第1章三角形等腰三角形中的分类讨论同步练习2025-2026学年苏科版数学八年级上册

 

 

第1章|三角形

 

 等腰三角形中的分类讨论

 

1.已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 35°，则该等腰三角形顶角的度数为(    )

A. 70° B. 75°

 

C. 20° D. 70°或 20°

2. 已知△ABC 是等腰三角形,且∠A=40°,则△ABC 的顶角度数是         .

3. 如图,在△ABC 中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点 A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交射线 BA 于点 D,连接 CD,则∠BCD 的度数是        .

类型2遇边需讨论

4.亮点原创·已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为7，则该等腰三角形的腰长是 (    )

A. 6 B. 7

C. 6 或 7 D. 5 或 6.5

5.新素养 运算能力 若一个等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该等腰三角形的周长为         .

 

 

6. (2025·江苏无锡模拟)如图,在△ABC 中, AC= BC,∠ACB =120°,点 D 在线段 AB 上运动(点 D 不与A,B 两点重合),连接 CD,作∠CDE=30°,DE 交 BC 于点 E.若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是           .

7. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 O 在高AE 上,连接 BO 并延长,交 AC 于点 D,且 OA=OB.

 

(1) 求证:∠BAC=2∠ABD;

(2) 若△BCD 是等腰三角形,求∠BAC的度数.

 

 

 

 

 

 

类型3遇中线、高和垂直平分线需讨论

8.已知等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成两部分，其中一部分比另一部分少3，则该等腰三角形的底边长为        .

9. 已知在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与边 AC 所在的直线相交所得锐角的度数为 50°，求∠C 的度数.

 

 

 

 

10.若等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个等腰三角形的各个内角的度数.

 

 

类型④ 遇动点与动线需讨论

11. (2025·江苏盐城模拟)如图,直线a,b相交于点O,∠1=50°,A 是直线a 上的一个定点，点B 在直线b 上运动.若以O，A，B三点为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB 的度数为  .

12. 如图,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=100°,边 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 ，得到线段 BD，连接AD,CD.若△ACD 为等腰三角形,则m所有可能的取值是             

13. 如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠B=50°,D 为BC 的中点,点 E 在 AB上,∠AED =70°. 若 P 是等腰三角形ABC 腰上的一点,则当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是                .

类型5遇分割需讨论

14.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的三分线.在△ABC中,∠B=30°,AD 和DE 是△ABC 的三分线,点 D 在边 BC 上,点 E 在边 AC上,且AD=BD,DE=CE,则∠C 所有可能的度数为        .

 

15. 已知在三角形纸片ABC 中,∠A=80°,D 是边 AC 上一点，沿 BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数是            .

16.如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫作等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线.如图①,当△ABD 和△ACD 都为等腰三角形时，AD 为△ABC 的等腰分割线.

(1) 如图②,在△ABC 中,∠B=2∠C,线段AC 的垂直平分线 ED 分别交 AC,BC 于 D,E 两点,连接AE.求证:AE是△ABC 的一条等腰分割线；

(2) 已知在△ABC 中,AD 为△ABC 的等腰分割线,AD=BD,∠C=30°,请你画出所有可能的图形，并求出∠B 的度数.

专项提优2 等腰三角形中的分类讨论

1. A 2. 40°或 100° 3. 10°或 100° 4. C

5. 8.5 或9 6. 60°或 105°

7. (1) 因为 AB=AC,AE 是△ABC 的高,所以AE⊥BC,即∠BAC=2∠BAE=2∠CAE.因为OA = OB, 所 以 ∠ABD = ∠BAE. 所 以∠BAC=2∠ABD.

(2) 因为 AB=AC,所以∠C=∠ABC.因为△BCD 是等腰三角形,且∠CBD<∠ABC=∠C,所以有 BD=BC 和BC=CD 两种情况:① 当 BD= BC 时,∠C=∠BDC.由(1),得∠ABD = ∠BAE = ∠CAE. 又 ∠BAC =∠BAE +∠CAE,所以∠BDC =∠ABD +∠BAC=3∠ABD.设∠ABD=α,则∠BAC=2α,∠C = ∠BDC = 3α. 又 AB = AC, 所以∠ABC=∠C=3α.又∠BAC+∠ABC+∠C=180°,所以2α+3α+3α=180°.所以2α=45°,即∠BAC= 45°; ② 当 BC= CD 时,∠CBD =∠BDC,所以∠CBD=∠BDC=3∠ABD.设∠ABD=β,则∠BAC=2β,∠CBD=∠BDC=3β. 又∠ABC=∠ABD+∠CBD=4β,所以∠C = ∠ABC = 4β. 因为 ∠ABC +∠C +∠BAC=180°,所以 4β+4β+2β=180°. 所以2β=36°,即∠BAC=36°.综上,∠BAC 的度数为 45°或 36°.

8. 6 或 10