6.3.1平面向量基本定理 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3　平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1　平面向量基本定理

 

 

【课标要求】　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．

2．在平面内，选定一组向量基底，会用这组基底表示其他向量．　

【导学】

学习目标一　平面向量基本定理

　师问：(1)如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．你能将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量吗？

(2)上述问题中的分解方法是否唯一？

生答：

 

 

例1 (1)已知e1，e2 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　　)

A．a＝2e1+e2，b＝

B．a＝4e1－2e2，b＝e2－2e1

C．a＝3e1＋3e2，b＝e1+e2

D．a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2

(2)(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是(　　)

A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷个

C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)

D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0

 

 

总结：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．

(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．

跟踪训练1　已知{a，b}是平面内的一个基底，则可以与向量m＝a－b构成平面另一个基底的向量是(　　)

A．0    B．b－a

C．a＋b    D．2a－2b

学习目标二　用基底表示向量

例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，点N在BD上，且3BN＝BD，记

(1)以a，b为基底表示

(2)求证：M，N，C三点共线．

 

题后师说

用基底表示向量的两种基本方法

跟踪训练2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，EC，AD，BE交于点F，设

(1)用a，b表示向量＝________；

(2)用a，b表示向量＝________．

学习目标三　平面向量基本定理的应用

例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.

 

 

 

总结：解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知的向量表示未知的向量，或找到已知的向量与未知的向量的关系，用方程的观点求出未知量．

跟踪训练3　在△ABC中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则

 

 

 

 

【导练】

1．在△ABC中，M是BC的中点．若＝(　　)

A．(a＋b)    B．(a－b)

C．a＋b    D．a＋b

2．若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　)

A．{a－b，b－a}    B．{2a＋b，a＋b}

C．{2b－3a，6a－4b}    D．{a＋b，a－b}

3．已知非零向量不共线，且＝x+，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)