，， . （3）不存在， 【解析】 【分析】（1）数列为首项为公差为的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果； （2），，成等差数列，则+=2，根据等比数列求和公式计算可解得，进而计算可得，即可判断结果； （3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后, 按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，解方程组可得无解，则所有数对所构成的集合为. 【小问1详解】 ，，数列是公比为q的等比数列， ， 数列为， 数列为首项为公差为的等差数列， 数列的前n项和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后, 按原来的顺序所得到的数列是等差数列, 则，,即，解得：方程组无解. 即符合条件的不存在，所有数对所构成的集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $