第6章 6.2.3 平面向量的坐标及其运算(2)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a是(　　) A．(2，1)　　　　　　　 B．(－6，－3) C．(－1，2) D．(－4，－8) 解析　＝(1，2)，而a＝(－4，－8)＝－4，故选D． 答案　D 2．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(－1，1)一定不平行的向量是(　　) A．(k，k) B．(－k，－k) C．(k2＋1，k2＋1) D．(k2－1，k2－1) 解析　∵(－1)×(k2＋1)≠1×(k2＋1)，故选C． 答案　C 3．已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为(　　) A．6 B．2 C．4 D．3 解析　＝(2，4)－(1，2)＝(1，2). ＝(3，m)－(1，2)＝(2，m－2). ∵A，B，C三点共线，即向量，共线， ∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6. 答案　A 4．(多选题)已知a＝(5，4)，b＝(3，2)，则下列向量中与2a－3b平行的向量有(　　) A． B． C．(－2，1) D．(1，2) 解析　2a－3b＝(10，8)－(9，6)＝(1，2). ∵1×－2×＝0，∴选项A符合题意； ∵1×－2×≠0，∴选项B不符合题意； ∵1×1－2×(－2)≠0，∴选项C不符合题意； 选项D显然符合题意，故选AD． 答案　AD 5．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝ ． 解析　依题意得a－c＝(3－k，－6)，3(3－k)＋6＝0，由此解得k＝5. 答案　5 6．已知点A(－1，6)，B(3，0)，在直线AB上有一点P，且||＝||，则点P的坐标为 ． 解析　设P点坐标为(x，y). 当＝时， 则(x＋1，y－6)＝(4，－6)，得 解得 所以P点坐标为. 当＝－时，同理可得P点的坐标为， 所以点P的坐标为或. 答案　或 7．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为 ． 解析　由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意． 答案　－2 8．已知直角坐标平面上四点A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形． 证明　由已知，＝(4，3)－(1，0)＝(3，3)，＝(0，2)－(2，4)＝(－2，－2). 因为3×(－2)－3×(－2)＝0，所以∥. 又＝(0，2)－(1，0)＝(－1，2)， ＝(2，4)－(4，3)＝(－2，1)， 因为(－1)×1－2×(－2)＝3≠0. 所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形，又＝(－2，1)，＝(－1，2)， 所以||＝＝||. 故四边形ABCD是等腰梯形． [关键能力·综合提升] 9．若平面向量a＝(－1，2)与b反向，且|b|＝3，则b的坐标为(　　) A．(3，－6) B．(－3，6) C．(6，－3) D．(－6，3) 解析　由题知a与b共线且反向，则b＝λa＝(－λ，2λ)，且λ＜0，由|b|＝－λ＝3，得λ＝－3，故b＝(3，－6). 答案　A 10．(多选题)已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ). 设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b. 由⇒ 又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B或.故选BD． 答案　BD 11．已知向量a＝(3，2)，b＝(2，－1)，若非零向量ma＋nb与a＋2b共线，其中m，n∈R，则的值为 ． 解析　由a＝(3，2)，b＝(2，－1)，得ma＋nb＝(3m＋2n，2m－n)，a＋2b＝(7，0).因为ma＋nb与a＋2b共线，所以14m－7n＝0，解得＝. 答案　 12．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m).若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为 ． 解析　＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3，1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠. 答案　m≠ 13．已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x). (1)求实数x，使两向量，共线； (2)当两向量与共线时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？ 解析　(1)＝(x，1)，＝(4，x). 因为∥，所以x2－4＝0，即x＝±2. 所以当x＝±2时，∥. (2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)， 所以∥.此时A，B，C三点共线， 又因为∥，所以，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上． 当x＝2时，＝(－2，1)，＝(2，1)， 不存在实数λ使得＝λ， 所以A，B，C三点不共线， 因此A，B，C，D四点不共线． [核心价值·探索创新] 14．如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线． 证明　因为DE＝AB，DF＝DB， 所以＝，＝＝. 于是＝－＝－ ＝＋＝＝－， 因此∥， 又，有公共点F，所以A，E，F三点共线． 15．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积． 解析　以A为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，建立直角坐标系，如图所示， 则A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，F(6，4)，E(3，0)，设P(x，y)，所以＝(x，y)， ＝(6，4)，＝(x－3，y)，＝(3，6). 由点A，P，F和点C，P，E分别共线， 得所以 所以S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB＝36－×3×3－×3×6＝. 学科网（北京）股份有限公司 $