理解高考改革扭转机械刷题提高备考质量 课件-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件紧扣高考评价体系“一核四层四翼”要求，覆盖函数几何概率等主干知识，通过2024-2025年试卷结构改革分析明确压轴题调整方向，结合近五年真题归纳出三角函数性质立体几何结构特征等高频考点，构建了“基础-综合-创新”的题型体系。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向”的备考设计，如以2025年新课标Ⅰ卷第4题三角函数对称中心为例，通过教材概念辨析培养数学眼光，结合四棱锥证明题变式训练提升逻辑推理能力，帮助学生掌握“多想少算”技巧，教师可依托课件实现考点精准突破与学生思维品质提升。

深刻理解高考改革精神 坚决扭转机械刷题现象 高效做好复习备考工作 引子 7月11日，马斯克发布“地球最强AI模型”Grok 4：横扫所有榜 单，在“人类最终测试”超越人类博士”！ 人类最终测试（Humanity’s Last Exam）的成绩，涵盖了数学、 有机化学、语言学、法学等多个博士级别难题的超高难度测试， 旨在检验AI最顶尖的知识和推理能力。Grok4的表现堪称疯狂： 基础能力：在不使用外部工具的情况下，文本模型成绩26.9%； 工具加持：允许使用工具（如代码解释器），成绩飙升至41.0%； 在“重思考”模式下，Grok 4 Heavy 的得分达到了恐怖的 58.3%！ 此前，无论是Claude 4 Opus、Gemini 2.5 Pro还是OpenAI的o3， 在HLE上的得分普遍在15%~25%的区间徘徊。Grok 4几乎将 SOTA（State-of-the-Art，即当前最佳水平）的纪录翻了一倍多。 马斯克在发布会上说：“Grok 4比几乎所有学科的所有研究生都 要聪明，而且是同时！它在所有领域都达到了博士后水平，是所 有领域，没有例外。” Grok 4 在其他各大顶级基准测试中实现了全面引领： ARC-AGI-2（抽象推理挑战赛）：在这是衡量通用人工智能潜力 的关键测试中，Grok 4 (Thinking)以 15.9% 的得分创下新 的 SOTA，几乎是之前商业模型最高纪录的两倍。 AIME 25（美国数学邀请赛）：Grok 4 Heavy 史无前例地取得 了 100% 的满分，完美解出了所有高难度数学题。 GPQA（研究生水平问答）：得分高达 88.9%，超越所有对手。 Artificial Analysis 智能指数：在这个综合了MMLU-Pro、GPQA Diamond、HLE 等七项顶级评测的综合指数中，Grok 4 以 73 分 高居榜首，超越了包括 o3-pro、Gemini 2.5 Pro 在内的所有模型。 马斯克的预言 今年： 有望看到第一部由AI生成的、可观看的半小时电视节目。 明年： 期待第一款真正好玩的 AI 视频游戏和第一部完整的 AI 电影。 最终考场：Grok 的终极目标是成为一个科学发现和技术发明的 引擎。 “Grok 可能会在今年年底发现新的可用技术，明年发现 新的物理学。”这不再是科幻。当一个 AI 开始以现实世界为考 场，以推动人类知识边界为己任时，一个全新的时代就真的来了。 这场由 Grok 4 搅动的风暴，才刚刚开始。 我们要思考…… 外面的世界如此精彩，AI时代的发展如此令人瞠目结舌，而我们 的学校、课堂仍然以“教育GDP”为唯一追求。反差太大了！ 这种“分数为王”的机制不仅导致学生体质下降、抑郁频发、自 我否定，更让学生耗尽热情、激情乃至生命力，取得中高考好分 数后就再没有力气、也提不起精神往前冲了，真可谓是“拼尽全 力18年，几近透支后半生”。 被扭曲、异化的教育该结束了。 未来需要怎样的人才？我们到底应该给学生什么才能让他们在未 来立足？ 一、深刻领会高考命题改革精神，牢牢把 握正确的高考备考大方向 2014年9月，国务院颁布《关于深化考试招生制度改革的实施意 见》，提出“深化高考考试内容改革”的要求：依据高校人才选 拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合 性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题 的能力，由此吹响了高考改革的新号角。 2018年9月10日，习近平在全国教育大会上提出：扭转不科学的 教育评价导向，坚决克服唯分数、唯升学、唯文凭、唯论文、唯 帽子的顽瘴痼疾，从根本上解决教育评价指挥棒问题，总书记 的重要讲话为深化新时代教育评价改革提供了根本遵循，也是高 考改革的基本依据。 2019年，国务院办公厅颁布《关于新时代推进普通高中育人方式改革 的指导意见》，就深化考试命题改革提出如下意见：学业水平选择性 考试与高等学校招生全国统一考试命题要以普通高中课程标准和高校 人才选拔要求为依据，实施普通高中新课程的省份不再制定考试大纲。 优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析 问题和解决问题的能力。创新试题形式，加强情境设计，注重联系社 会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题。科学设置 试题难度，命题要符合相应学业质量标准，体现不同考试功能。加强 命题能力建设，优化命题人员结构，加快题库建设，建立命题评估制 度，提高命题质量。 2019年底，教育部考试中心发布对高考命题、评价与改革起理论 基础和实践指南作用的《中国高考评价体系》。评价体系由“一 核”“四层”“四翼”三部分内容组成。其中，“一核”为核心 功能，即“立德树人、服务选才、引导教学”，是对素质教育中 高考核心功能的概括，回答“为什么考”的问题；“四层”为考 查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，是 素质教育目标在高考中的提炼，回答“考什么”的问题；“四翼” 为考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”，是素质 教育的评价维度在高考中的体现，回答“怎么考”的问题。 2020年10月，中共中央、国务院印发《深化新时代教育评价改革 总体方案》，明确指出“教育评价事关教育发展方向，有什么样 的评价指挥棒，就有什么样的办学导向”； 明确要求“各级党委和政府要坚持正确政绩观，不得下达升学指 标或以中高考升学率考核下一级党委和政府、教育部门、学校和 教师，不得将升学率与学校工程项目、经费分配、评优评先等挂 钩，不得通过任何形式以中高考成绩为标准奖励教师和学生，严 禁公布、宣传、炒作中高考‘状元’和升学率”。 要求深化考试招生制度改革：稳步推进中高考改革，构建引导学 生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形 式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象。 党中央、国务院在《教育强国建设规划纲 要（2024－2035年）》中的要求 深化教育评价改革： 各级党委和政府要树立正确政绩观，树立科学的教育评价导向， 防止和纠正“分数至上”等偏差。 有序推进中考改革。 加快扩大优质高中招生指标到校，开展均衡派位招生试点。 深化高考综合改革，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试或 考核内容体系，重点强化学生关键能力、学科素养和思维品质考 查。 （二）教育部教育考试院的高考内容改革 精神 教育部教育考试院院长孙海波在2022年9月15日教育部举行的“教育 这十年”第12场新闻发布会上说： 十年来，高考命题探索形成具有中国特色的考试评价理论和实践体系， 确立“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，回答了“为什 么考”的问题；构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系， 凸显学生发展核心素养要求，回答了“考什么”的问题；研制中国高 考评价体系，回答了“怎么考”的问题。十年来，高考命题不断完善 考试内容，创新考查形式，丰富评价手段，强化保障措施，取得了一 系列突破性进展。 ——实现了“三个转变” 1.落实立德树人，实现高考由考试评价工具到全面育人载体的转变 2.科学服务选才，实现高考由“解题”到“解决问题”的转变 “为国选才”是高考的基本功能。高考命题探索“价值引领、素养导 向、能力为重、知识为基”的综合考查模式，不断增强试题的应用性、 探究性、开放性，把考查的重点放在学生的思维品质和综合应用所学 知识解决实际问题的能力上，不断完善人才选拔标准和方式方法，服 务高校招生和人才培养改革。 一是提升选才效度，考查关键能力。 高考注重考查支撑学生未来长远发展和适应社会进步要求的能力，有 效鉴别学生发展潜质。通过优化考查内容、丰富呈现方式、创新设问 角度等途径，突出对关键能力的考查，让善于独立思考、认知能力强 的学生脱颖而出。 二是注重学用结合，创设真实情境。 三是突出思维品质，强调开放灵活。高考持续优化试卷结构，创 设新的题型，从材料信息的丰富性、试题要素的灵活性、解题路 径的多样性等方面增强试题开放性，强调思维过程和思维方式， 鼓励学生多角度主动思考、深入探究，发现新问题、找到新规律， 引导学生在学习和备考中减少死记硬背和机械刷题。 3.有效引导教学，实现高考由“以纲定考”到“考教衔接”的转变 一是遵循课程标准，引导中学依标教学。高考命题严格依据高中 课程标准，确保“内容不超范围，深度不超要求”。考查内容限 定在课程标准范围之内，既注重考查内容的全面性，又突出主干 和重点内容的考查；考查要求依据学业质量标准，深度不超过其 规定的层次，引导中学做到应教尽教，开齐开好国家规定课程。 二是注重以考促教，服务教学提质增效。高考命题遵循教育规律， 注重考查对基础知识、基本技能、基本方法的深刻理解，引导学 生要知其然，更知其所以然，学有所思、思有所疑、疑有所问、 问有所悟，引导教学把精力放在讲透课程重点内容上。强调在深 刻理解基础上的融会贯通、灵活运用，不考死记硬背、不出偏题 怪题，平和中有新意，灵活中见潜力，实践中出真知，引导中学 把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养，提升课 堂效果和作业效率。 （三）高考数学命题原则 在知识网络的交汇点设计课题，关注知识结构和具体知识点之间 的有机联系，强化方法性、应用性、概念性、原理性内容的教学， 淡化特殊解题技巧； 在应用数学基本原理、普适性思想方法解决问题上下功夫，促进 学生在深刻理解基础知识基本技能、形成结构化知识体系的过程 中实现数学思想方法的融会贯通； 注重提高学生的逻辑思维能力、创新意识和应用意识，降低对运 算量、运算技巧的要求，注重选择自然科学、人文社会科学等领 域以及现实生活、数学文化等作为背景素材，引导学生关注现实 世界和国家社会发展，加强运用数学知识解决生产生活中实际问 题的能力，促进学生数学素养的提升和发展。 （四）高考命题改革的发展轨迹 2014年以来的高考命题改革的主要特点： （1）始终强调基础性、应用性、综合性、创新性，注重发挥高考数 学的人才选拔功能； （2）及时反映时代主题，彰显高考全面育人载体作用，例如文化自 信、核心素养、五育并举、抗疫精神、落实双减、拔尖创新人才选拔 等等； （3）始终强调数学学科特点，特别注重逻辑思维能力考查； （4）2019年底发布《中国高考评价体系》；2020年开始进行题型和 试卷结构改革，新高考试卷题型增加了多选题、题量从23道减少到22 道；2024年实施试卷结构重大改革，题量进一步减到19道； （5）2020年，针对理性思维和关键能力，从高考这一特定背景 下，明确提出“考查批判性思维能力、数学阅读与理解能力、信 息整理能力、语言表达能力”； （6）2021年，新题型密集出现，举例问题、结构不良问题、存 在问题，后来还有新定义题等等； （7）2018年提出“引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用 好教材，避免超纲学、超量学”，2022年，明确提出“加强考教 衔接”的要求，注重发挥高考指挥棒作用，在“引导教学回归课 标，重视教材，强调概念，注重基础”上持续发力； （8）2018年提出“多考一点想，少考一点算”，意在强化独立思考、 逻辑推理、数学阅读和表达、批判思维等关键能力的考查；2024年、 2025年进一步落实“多想少算”的命题理念； （9）2022年以后，命题创新设计始终围绕基础（基础知识、基本技 能、基本方法）、能力（以逻辑性、灵活性、创新性、批判性等思维 品质为落脚点）和应用（用数学知识、方法解决数学内外的问题）等 三个基本点展开，体现了高考改革一以贯之的指导思想； （10）2024年，高考数学实施重大改革，新课标卷创设全新的试卷结 构和难度结构，减少题量，给学生充足的思考时间，深入考查思维过 程； 2025年的高考数学命题创新设计着力点 教育部教育考试院在《2025年高考数学全国卷试题评析》中指出： 2025年高考数学命题贯彻落实《教育强国建设规划纲要（2024—2035 年）》，遵循高校人才选拔要求和高中数学课程标准，依据高考评价 体系，持续推进考试内容改革。更新设计理念，深化基础性考查；创 新试题设计，强化思维能力考查，拓展思维的深度和广度，增强探索 性和创新性，突出思维过程和思维品质，服务拔尖创新人才选拔；精 细把握学情教情，科学调控试题难度，精确区分考生，提升人才选拔 质量，助力教育强国建设。 2025年高考数学命题创新设计有三个着力点：基础性、思维能力、难 度与区分度。 （五）2024年高考数学命题实施重大改革 2024年高考数学全国卷试题持续深化考试内容改革，考主干、考 能力、考素养，重思维、重创新、重应用，突出考查思维过程、 思维方法和创新能力。 新课标卷创设全新的试卷结构，减少题量，给学生充足的思考时 间，加强思维考查，强化素养导向，给不同水平的学生提供充分 展现才华的空间，服务拔尖创新人才选拔，助推素质教育发展， 助力教育强国建设。 这一改革举措得到各界肯定，将在今后一段时间内保持稳定。 1.创新试卷结构设计 （1）减少题量增加了解答题的总分值优化多选题赋分方式 题量减少，增加用于思考的时间，降低速度要求，更从容地试错，使 思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的 选拔功能，引导数学教学关注对学生核心素养的培养。 （2）机动调整题目顺序 （3）难度结构变化 单选题、多选题、填空题基本不设压轴题，使整章卷子的难度拾阶而 上，把最后两题作为压轴题，每题17分，以此作为区分和选拔的题目， 这样就兼顾了均值与方差。 2.强化基础性考查 为了引导中学教学遵循教育规律，突出内容本质，回归课程标准， 重视教材，强调概念，注重基础，加强学生的独立思考、自主探 究、合作交流，注重培养学生的学习能力，促进学生学会学习， 提高教学效率，减轻学业负担，全国高考数学卷不断加强对于基 础知识、基本技能和基本方法的考查力度，延伸基础性考查的内 涵。 要正确理解基础性考查的含义：基础性考查不等于降低题目难度， 而是要强化基本概念、基本原理、基本思想方法的深刻理解、融 会贯通、灵活运用。 基础题数量适当。增加对基本知识和方法的考查。新课标I卷中， 第1~9、12、15、16题都属于简单或比较简单的试题，学力较弱 的学生只要按部就班学好教材内容，都可以顺利完成，这些题目 加起来近90分； 适当控制中档题难度。新课标I卷的第10、11、13题等都合理控 制了难度，平衡了计算量、思维量与阅读量，形成平实、平稳、 平和的考查方式。 不使用学生不熟悉的术语，不给学生带来过多的阅读理解负担， 有利于学生稳定心态，试题顺序排布合理，各个题型中的小题都 按照从易到难的顺序排列，中间没有“拦路虎”，使学生能够按 部就班作答，充分考虑到学生的考试感受。 2025年Ⅰ卷中基础性试题的占比大幅提升，单选题的1-5题是“很简单 题”；多选题第9题，填空第12、13题，解答题第15题，第16题(1)、 第17题(1)，第18题(1)，都是“简单题”，这两类题分值累计超过70分， 这些是“托底基础知识的考查”，约占总分值的50%，说明基础题增 加了。单选题的第6题、第7题，多选题的第10题，解答题第16题第(2) 问，第17题第(2)问的第1小问，第18题第(2)问的第1小问，第19题的第 (1)问，这些为中档题，分值超过40分。剩下的单选题第8题、多选题 第11题、填空题第14题、解答题第18题(2)第2小问、解答题第19题（2） （3）问则属于难题，分值约为30多分。整份试卷易、中、难试题的 比例是5:3:2。这是教育部教育考试院在教情学情调研和往年考试数据 分析基础上，“更精细地把握学情、教情因素，面向全体考生，科学 制定考试要求”的结果，“命题综合考量人才选拔、试卷导向、考生 感受，将三者有机结合，使试卷与考生水平相契合，提高考生的获得 感和成就感，同时对不同水平的考生都进行良好的区分，实现高考的 选拔功能。” 大部分试题与教材中的题目并无二致，有的甚至就是教材中的原 题，考查的就是“基础知识，基本技能，基本方法”。如果学生 熟悉教材，那么完成这些题目的解答就不会有困难。 即使是最后的把关题，也与基础有很大的内在关联——这个“基 础”更多指向了数学的思维方式。 例1 （2025年新课标Ⅰ卷·4）若点(a，0)（a＞0）是函数 3 � = 2tan � − π 的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ） π π （A） (B) 6 3 2 π 4π (C) (D) 3 关键是什么？——性质要非常熟练。 基础，要达到自动化反应。如何做到？明确、清晰地把握三角函 数的定义，学会从定义出发研究性质。 反复进行解题训练，机械记忆知识，效果不如让学生探究性质、 证明公式，形成知识体系。——有多少学生会证明“和差角公 式”？ 例2 2025年全国Ⅰ卷第17题 如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD， BC∥AD，AB⊥AD。 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）PA＝AB＝ 2，AD＝1＋ 3，P，B，C，D 在 同一个球面上，设该球面的球心为O。（i）证明： O在平面ABCD上；（ⅱ）求直线AC与直线PO所成 角的余弦值。 对条件中的数字要有敏感性——题目中的数字不是 随便给的。 A B C D O 例3 2018年高考Ⅰ卷第12题 已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相 等，则平面α截此正方体所得截面的最大值为多少？ 问题1 研究对象是什么？ 问题2 要研究的问题是什么？ 问题3 用什么方法研究？ 问题4 结果如何表达？ 教学中要注重培养数学的思维方式：研究的对象——研究的问 题——研究的方法——研究结果的表达。 又如：在棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中， 求A′到平面AB′C的距离。 老师给的方法：1.直接法——用定义，作垂线 段；2.间接法：（1）等积法，（2）向量法， （3）转移法——点向线转移，线向面转 移；…… 就是不讲“从正方体的结构特征出发”，把数 学教成了魔术。 2025年全国Ⅱ卷第14题 一个底面半径为 4cm，高为 9cm 的封闭圆柱形容器 (容器壁厚度 忽略不计) 内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为多 少cm？ 还是要回到本源，从定义出发。 利用“旋转体的结构特征”，用好轴截面。 顺便提及：高考要考作图。 对于学生来说，一定要重视对于教材中知识、概念、原理的理解， 要能做到举一反三；而不能机械死板地学习知识，形成单一固化 的思路，一旦遇到表现形式稍微变换一下的问题就束手无策。 ——强调灵活考查思维 聚焦创新人才选拔——2024年高考数学新课标卷 评析，赵 轩 翟嘉祺 郭淑媛(教育部教育考试院) 让学生把教材从头到尾仔细读几遍，把概念理解清楚，教材中的 定理、公式等都要会推导，教材中的题目大部分要过关，那么高 考中取得一个理想的分数是绝对没问题的。 上新课时不要赶进度，认真仔细地把教材搞懂，在夯实基础上下 功夫，也不必用什么教辅资料（如果要给尖子生加码，老师可以 每天给他们出一两道综合性的、灵活性较大的题目，让他们自己 去钻研，同时要给学生开一些阅读书目，引导他们多读书）。 在高考备考阶段，可以按照函数、几何与代数、概率与统计对教 材进行整合，引导学生在知识的变式表达、联系与综合上下功夫， 教材上的一些典型题目要让学生反复琢磨，并进行适当拓展；另 外，还要适当安排数学建模活动、数学探究活动。 例4 2022年乙卷文科16题 1−� 若 � � = ln � + 1 + �是奇函数，则a= ，b= 。 （1）看函数解析式的代数结构，发现1∉ I，这一步非常关键； （2）由奇函数的定义得出－1∉ I，这是从定义出发思考问题； 1−� （3）由 � + 1 ≥ 0，根据对数的定义知x=－1时必有� + 1 1−� = 0，所以� =− 1，于是� � = ln 1 + 1 + �，于是0∈I； 2 �−1 2 （4）由奇函数的性质，有f(0)=0，易得b＝ln2，这是利用性质解 决问题。 3.突出思维品质的考查 高考命题改革既定方针：突出思维品质考查，通过材料信息的丰 富性、试题要素的灵活性、解题路径的多样性等增强试题的开放 性，强调思维过程和思维方式，鼓励学生多角度主动思考、深入 探究，发现新问题、找到新规律，引导学生在学习和备考中减少 死记硬背和机械刷题。 为什么要突出思维品质的考查？ 思维是智力与能力的核心。 智力与能力是一种个性心理特征，具有个性差异。 思维活动中智力与能力特点在个体身上的表现就是思维品质，它是人 的思维的个性特征。 数学思维品质体现了个体数学思维的水平和数学能力的差异。——核 心素养的考查需要有“行为表现”，而思维品质就是关键能力的行为 表现。 有效培养学生的数学思维、提高学生的数学能力，关键是要抓住数学 思维品质这个突破口，做到因材施教。 思维品质的要素 深刻性 广阔性 灵活性 独创性 目的性 批判性 敏捷性 逻辑思维能力与思维品质 逻辑思维能力不仅是抽象逻辑思维能力一种，还包括形象思维能 力、直觉思维能力、辩证思维能力等，但仍以抽象逻辑思维能力 为基础和核心。主要体现在：对数学事实和数学材料的观察、比 较，对数学概念和命题的分析、综合、抽象和概括；对数量关系 和空间形式的归纳、演绎、类比、分解、组合等活动中表现出的 正确性、准确性、严谨性、完备性、敏捷性、深刻性、创造性及 其直觉水平上；特别体现在解决问题过程中表现出的阐述自己观 点和思想的准确性和逻辑性水平上。 所以，发展学生逻辑思维能力的关键在提升学生的思维品质。 数学思想方法与思维品质 数学思想方法的层次性 第一层次，与某些特殊问题联系在一起的方法，我们可以将它称为 “解题术”；第二层次是解决一类问题时可以采用的共同方法，我们 将其称为“解题方法”；第三层次是数学思想，这是人类对数学及其 对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识， 常用的数学思想有：分类思想，化归思想，函数思想，数形结合思想， 极限思想，统计思想，模型思想等等；第四层次是数学一般观念，这 是数学思想方法的最高境界，是一种认识数学规律的方法论． 掌握高层次数学思想方法是提高学生思维品质的主要途径。 例4 2025年北京卷第10题 已知平面直角坐标系xOy中， 𝑂 = 𝑂 = 2， �� = 2 ，设 C(3，4)，则2 𝑂 + �� 的取值范围是（ ） 从分析研究对象结构特征入手，A，B在以O为圆心、 2为半径的 圆上运动，且∠AOB=90°；2𝑂 + �� = 𝑂 + 𝑂 + �� = 𝑂 + 𝑂 = 2𝐶（M为AB的中点）；易得 𝐶 = 1， �� = 5；当𝐶与��同向时 𝐶 最小，当𝐶与��反向时 𝐶 最大。 例5 2024年Ⅱ卷第8题 函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，如果f(x)≥0，则a2 + b2的最 小值为 A.� B. � C. � � � � D.1 分析：（1）如何看待这个函数？ （2）条件f(x) ≥0意味着什么——用什么知识得到这 个“意味着”？ （3）如何看待a2 + b2的意义？ （4）看图说话： f1(x)=(x+a)和f2(x)=ln(x+b)的零点重 合才能有f(x) ≥0，这时b－a=1。 （5）把b－a=1看成是直线方程， a2 + b2=r看成是圆的 方程，从图形上可以容易得出最小值。 特别强调一下平面几何知识的重要性 平面几何知识，尤其是三角形知识，是非常重要的。正因为如此， 人教A版教材中专门设计了数学探究活动“用向量方法研究三角 形的性质”，其目的就是为了让学生系统梳理三角形知识，完善 三角形知识结构，从而为三角函数、解三角形、立体几何、解析 几何等板块中的问题解决奠定基础。可惜太多老师不了解教材的 这个意图，教学中不负责任地放弃了这个内容。 例6 2024年新课标Ⅰ卷第15题 � � 在求出� = � ，� = � 后，你会 想 到什么？ 平面几何知识掌握得好的同学容易 想到△ABC的特殊性，由此可以简 化运算。 教材中的题目 代数变换中的思维品质 • 例7 （2025年北京卷•2）已知复数z满足iz+2＝2i，则|z|＝（ ） i 老师们的解法1：∵iz+2＝2i，∴iz＝2i－2，∴� = 2 − 2 = 2 + 2i。 ∴ � = 22 + 22 = 2 2。 解法2（思路）：设z＝a+bi，a，b∈R，然后由复数相等定义得二元一次方 程组，解方程组求出a，b，再算出|z|。 老师分析道：解法1是从复数最基本的四则运算入手，直接求解，思路直接， 运算简捷。解法2是设出所求复数，经过运算后从方程角度建立等量关系， 再利用复数相等定义求解，思路、运算都比解法1复杂一些。 你有什么分析？ 我的分析：简单得有品位 题目确实简单，但蕴含的“基础性考查”是“从概念、性质出发 解决问题”，即利用复数模的性质|z1·z2|＝| z1|·| z2|，由|iz|＝|z|和复 数模的定义心算得解（心算过程是|z|＝|iz|＝|2i－2|= 22 + 22 = 2 2）。 解法1是套路化的“死算”，解法2根本就不应该出现，所以两种 解法都没有体现命题意图。 简单题学生一般不会做错，但解答过程却有思维方式上的差异。 体现命题意图的应是充分利用概念、性质简化解答过程。 停一停、看一看、想一想：问题背后精彩 无限 死算——有智慧地算，思维品质的差异 反馈到教学：死算、机械化地算、无目的地算——白开水一杯 有智慧地算——分析为什么这样命题，别有洞天 4.创设真实情境，体现综合应用 高考命题改革的既定方针：注重学用结合，创设真实情境，紧密 结合国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等创设情 境，充分考虑学生学习和生活实际，把课本知识与具体真实的世 界联系起来，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决实际问 题的能力，引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能 力、提升素养。 与其他学科或经济、社会、生活实际相联 系，命制出的“情景化试题”到底考什么？ 这类题目不是要考查特定的拓展性知识，考查的是学生的数学思 维方式，包括对研究对象定义的理解，基于定义的逻辑推理、数 学运算，当然还有阅读理解、数学表达等等。 应对这类题目时，加强教材的阅读理解，引导学生读一点数学书， 加强实际问题转化为数学问题的训练（包括符号化表达的训练）， 应该是基本策略。 例8 2025新课标II卷第19题 数学内部的综合与联系，也是创设情境的 基本途径 为了落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求，考查学科知 识的综合应用能力，加强数学知识的内在联系与综合是创设情境 的基本途径。 如何理解“新定义题”？ 每一章教材的编写思路 背景：现实背景、数学背景 概念：定义、表示、分类 概念辨析：用正例、反例理解概念定义的关键词——第（1）题 从定义出发研究性质：一个（类）数学对象的性质指什么，普遍 性质、特殊性质——第（2）题 概念精致：建立联系，进一步研究性质，形成结构体系 应用：用概念、性质解决问题——第（3）题 《2024年高考数学全国卷试题评析》：这道题“以等差数列为知 识背景，创新设问方式，设置数学新定义，搭建思维平台，引导 学生积极思考，在思维过程中领悟数学方法，自主选择路径和策 略分析问题、解决问题。” 这道题的背景非常公平，解这道题所必需的知识限定在中小学数 学课程标准范围内，重点考查的是数学思维方式、思维品质、逻 辑推理素养、探究能力等。 “评析”强调：聚焦主干知识内容和重要原理、方法，着重考查 数学学科核心素养，引导中学教学遵循教育规律，突出数学教学 本质，回归课标，重视教材，重视概念教学，夯实学生学习基础， 给学生留出思考和深度学习的空间。避免超纲学、超量学，助力 减轻学生学业负担。 日常教学如果让学生多研究一些这样的内容而少刷题，聚焦深刻 理解数学概念原理、掌握基本方法、领悟数学基本思想、积累活 动经验，在提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力上 多下些功夫，把教学重点放在使学生逐步学会运用科学的思维方 式认识事物、解决问题、指导行为；逐步培养问题意识，学会独 立思考、独立判断；逐步形成缜密的思维，学会多角度、辩证地 分析问题，做出选择和决定；培养好奇心和想象力，养成不畏困 难、坚持不懈的探索精神，勇于大胆尝试，积极寻求有效的问题 解决方法等等上面，那么这样的压轴大题就会是大量学生都能上 手解决的问题。 跟风永远慢一拍，不是解决问题的正道 去年年初的适应性测试后，有人说：新试卷突破17分压轴题的专 题，这些专题的特点都具有一定的高观点（目前一个主流方向）， 通过相关专题，我们可以大致了解有关问题的脉络和发展方向， 更好地引导备课备考： 1.数论与密码学，2.极限与洛必达法则，3.微分中值定理与应用， 4.高阶导数，凸凹性与偏导数，5.定积分与应用，6.空间解析几何 与应用，7.射影几何与极点极线，8.概率不等式与马尔科夫链，9. 概率，条件概率与条件期望，10.多项式函数与方程的根，11.不 动点理论，12.n阶矩阵与行列式，13.布朗运动，14.曲率半径... ——结果是让老师、学生苦不堪言 切记：依标命题是高考命题的基本要求 高考命题改革的既定方针：遵循课程标准，引导中学依标教学。 高考命题严格依据高中课程标准，确保“内容不超范围，深度不 超要求”。考查内容限定在课程标准范围之内，既注重考查内容 的全面性，又突出主干和重点内容的考查；考查要求依据学业质 量标准，深度不超过其规定的层次，引导中学做到应教尽教，开 齐开好国家规定课程。 通过“高等数学下放”、“高等数学改装”的方式制造“新定义” 考题，绝对不是复习备考的正道！ 试图通过超纲、超量补充知识，让学生对一些高等数学知识混个 脸熟而投机取胜，这样的“旁门左道”已无法应对高考命题改革 的要求。 压轴题绝对不是考学生的“知识量”，它所注重的是“思维量”， 正如“评析”中所说的，“突出理性思维和数学探究，考查学生 运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能 力”。 我们今天的主题是高考备考，要按照高考内容改革、命题改革的 精神来定位——这个是“公理”。 二、复习备考中要思考的一些问题 （一）以《评价体系》为指导的高考复习备考 “四层”（核心价值、学科素养、关键能力、必备知识）中，前 两个是“隐性”考，后两个是“显性”考。 高考数学学科重点考查的关键能力： 阅读理解能力 信息整理能力 批判性思维能力 语言表达能力 高考数学科对关键能力的考查贯穿于解决问题的全过程,但在不 同的阶段考查不同的能力,各项能力在不同阶段发挥不同的作用： 在接触问题之初阅读理解能力起关键作用，在中间过程信息整理 能力发挥关键作用，在解决问题过程中批判性思维能力发挥主要 作用，在书写解答阶段,语言表达能力发挥主要作用。 必备知识：要做到“深刻理解，融会贯通，灵活运用”； 关键能力：要在培养思维品质上下功夫； 解决问题的能力：重视数学建模活动与数学探究活动。 （二）回归课标重视教材的复习备考 1.如何理解“回归课标”？ 理解内容要求、学业要求，做到应教尽教 2.如何理解重视教材？ 复习备考时怎么用教材？ 其实，大家都已经明白教材的重要性，问题在于有些人苦于不知 道如何用教材。 （1）让学生阅读教材画单元知识结构图 并进行讲解交流 以课前作业的方式，让学生重新阅读教材中的相关章节，并以 “概念的本质——从概念出发研究性质——应用概念和性质解决 问题”为基本线索，对单元整体知识进行整理，画出单元知识结 构图。在此基础上让学生在课堂上进行展示、讲解，相互补充形 成完整认识。 对于基础知识的复习，许多老师采用放PPT展示“本单元思维导 图”的方式，这样做是没有效果的。 （2）在高观点下再证明公式、定理 对重要的定理、公式等，从高观点上（函数的观点、向量方法、 导数方法等）、用多种方法进行再证明，例如点到直线的距离公 式、和差角公式、正弦定理和余弦定理等等。要树立一个观念： 推导公式、探究性质、证明定理是最重要的解题。实际上，高考 中有直接考公式、性质的试题。 与其让学生反复进行解题训练、机械记忆公式，不如让他们证明 公式、推导公式体系，进而明确、清晰地把握概念、定理、公式 结构。 （3）建立重要知识间的多元联系表示， 进行变式表达 高考复习备考要站在中学数学课程的整体上对知识体系进行结构 化整合，同时要通过建立知识的多元联系、变式表达，使知识融 会贯通，奠定灵活运用知识解决问题的基础。 （4）对教材中重要、典型例题、习题进 行联系、综合与变式 教材中的题目都具有可变、可拓展、可关联等特性。对这些题目 展开深入探究，可以有效提高复习的统整性，实现知识的系统性、 条理化，从而极大提升复习效率。例如，立体几何中，课程标准 特别强调以长方体为载体，认识和理解空间点、直线和平面的位 置关系，而鳖臑是从长方体分割出的一类特殊的三棱锥，可以反 映几乎所有空间点、直线、平面的位置关系以及度量问题，而且 它和正方体、正棱锥、圆锥等都有紧密的关联，因此各版本教材 对鳖臑都情有独钟。实际上鳖臑也是高考试卷中的常客。 （5）从高考题出发进行教材溯源 这样做不仅可以使学生看清高考题与教材之间的紧密关联，而且 可以使学生认识教材的重要性从而更加重视教材。 不是从教材中找考题，而是从考题出发追本溯源，认识清楚考题 与教材的关系——考题是如何体现“考查内容限定在课程标准范 围之内，既注重考查内容的全面性，又突出主干和重点内容的考 查；考查要求依据学业质量标准，深度不超过其规定的层次”的。 例10 2024年适应性测试第18题 人教A版选择性必修第一册中第138页习题3.3的第 6题： 如图，直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于点A， B，求证：OA⊥OB。 变式1 过点M（2，0）的直线与抛物线y2＝2x相交 于点A，B两点，求证：OA⊥OB。（本题变式后， 其条件已经减弱了，但仍然有OA⊥OB） 图2 变式2 过点M（2p，0）的直线与抛物线y2＝2px相交于点A，B两 点，求证：OA⊥OB。（本题变式后，其条件已经一般化了，同 样有OA⊥OB） 变式3 若直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A，B两点， OA⊥OB，问直线l是否经过定点？ 综合变式2和变式3你能得到什么结论？ 结论：若直线l与抛物线y2＝2px相交于点A，B两点，则OA⊥OB 的充要条件是直线l经过定点（2p，0） 变式4 过抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点O作两垂直的弦OA、OB，求 ΔOAB的面积的最小值. 变式5 由变式2及变式3，如果将直角顶点的位置从原点这一特殊位置 变到抛物线的其它定点时，探索类似的结论： 过抛物线y2＝2px上任意一定点P(2pt2，2pt)，作相互垂直的抛物线的两 弦PA⊥PB，那么直线AB过定点吗？——由前面的解法易知，直线恒 过定点P(2p(t2＋1)，－2pt)。 变式6 若直线l过点P（a，0），与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B 两点，试确定A，B两点对顶点的张角∠AOB分别是钝角、直角和锐角 时a所满足的条件。 将“适应性测试”18题分解为如下问题 问题1 求抛物线C：y2=4x焦点弦中点的轨迹方 程。 容易得到，这个方程是y2=2(x－1)。 如图1，抛物线y2=2(x－1)的顶点为F， FM⊥FN，由前面给出的“变式3”可知直线 MN过定点(2p+1，0)即T(3，0)。这样就解决 了第（1）问。 图1 问题2 如图2，抛物线C：y2=4x焦点F作两 条相互垂直的弦AB，CD，则直线AC，DB 的焦点G在抛物线的准线x=－1上。 图2 问题3 条件如上，过定点T(3，0)作抛物 线y2=2(x－1)的弦MN，求△GMN面积 的最小值。 用问题2的结论就可以了。 可以猜到：当MN⊥x轴时，面积最小。 图3 （三）高考复习备考结构化 什么叫“结构”？——备考所涉及的要素、组织方式 例如：先深刻理解直线、圆、圆锥曲线的定义、基本性质，再融 会贯通平面几何基本图形（三角形、平行四边形等等）与基本几 何问题（位置关系：平行、垂直，相切、平分，……大小度量： 长度、角度、面积等），最后实现灵活运用（例如“适应性测试 第18题”）。 （四）得分是硬道理——怎么实现？ 1.基础最重要 什么叫“基础”？如何“打基础”？如何实现“基础知识、基本技能、基本 方法的深刻理解、融会贯通、灵活运用”？ 基础知识如何实现结构化？——（1）知识的清晰、可辨别、可应用，（2） 建立知识的关联，——内涵是什么？思想方法、一般观念的纽带作用，高层 次知识解释低层次知识、低层次知识为高层次知识打基础 例如，用导数研究函数、三角函数中要讲导数，用向量研究图形，用代数方 法研究几何——这是高中数学的主旋律。 又如，解三角形的含义是什么？——从定性到定量，对三角形的基本性质要 掌握 研究一个数学对象的基本套路的重要性：确保结构的合理性、内 容的可预见性、过程的逻辑性、探索的方向性、思维的主动性、 方法的有效性，进而实现教学的高质量。 以一般观念统领研究过程，提升教学的品位、思想性 在具体思考过程中，给学生一个基本的逻辑思考架构 • 特殊化 类比 当前内容 联系 一般化 数学对象就是一个系统，数学对象的组成元素就是这个系统的要 素，要素之间的基本关系决定了对象的一般特性，而要素的某些 特殊形式、特殊关系往往反映了对象的重要特性。这样，在抽象 数学对象要素及其基本关系的基础上，依着一般与特殊及其相互 转化的思路探索数学对象的各种性质，乃是数学研究的基本之道。 2.重视基本模型的作用 为什么基本初等函数特别重要？ 向量回路、数乘向量、数量积、向量基本定理，为什么称“向量 基本定理”？ 阳马、鳖臑为什么重要？——这是基本模型，可以反映几乎所有 空间点、直线、平面的位置关系以及度量问题，它们是从空间基 本几何体中产生出来的，所以最基础的是教材上的柱锥台球。空 间基本立体图形的结构特征特别重要。 概率模型：古典概型、二项分布与超几何分布模型、正态分布模 型、线性回归模型与独立性检验。 完整的概率模型的含义是什么？ 当前的主要问题是：（1）对“基础”的含义没有正确认识—— 知识点记住了就是基础好；（2）“夯实基础”的方法不对—— “不刷题怎么能打好基础呢？” 正确的做法是：（1）在概念的抽象，公式‘’定理的发现和证 明上下足功夫，达成“深刻理解”的目标；（2）利用“逻辑思 考框架”，用“数学探究活动”的方式，把探究性质、建立联系 作为基本任务，让学生进行变式、拓展、加深，形成知识结构的 过程中达成“融会贯通”的目标。 3.研究“题目是如何命出来的? ” 例如，抽象函数题目是怎么命出来的？——三角函数公式的一般 化，指数、对数性质的一般化 高质量、有针对性的题目——这是老师的作用所在，讲解法一、 解法二、解法三……不是老师的任务，出题目是老师的任务，解 题目是学生自己的责任 通过命题，理解怎样的题目才是好题目？ 可以引导学生思考“题目是怎么命出来的”，然后让学生自己命 题：特殊化、一般化（推广）、“反过来”、条件增加或减弱、 类比、联系…… 例11 2025年全国I卷第11题 � 已知△ABC的面积为 �，cos2A＋cos2B＋2sinC＝2，cosAcosBsinC � ＝�，则 A.sinC＝sin2 A＋ sin2 B B.AB＝ � C. sin A＋ sin B ＝ � � D. AC2＋ BC2 ＝3 直角三角形的充要条件有哪些？——从平 面几何到三角函数 边与边的关系：勾股定理及其逆定理的变式表示：sin2A＋sin2B ＝1＝sinC 注意：sin2A＋sin2B ＝1＝sinC是△ABC为直角三角形的充要条件。 角与角的关系：sinA＝cosB， sinB＝cosA。 边与角的关系：a＝c sinA， b＝c sinB。 等等。 如果学生知道sin2A＋sin2B ＝1＝sinC是△ABC为直角三角形的充要条件， 这还是个难题吗？——性质、变式的重要性 这就是考思维品质、考思维方式的含义所在。 三角形的知识要达到自动化反映程度 定义——向量表示 性质——定性性质、定量性质，三角形性质的结构是怎样的？ 从定义出发研究性质，从定义、性质出发解决问题。 三角形性质的多元联系表示：与三角函数、向量的关联与表达。 基础知识、基本技能、基本方法的深刻理解、融会贯通与灵活运 用：从具体到抽象在到具体。 知识要结构化——什么叫结构化？ 怎样的知识才能“灵活运用”？ 4.给学生做有质量的题目 为什么滥用教辅有害？——导致教学不符合学情、教师被误导甚至产生依赖 性 简单的问题（题目）蕴含深刻的道理，复杂的问题是化归为简单问题的基础。 题目不是做得越多越好，好题目值得多次去做——做高考原题的重要性，从 中体会如何考查基础、思维品质、综合应用等 多想少算，怎么才能实现？——思维品质的集中体现之一 如何理解一题多解的意义？——解法不是越多越好，简单才好。 多自主探究少模考联测 一定要重视高考原题、教材中题目！ 结束语：应对充满不确定性的高考试卷的智慧 是“以不变应万变” 新高考的命题强调“依据高中课程标准，进一步增强考试与教学 的衔接”，“教什么考什么”是命题的基本原则。所以，教学必 须以课程标准为准，把落实教材作为基本任务，做好“教学与考 试的衔接”。 通过刷题取胜的时代已经过去，回归数学内容的本质，依标教学、 重视教材才是正道，因为高考题是“万变不离其宗”的。 高考——功夫在诗外，从新课开始，依据教学计划循序渐进开展 教学是基础。把一些好教师长期放在高三“把关”是非常有害的。 期望老师们 静下心来，慢下来，怀着欣赏、享受的心态行走高考备考之路。 人生不过百来年，何必那么匆忙，何必为难自己、为难学生（对 于校长而言，何必为难老师、学生？） 相信自己，不靠教辅、没有“大神”，我能搞定，而且能更好！ 回归常识，按教学规律办事。 基础最重要，回归本源，重视基本概念、基本原理、基本方法。 适度训练：机械刷题有害。 ， 过度学习理论是由德国著名的心理学家H·艾 宾浩斯提出的。 过度学习有利于识记材料的保持，但是也明 白“过犹不及”的道理，不能一味的重复再 重复。研究结果表明，适当限度的过度学习 比刚能记住的效果好，但如果超过这个限度 其保持效果不再增加。 训练几次到恰能记住，再螺旋上升训练几次 效果最好。但继续训练，效果则适得其反， 会对人的身心造成危害。 面向未来，静待花开 从明天起，我要做个从容的人 抛弃教辅，告别题海，不再给高考当奴隶 从明天起，不再追求教育GDP 关心每一个学生的冷暖 我有一个理想，面向未来，静待花开 从明天起，回归数学育人常识 依据课标，用好教材 重视基本概念，基本原理，基本方法 鄙视题型套路，杜绝“死记硬背、机械刷题” 为学生成长提供沃土 让学生拥有独立思考的时间、自由翱翔的空间 尊重学生的个性，让他们依自己的意愿 选择、发展 不再搞周考、“午间一练”，不再逼迫 学生做无聊的模拟训练 我要告诉每一位学生 你有自己独特的天赋 你有自己灿烂的明天 你的精彩是别样的精彩 愿你的人生幸福圆满 我只愿面向未来，静待花开 结束语 数学育人——使学生在数学学习中 树立自信，坚定正念， 增强定力，激励精进， 启迪智慧，净化心灵。 谢谢倾听 请提宝贵意见 $