6.2.4第2课时 向量数量积的运算 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦向量数量积的运算，核心内容包括运算律、向量模的计算及夹角与垂直问题。课堂导入通过类比数的乘法运算律和向量线性运算律，引导学生自主探究数量积运算律，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料以学习目标分层设计，结合例题解析、跟踪训练及导练导思，注重运算律应用和逻辑推理，帮助学生用数学思维构建模的计算策略，提升用数学语言解决夹角与垂直问题的能力，培养运算能力与应用意识。

6．2.4第2课时　向量数量积的运算 【课标要求】　1.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的运算律进行计算或证明． 【导学】 学习目标一　向量数量积的运算律 　师问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积满足哪些运算律呢？ 生答： 例1 已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，求： (1)a·(a＋b)； (2)(2a－b)·(a＋3b)． 总结：正确应用向量数量积的运算律化简是解此类问题的关键． 跟踪训练1　(1)在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，则＝(　　) A．－12 B．－8 C．8 D．12 (2)已知单位向量的夹角为120°，则＝___________． 学习目标二　向量的模的计算 例2 已知向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5. (1)若a·b＝0，求|b|的值； (2)若a·b＝1，求|2a＋b|的值． 求向量模的策略 跟踪训练2　已知单位向量a，b满足|a－3b|＝|3a＋b|，则|a＋4b|＝__________． 学习目标三　向量的夹角与垂直 例3 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝|a－b|，则a与b的夹角的余弦值为(　　) A． B． C．－ D．－ (2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，则当k为何值时，向量3a＋2b与ka－b互相垂直？ 总结：(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 可以直接求出·的值及"的值" ，"然后代入求解" ，"也可以寻找" ·三者之间的关系，然后代入求解． (2)要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈；当cos θ＜0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝ (3)解决有关垂直问题时利用 跟踪训练3　(1)已知平面向量a，b，满足a·(2a－b)＝5，且|a|＝1，|b|＝3，则向量a与向量b的夹角余弦值为(　　) A．1 B．－1 C． D． (2)已知向量a，b的夹角的余弦值为，|a|＝|b|，且a＋2b与a＋λb垂直，则λ＝________． 【导练】 1．若a，b，c均为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　) A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)c＝a(b·c) 2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　　) A． B．2 C． D．4 4．已知向量a，b满足(a－b)⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________． 【导思】 如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为________． 指津：设＝m，＝n，且m，n∈[0，1]，表示出即可求解． 第2课时　向量数量积的运算 导　学 学习目标一　生答：满足交换律、结合律、分配律． 例1　解析：a·b＝|a||b|cos 60°＝4×6×＝12. (1)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋a·b＝16＋12＝28. (2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2|a|2－3|b|2＋5a·b＝2×16－3×36＋5×12＝－16. 跟踪训练1　解析：(1) ＝，＝，则·＝()·()＝2－2＝4－16＝－12.故选A. (2)依题意，|e1|＝|＝＝|cos 120°＝－，所以＝＝2×－1＝－2. 答案：A　(2)－2 学习目标二 例2　解析：(1)∵|a－b|＝5， ∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2＝25， ∴|b|2＝16，即|b|＝4. (2)|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25， ∴|b|2＝18，即|b|＝3， |2a＋b|＝＝＝＝. 跟踪训练2　解析：因为|a－3b|＝|3a＋b|， 所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，则1－6a·b＋9＝9＋6a·b＋1，故a·b＝0，所以|a＋4b|2＝＝17，所以|a＋4b|＝. 答案： 学习目标三 例3　解析：(1)由题意设|b|＝2|a|＝|a－b|＝2t>0，则|a－b|2＝t2＋4t2－2a·b＝4t2，解得a·b＝，所以a与b的夹角的余弦值为cos 〈a，b〉＝＝＝.故选B. (2)因为3a＋2b与ka－b互相垂直， 所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0， 因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝. 答案：B　 (2)见解析 跟踪训练3　解析：(1)设向量a与向量b的夹角为θ，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－|a||b|cos θ＝5，因为|a|＝1，|b|＝3，所以2－3cos θ＝5，解得cos θ＝－1，故选B. 解析：(2)由题设(a＋2b)·(a＋λb)＝a2＋(2＋λ)a·b＋2λb2＝0，若|a|＝|b|＝m≠0，则a·b＝，所以(2λ＋1＋)m2＝0，即2λ＋1＋＝0，可得λ＝－. 答案：B　 (2)－ 导　练 1．解析：选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对向量加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D是根据数量积和数乘定义，等式左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，两者不一定相等，即向量的数量积运算没有结合律存在，错误．故选D. 答案：D 2．解析：a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝＝－9＋8＝－1.故选B. 答案：B 3．解析：由题意可得|a－b|＝＝＝＝2.故选B. 答案：B 4．解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，解得a·b＝|b|2＝1. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 因为0≤θ≤π，所以θ＝，所以a与b的夹角为. 答案： 导　思 解析：设||＝m，||＝n，且m，n∈[0，1]，由题意知∠BOP＝，∠AOP＝＝， 所以·＝()·()＝　2＋···＝1－m－mn，所以当且仅当m＝0时，·取得最大值，且(·)max＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $