重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周考二试题 9.14

参考答案 一、单选题， 1-4:BCDD 5-8:BDBC 二、多选题 9.BCD 10.ABD 11.ABC 三、填空题 12.x-y+1=0 13.万 14 ,+y2=1 4 11.【详解】设P为截口曲线的椭圆上的一点，如图，过点P作与圆柱底面垂直的线段 EF,EF分别与球O,O,切于点F,E 连接P℉，PE,则有PE+PE=PF+PE=EF=O,O, 由椭圆定义可知，该椭圆以F,F为焦点，OO,为长轴长， 故B正确.设椭圆长半轴长为a,半焦距为c,设0为OO2的中 点，连接OE,OE,P℉与球O切于点F,OF⊥a,OFca, 故0E10E,有0E=00-0F=a2-c2=b2, 则2b=2O,即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确. c OF 由题意可得0=∠O,OF,则e= a1o0 =cos0,故C正确】 由题意知4G=FG,∠0,0F+∠00，R=∠A0,5+∠00,5=元 则0=00=40，连接0G,则号40听-∠00， 故mg-g.C,mR=4C 0,故D错误.故选：ABC. 2 RR tan- 2 14因为点P(在椭圆上，则三+斧1，即公=1-等)】 所以x02,2x21-0, a2 a2-b2 1, a ab。+ 因为0≤65，所以当无=0时，二+会取得最大值，最大值为方， 3 此时R=a2b2 取得最大值，为b户」 a' =4, a￥ b 当x。2=a时， a 公取得最小值，最小值为 + 此时R=a2b2 取得最小值，为6马户_=1 aa-2 联立4 =4与 =2解得：b=la=2, b21 b 所以椭圆方程为： 号+y2=1: 4 四、解答题 15.【详解】(1)由题意，设圆心为C(a,2a),又与y轴相切于点(0,2)，故2a=2,即 a=1,所以C1,2),且半径r=a=1,故圆C的方程为(x-1)2+y-2)2=1. (x-1)2+0-22 (2)由(1)及题意，如下图示：|CB日CA=1,∠ACB=120°，故C到直 线的商为时，所以八-若可得-1号 2 16()由正弦定理，sinA=2sinB-(sinC.Y5 +cosC·2 j sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos Bsin C 所t以v5 sin sinC=nC,t.amB=5 6 (2)△4BC的面积S)acsinB=V3-c,=V3求得c4 2 2 6=02+c2-2ac0sB=3+16-2.4-5.5-7 2 √7 =了，求得sin4= 21 由正弦定理： sin A sin B sin A 14 3 7.【详解】(1)AB=2,4D=1,∠B4D-行 .BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=3, 即BD=5,AD2+BD2=AB2,AD⊥BD, M,N分别为CD,AB中点，四边形ABCD为平行四边形，.MN∥AD,BD⊥MN: ,SC=SD,M为CD中点，SM⊥CD, :平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,SMC平面SCD, ∴.SM⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,.SM⊥BD: SM∩MN=M,SM,MNc平面SMN,.BD⊥平面SMN, (2)连接AM,由(1)知：SM⊥平面ABCD,则SA与平面ABCD所成角为∠SAM,即 ∠SMM=名在△DM中，AD=DM=1,∠ADC=-∠BAD- 3 ∴AM2=AD2+DM2-2AD.DM cos∠ADC=3,解得：AM=√5， SA=AM _=2.SM=AMtanT=1; 6 cos- 6 设MN∩BD=O,取SW中点F,连接OF, O,F分别为MN,SN中点，OFIISM,又SM⊥平面ABCD, .OF⊥平面ABCD,又MN⊥BD, ZA 则以O为坐标原点，OM,OB.OF正方向为x,y,z轴，可建立如 图所示空间直角坐标系， 9小 CB=(L,0,0),DB=(0,5,0, 设平面SBC的法向量n=（x,y,z), a=5x+ 则 2 2 y-z=0,令y=2,解得：x=0,z=5,n=(0,2列： CB.ii=x=0 设平面SBD的法向量m=(a,b,c), 则 .m=54+5b-c=0 2 2 令a=2,解得：b=0,c=1,∴m=(2,0,1): DBm=√5b=0 mn√5 √105 cos m.n> √7×√535 :二面角C-SB-D为钝二面角，二面角C-SB-D的余弦值为-105 35 18.【详解】(1)依题意可得2b=2,则b=1,因为焦点F(1,0),则 c=心=公+c=1+1=2,所以椭圆方程为号+广=1 (2)(i)当直线l的斜率为1时，则直线方程为y=x, 与椭圆方程联立 +y2=1,解得y=± y=x 3 不妨设点A 则AB1=、 停+9++9- 设椭圆的左焦点为F,由椭圆的性质可得BF=AF 所以△ABF的周长为AB+IAFI+IBFI=IAB+IAFI+IAF, 又1AF1+AF,1=2a=2N2,所以△MBr的周长为4W5+2N2, 3 所以当直线1的斜率为1时，求△ABr的周长为4W5+25. 3 (i)依题意可设直线MN:x=my+n, 与椭圆方程联立可得侣+)2=1，整理可行 (x=my+n (m2+2）y2+2my+n2-2=0, 设M(x,),N(2,2), 则片+2= -2mn n2-2 m2+2水5= m2+2 设直线AF:x=y+1,与椭圆方程联立可得{2 +y2=1 (x=ky+1 整理可得(k2+2)y2+2y-1=0, 设A(x4yA),B(xg,a),则yhyA=k2+2→yA=k2+2m -1 -1 又k=古1 -1 -y1 所以+4，同理可得% -Y2 由题意A与B关于原点对称，所以y,+=0,即x1-护++2-品+2=0， -y1 -y2 整理可得y1[(x2-1)2+2y]+y2[(x1-1)2+2y]=0, 即y1[(my2+n-1)2+2y]+y2[(my1+n-1)2+2y]=0, (m2+2)y1y20y1+y2)+4m(m-1)y1y2+(m-1)2y1+y2)=0, 将y+片=2mn m2+2y5= -2代入上式可得4m=3mm, m2+2 4 又m不恒为0，故n= 3 所以直线N:=时+n恒过点（信0 19.(1)根据题意可知A(2,0),B0,-V3,B2(0,V3),A(-1,0) 所以半椭圆T,的离心率为e=S=-bF_ aa 2 四边形4B4B,的面积为S=×25x1+2)=35】 2)由4队的斜率长=骨=5，可设1的方程为 y=V3x+m(m<0), B 将它与「，的方程联立，消y整理得15.x2+8√3x+4m2-12=0, 5 设M(x出)，N(y2),则有 △=192m2-60(4m2-12）=720-48m2>0 x+X3= g5m>0 15 ,解得-√5<m<-√5， 5-20 15 又因为 MN=Vx-x2)+(y-y2)=2Vx+x2)-4xx2=2 8v3m 15 44m-12=4B,=2化 15 简可得m2-165 16 结合-5<m<-√ 解得m= 165 4 故直线1的方程为y=5x-16厨 4 (3)依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形AB,A,B2面积即可. 设圆C的圆心C(m,0),半径为r,则圆C的方程为(x-m)2+y2=r2, 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 m∈[0，，1sr<44_3 22 设r上有任意-点P2cos05no),0e[引 则r≤|PC,，0≤cos9≤1 PC=(2cos0-m)+3sin20=(cos0-2m)2+3-3m 当me0引时.cs0=2n时，1CL-63:当me[别]时.eo0=1时 PClin =2-m 同理，设r,上有在查-点Qosa5sma小a[臣].可有QcL=+m min 记f(m)= min(2-m.m. 易有，当m=时，人(m) 此时圆面积S=2-9>35. 4 故圆心为20，半径为的圆，符合题意。 1 6重庆南开中学高2027级高二（上)数学 9.14 本试卷分第1卷（选抒题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟。 第1卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已如椭圆的标准方程为兮+ =1,则该椭圆的焦点坐标为() 716 A.(土3,0) B.(0,±3) C.(士9,0) D.(0,±9) 2.已知椭圆二+上=1，直线m心+y+m-1=0,那么直线与椭圆位乳关系() 541 A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 3.已知圆C:x2+y2=4和圆C:(x-2)}+(y-2)=4,若点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上，则 +?的最小值为《) a b A.5 B.6 C.7 D.8 蹈圈子+发>b>0的焦点分别为R,R,点么B在椭圆上，AB上F氏 AB=4,|FF=23,则椭圆的长轴长为( A.3 B.3 C.25 D.6 6已知椭圆C:名+片=Q>b>0的张猫为4，直骏x+2y-3=0与椭图C相交于A、B两点，者 线段B的中点为M(L,),则椭圆C的方程为() 16*21 6.已知点PK,功在椭题+二=1，则点P到直线x+y-5=0距离的最大值为() 169 A.I B.√2 C.5 D.52 ?气法因数学家加浙始尔·数日发现：与椭圆。+发二一(@>b>0)相切的两条互相垂直的直线的交点轨边 是以椭圆中心为圆心的圆x2+y2=a2+b2,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若國 C:(x-a)2+(y-√3a)2=4(a∈R)上存在点P,使得过点P可作两条互相垂直的直线与椭圆 了+y户=1相切，则实数a的取值范租为（ A.[0,2] B.[-2,2] C.[0,4 D.[-4,4] 8已知桶圆C:三+长=0>06>0)的左，右两个货点为6，月，若橘圆上存在丙直P,Q关于原友对 称，且满足P丽P丙，g 1 ∠PF,2=120°，则椭圆C的离心率( 。号 8号 c.克 n月 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中，错误的堤() A.椭圆的离心率越大椭圆超扁，离心率越小椭圆越圆 B,直线的倾斜角趣大，它的斜率就越大 C.到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆 D.若直线：y=kx+九，2：y=kx+,且k=k,则川 10.已知P是椭圆女+y 2516 =1上一点，椭圆的左、右焦点分别为R,月，c0s∠RP听=则下列结论正 确的是( A.FPF的周长为16 85%=165 3 C.P丽丽- 3 D.△PRR内切圆圆心纵坐标的绝对值为2 3 11.用平面“截圆柱面，圆柱的轴与平面¤所成的角记为8，当0不为直角时。圆柱面的截口曲线是一个 椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球诙入圆柱内， 使它们分别位于平面¤的上方和下方，并且与圆柱而和平面《均相切，切 点分别为R,及.下列关于截口曲线的椭圆的结论中正确的有( A,椭圆的短轴长与欣入圆柱的球的直径相等 B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距O,O,相等 C.所得椭圆的离心率e=cos0 D.GG,为椭圈长轴，R为球Q,的半径，有R=4Gen号 第Ⅱ卷 (非选择题) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位 置（只填结果，不写过程）， 12.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线1对称，则直线1的方程为 03.已知椭圆c:5 =1(a>2)的左、右焦点分别为F,月，点A为椭圆C的上顶点，直线45与椭圆C 4 的另一个交点为B若BFl=4BF,则a= 】4.曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲案半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小， 已知椭阿C: °1(a>b>0)上点P(xoo)处的曲率半径公式为R=a6+ 若椭圆C上所 有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为；，则椭别C的标准方程为 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字 说明、演算步骤或推理过程)· 15.己知圆C的圆心在真线2x-y=0.上.且与y轴相切于点(0,2). (1)求圆C的方程 (2)若圆C与直线1：x-y+m=0交于A、B两点，∠ACB=120°，求m的值 16已知△MBC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足a=2bsm(C+?. (1)求角B的大小： (2)若△ABC的面积为V5,a=√5，求sinA的值. 17.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧面SCD⊥底面ABCD,SC=SD,底面ABCD是平行四边形， ∠BD-号，8-2，D=l,M,N分别为线段CD,AB的中点 (I)证明：BD⊥平面SN: (2)若直线5M与平面MCD所成角的大小为？，求二面角 C-SB-D的余弦值 8已知椭圆后三+后=(a>6>0)的-个傲点为P101.其短绮长为2 ()求椭圆E的方程： (2)过坐标原点O的直线/与椭圆E交于不同的两点A,B. (i)当直线I的斜率为I时，求△ABF的周长： (ii)若直线AF,BF分别与精圆E交于点M,N,证明：直线MN过定点. 19.己知椭圆C女+上 方+行=1（a>b>0)的一个项点为M(0,-),离心率为.真线1：y=x+2 (k≠0)与椭圆C交于A,B两点，已知存在关于过点M的直线，使得点A与点B关于该直线对 称 (1)求椭圆C的方程： (2)求实数m的取值范围： (3)用m表示△MAB的面积S,并判断当m≤1时S是否存在最小值.若存在，求出最小值：若不存 在，说明理由.