1.4.1.2 空间中直线、平面的平行课件-高二数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系(重点). 新课导入 问题：空间中确定直线位置的关键向量是什么？ 直线的方向向量 平面的法向量 空间中确定平面位置的关键向量是什么？ 新知探究 一、直线和直线平行 问题1 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行. 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R，使得u1= . u1∥u2 λu2 上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. l1 l2 (1) 典例分析 例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得MN(0，2，2)，R(3，2，0)，S. 则分别为MN，RS的方向向量， 又== 所以=所以∥因为M∉RS，所以MN∥RS. 典例分析 例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 方法二　设=a=b=c， 则=++=c-a+b， =++=b-a+c. 所以=所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 【总结升华】 向量法证明直线平行的两种思路 (几何法)常用：平行四边形、中位线 本节内容结束 跟踪训练 跟踪训练1 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2. 跟踪训练 新知探究 问题2 如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔ u n ⇔ . ⊥ u·n=0 注：(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 二、直线和平面平行 典例分析 例2. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是面AB1，面A1C1的中心. 求证: EF//平面ACD1. ∴ EF//平面ACD1. A D C B A1 D1 C1 B1 F • E • 教材P31 练习3 ∵ EF⊄平面ACD1. 反思与感悟 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示.（课时评价P134 T12） 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 跟踪训练 如图所示,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点. (1)求证:MN∥平面PAD; 【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为四边形ABCD为矩形,所以AB⊥AD, 所以AB,AD,AP两两垂直, 典例分析 所以以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 新知探究 问题3 如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ ⇔∃λ∈R，使得 . n1∥n2 n1=λn2 三、平面和平面平行 典例分析 A D D1 A1 B1 C1 B C F E N M 又 ∴ ∵M, N, E, F分别为棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点. 连接NE, 则 NE//A1 B1 , AB//A1 B1 , NE=A1B1 , AB=A1B1 , NE//AB , NE=AB , ∴ ABEN为平行四边形. ∴ AN//BE. 又 AN 平面EFDB， BE 平面EFDB， ∴ AN//平面EFDB. 同理 AM//平面EFDB. 又 AM∩AN=A, ∴ 面AMN∥面EFDB. 例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中, M,N,E,F分别为棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点. 求证：面AMN∥面EFDB. 证法1(几何法)： 典例分析 例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中, M,N,E,F分别为棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点. 求证：面AMN∥面EFDB. A D D1 A1 B1 C1 B C F E N M 证法2(向量法)： 课堂小结 (1)线线平行的向量表示. 2.方法归纳：坐标法、转化化归. 3.易 错 点：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内. (2)线面平行的向量表示. (3)面面平行的向量表示. 1.知 识 点： 随堂演练 1.已知直线l1的方向向量为m=(1，2，1)，若直线l1∥l2，则直线l2的一个方向向量的坐标是 A.(2，4，2) B.(2，3，-2) C.(1，1，1) D.(-1，1，-1) √ 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊄α，能使l∥α的是 A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) √ √ 3.已知平面α，β的一个法向量分别为u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，α与β不重合，则α，β的位置关系为　　　. 平行 4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是　 　. -3 【证明】根据正四棱柱性质可知,以C为坐标原点,以CD,CB,CC1所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1), 所以=(0,-2,1),=(0,-2,1), 可得=,即向量与共线, 又B2C2,A2D2不在同一条直线上, 所以B2C2∥A2D2. 设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0).因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点, 所以M(,,),N(,0,0),Q(,d,0),所以=(0,-,-). 因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),所以·m=0,即⊥m. 又因为MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD. $