1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（3）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究 直线、平面的位置关系 KAI的小炸鸡 3. 空间中直线、平面的垂直 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 回顾 利用空间向量证明直线、平面平行 1. 证线线平行 2. 证线面平行 3. 证面面平行 ，使得 使得 坐标法 基底法 2 导入 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、 平面的法向量之间有什么关系？ 新知 问题1： 由直线与直线垂直的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？ 1. 直线与直线垂直 设是直线l1, l2的方向向量，则 4 新知 问题2： 由直线与平面平行的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 2. 直线与平面垂直 设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则   l ，使得 追问： 还有其它方式吗？ A B C 5 新知 问题3： 由平面与平面垂直的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ 3. 平面与平面垂直 设是平面α，β的法向量，则   β 6 练习 书本P33 1. 已知是直线的方向向量， 是平面的法向量， (1)若，求的关系式； (2)若，求的值. 解：(1)若，则， 则， ∴ (2)若，则，∴ ，使得， 则，∴. 7 练习 书本P33 2. 已知正方体的棱长为1，以为原点， ，为单位正交基底建立空间直角坐标系， 求证：. A D D1 A1 B1 C1 B C x y z 坐标法 应用1. 证明线线垂直 证明：由题意， ∴，， ∴ ∴，即. 8 总结 应用1. 利用空间向量证明两直线垂直 2. 基底法： ①选取三个不共面的向量（通常它们的模及其夹角已知）为空间的基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③计算两直线的方向向量的数量积为0； ④由两向量垂直得到两直线垂直. 1. 坐标法 ①建立适当的空间直角坐标系，写出各点的坐标； ②求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为0； ④由两向量垂直得到两直线垂直. 证明：设，，， 则为空间的一个基底， 且，，. ∵ ∴ 例题 例4 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD= ∠BAD=60°，AB=AD=AA1=1，求证: 直线A1C⊥平面BDD1B1. 基底法 应用2. 证明线面垂直 A C D B C1 D1 B1 A1 10 例题 例4 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD= ∠BAD=60°，AB=AD=AA1=1，求证: 直线A1C⊥平面BDD1B1. 基底法 应用2. 证明线面垂直 A C D B C1 D1 B1 A1 在平面上，取，为基向量， 则对于平面上任意一点， 存在唯一的有序实数对， 使得， ∴ ∴是平面的法向量， ∴平面. 11 如图，正三棱锥ABC-中A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1 的中点. 求证:AB1⊥平面A1BD. 练习 练P36：要点2 B C C1 B1 A A1 O1 应用2. 证明线面垂直 D O 坐标法 12 如图，正三棱锥ABC-中A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1 的中点. 求证:AB1⊥平面A1BD. 练习 练P36：要点2 B C C1 B1 A A1 O1 应用2. 证明线面垂直 D 基底法 13 总结 应用2. 利用空间向量证明线面垂直 方法：1. 坐标法；2. 基底法. 途径： （1）利用平面的法向量： 求出平面的法向量；判断直线的方向向量与平面的法向量平行. （2）利用线面垂直的判定： 判断直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直. 证明：以为原点，,,所在直线为,,轴， 建立空间直角坐标系D. 则 ，，， 设平面、的法向量分别为 ，， ∴， 令，则则， 练习 书本P33 3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1， E是CD的中点，F是BC的中点，求证:平面EAD1⊥平面EFD1. 坐标法 应用3. 证明面面垂直 A C D B C1 D1 B1 A1 F E 15 练习 书本P33 3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1， E是CD的中点，F是BC的中点，求证:平面EAD1⊥平面EFD1. 坐标法 应用3. 证明面面垂直 A C D B C1 D1 B1 A1 F E 又 ， 令，则， 则， ∵， ∴， ∴平面平面 16 总结 应用2. 利用空间向量证明线面垂直 方法：1. 坐标法；2. 基底法. 途径： （1）利用平面的法向量： 求出两个平面的法向量；由两个法向量垂直得到面面垂直. （2）利用面面垂直的判定： 判断一个平面内含有另一个平面的垂线得到面面垂直. 例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”: 若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 例题 l 证明： 18 总结 1 知识与方法 1. 证线线垂直 2. 证线面垂直 3. 证面面垂直 ，使得 坐标法 基底法 19 总结 1 知识与方法 坐标法 基底法 1. 证线线平行 2. 证线面平行 3. 证面面平行 ，使得 使得 20 $