精品解析：四川省绵阳市东辰国际学校2025-2026学年高二上学期开学分班检测数学试卷

四川省绵阳东辰国际学校2025-2026学年高二上学期开学分班检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 设，，且，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知，向量，，则存在和，使得（ ） A. B. C. D. 3. 复数z满足（是虚数单位），则z的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 4. 已知中，，，，过点作垂直于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则A =（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 在棱长为1的正方体中放入一个球体（在同一平面，垂直平面），使之恰与平面、平面、平面、平面均相切，则其半径长为：（ ）． A. B. C. D. 7. 某保险公司推出了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.现对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项错误的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长，人均参保费用越来越多 C. 54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8% D. 定期寿险最受参保人青睐 8. “筝形”是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形.已知“筝形”ABCD以AC所在直线为对称轴，且，若点平面ABCD，且，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 10. 已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（ ） A. 若为纯虚数，则或 B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 11. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 四面体PBCQ的体积是定值 B. 的取值范围是 C. 若与平面ABCD所成的角为，则 D. 若三棱锥的外接球表面积为S，则 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知和中，，若“”是“”的充要条件，则的范围为___________. 13. 已知三棱锥中，棱，，的中点分别是M，N，O，，，都是正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 14. 在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 17. 已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 18. 如图，直四棱柱中， 是边长为的等边三角形，，，棱的中点为. （1）求证：平面； （2）现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在 ，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的 ；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 为扎实推进美丽中国建设，丰富市民业余生活，某市计划将一圆心角为，半径为R的扇形OAB空地（如图），改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分构成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地．设点P为上异于A，B的动点．请以点P为内接矩形的一个顶点设计出两种不同的规划方案，并分别求出这两种方案的活动场地面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳东辰国际学校2025-2026学年高二上学期开学分班检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 设，，且，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可 【详解】∵，∴，∴， 故选:A. 2. 已知，向量，，则存在和，使得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量坐标的数量积运算、运算律应用以及向量共线的充要条件判断，对选项进行逐一分析、计算即得. 【详解】对于A，因，则，则， 故，即不能成立，即A错误； 对于B，， 因，则，则，故，即B错误； 对于C，由B项可得，同理， 因，则，则，故，即C错误； 对于D，由和可得，， 即若取时，有，此时满足，故D正确. 故选：D. 3. 复数z满足（是虚数单位），则z的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先设，利用复数相等计算，. 【详解】设，由得， 化简得：，故. 故选：B. 4. 已知中，，，，过点作垂直于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设，，利用列方程求出的值即可得到答案． 【详解】中，，，，过点作垂直于点，如图所示： 设，其中， 则， 所以 ， 解得，所以． 故选：B． 5. 在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则A =（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】运用正弦定理可得，代入已知可得，再勾股定理的逆定理求得角. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 又，则，显然，所以. 故选：C 6. 在棱长为1的正方体中放入一个球体（在同一平面，垂直平面），使之恰与平面、平面、平面、平面均相切，则其半径长为：（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方体的性质和线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再根据对称性找出球心与相关平面的关系，最后通过建立线段长度的等式求解球心到平面的距离. 【详解】如图，连接， 在正方体中，平面，因为平面， 根据线面垂直的性质可知. 又因为四边形是正方形，所以. 由于，且平面，所以平面. 而平面，根据线面垂直的性质可知. 在正方体中，平面，因为平面， 可知. 又因为四边形是正方形，所以. 由于，且平面，所以平面. 而平面，根据线面垂直的性质可知. 因为，且平面，所以平面. 取截面，设平面，球的球心为O， 由对称性：，则O到平面的距离为， 过作，垂足为，设，，， 所以，，， 则∽，则，即， 解得：，即半径长为 故选：B． 7. 某保险公司推出了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.现对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项错误的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长，人均参保费用越来越多 C. 54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8% D. 定期寿险最受参保人青睐 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的统计表与统计图逐个选项分析即可 【详解】由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故选项A正确； 由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B正确； 由扇形图可知，54周岁以下的参保人数约占总参保人数的92%，故选项C错误； 由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确. 故选：C 8. “筝形”是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形.已知“筝形”ABCD以AC所在直线为对称轴，且，若点平面ABCD，且，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在四棱锥中，连接AC，BD交于点E，过S作平面ABCD于点O，设，利用余弦定理结合，可求得，进而求得，可求体积. 【详解】在四棱锥中，连接AC，BD交于点E，过S作平面ABCD于点O， 由及直线AC为四边形ABCD的对称轴知点O在直线AC上，连接BO，DO，如图所示. 易得，因为， 所以，所以. 设，因为， 由题意可知，所以，则. 在中，. 在中，. 易得，所以， 所以.，所以， 所以，令， 则， 所以， 整理得，所以，所以， 解得或，所以或（舍去），，所以， 所以，，， ，所以. 易知平面SAC，所以四棱锥的体积. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出的最小值即可. 【详解】对于A，，为定值，A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，， 解得，故C错误； 对于D，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以，又，所以的最大值，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题. 10. 已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（ ） A. 若为纯虚数，则或 B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据选项中复数的特征，分别求解，即可判断选项. 【详解】A.若为纯虚数，则，得，故A错误； B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则， 解得：，故B正确； C. 若，则，则，所以的虚部为，故C错误； D. 若，则，得，所以， 则，故D正确. 故选：BD 11. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 四面体PBCQ的体积是定值 B. 的取值范围是 C. 若与平面ABCD所成的角为，则 D. 若三棱锥的外接球表面积为S，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由判断；B.由 ，求解判断；C.由平面ABCD，得到是与平面ABCD所成的角求解判断；D.以D为原点，分别以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设球心为 ， ，由化简得到t的范围，再由外接球的表面积为判断. 【详解】直四棱柱中，点P到底面ABCD的距离为，设点Q到BC的距离为h，则 ，因为不是定值，故四面体PBCQ的体积不是定值，故A错误； 在中， ，， 因为 ，所以，则 ，故B正确； 因为平面ABCD， 所以是与平面ABCD所成的角，则， 因为 ，所以，故C正确； 以D为原点，分别以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系： 则，线段BC的中点为 ，线段的中点为 ， 设球心为 ， ，则 ， 由得 ， 化简得， 即，易知 ，则 ， ， 所以 外接球的表面积为，故D正确， 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知和中，，若“”是“”的充要条件，则的范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意即使三角形要有唯一解求出参数的取值范围，利用正弦定理计算可得； 【详解】解：因为和中，，若“”是“”的充要条件，即只有唯一解， ①当，即，解得； ②当时，即，解得 综上可得 故答案为： 13. 已知三棱锥中，棱，，的中点分别是M，N，O，，，都是正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可知，（或其补角）是异面直线MN与AD所成的角，进而求出的长度，用余弦定理求得答案. 【详解】如图， 根据题意可知，因为都是正三角形，所以，，连接，设AC=2，则. 易知，在中，由余弦定理：， 在中，由余弦定理：， 于是. 易知，在中，由余弦定理：， 在中，由余弦定理：， 于是. 连接ON，则，于是（或其补角）是异面直线MN与AD所成的角，连接MO，易得MO=NO=1，在中，由余弦定理可得. 故答案为：. 14. 在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，由得出，联立得出，结合余弦定理得出，联立解得或.分两种情况结合题给条件列方程组，解得结果. 【详解】由正弦定理可知，所以， 又因为，所以， 联立可得， 由余弦定理得，所以，解得. 联立得，解得或. 当时，而， 由，得， 因为为的外心，则， 所以，所以①. 同理，由，得， 又因为， 所以，因为，即得， 所以②. 联立①②解得，所以. 当时，同理可得③，④ 解得. 故答案为：或. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】(1)由纯虚数的定义建立方程，求解即可； (2)由第四象限的点的特征建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 ∵复数为纯虚数，∴解得， ∴的值为0． 【小问2详解】 ∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴解得， 故的取值范围为． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1）0.030 （2）84 （3）总平均数是62，总方差是23. 【解析】 【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1，进行求解； （2）先判断第75百分位数在，然后列方程可求得结果； （3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答. 【小问1详解】 每组小矩形的面积之和为1， ， ； 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由， 得，故第75百分位数为84； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 17. 已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合，利用正弦定理，可求，再在中，利用余弦定理可求. （2）设，，在和中，利用正弦定理构造关系，求的正弦，再在中，利用正弦定理求的长. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因，代入可得， 因为，所以，由因,所以. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. 【小问2详解】 设，则，设，则. 在中，，由正弦定理，得①， 在中，，由正弦定理，得②. 由得：， 整理得： 可得 . 又为锐角，所以. 在中，由正弦定理，可得， 所以. 18. 如图，直四棱柱中， 是边长为的等边三角形，，，棱的中点为. （1）求证：平面； （2）现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在 ，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的 ；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①存在，且；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可证得 ，推导出，可得出 ，由直棱柱的性质得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）①连接、 、、，分析可知异面直线与所成的角为或其补角，由余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理求出 的值，即可得出角 的值； ②过点在底面内作 ，垂足为点，连接、，求出、的长，，利用换元法、基本不等式以及对勾函数的单调性可求得的最大值，即为所求. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理可得， 即，解得， 由勾股定理可得，故 ， 在底面中，因为，故，则 ， 在直四棱柱中， 平面，平面，所以， 因为 ，、 平面，因此，平面. 【小问2详解】 ①连接、 、、，如图所示： 因为，，为的中点，所以 ，， 故四边形为平行四边形，所以，， 故异面直线与所成的角为或其补角， 在矩形中，， 故为等腰三角形，且为锐角，故， 由余弦定理得，解得， 因为平面，，故平面， 因为平面，，故， 因为四边形为平行四边形，所以， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因为，故，故，所以， 故存在满足条件的 ，使得直线与直线所成角的余弦值为，且； ②过点在底面内作 ，垂足为点，连接、， 因为平面， 平面，所以， 因为 ，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，， 当时，即当时，， 所以， 此时， 所以 ， 所以，， 令，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，则， 令，则， ， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 此时， 由于，故的最大值为. 19. 为扎实推进美丽中国建设，丰富市民业余生活，某市计划将一圆心角为，半径为R的扇形OAB空地（如图），改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分构成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地．设点P为上异于A，B的动点．请以点P为内接矩形的一个顶点设计出两种不同的规划方案，并分别求出这两种方案的活动场地面积的最大值． 【答案】见解析 【解析】 【分析】方案1，如图1所示，设，将都用表示，再根据矩形得面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论； 方案2，如图2所示，过点O作MN的垂线分别交MN，PQ于S，T，设，将都用表示，再根据矩形得面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论. 【详解】解：方案1， 如图1，矩形PQMN内接于扇形OAB， 在Rt△ONP中，设，则，， 在Rt△OMQ中， 所以， ， 设矩形PQMN的面积为S， 则＝ ． 由，得， 所以当，即时，， 因此，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为. 方案2， 如图2，矩形PQMN内接于扇形OAB， 过点O作MN的垂线分别交MN，PQ于S，T， 由对称性可知，OT平分∠AOB， 在Rt△OPT中，设，则， 在Rt△ONS中，， 所以， ， 设矩形PQMN的面积为S， 则 ， 由，得， 所以当，即时，． 因此，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $