专题1.8空间直线与平面常考几何模型专训（11大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.8空间直线与平面常考几何模型专训 （11大题型+15道拓展培优题） 题型一 空间中的点线面相关问题 题型二 平行公理 题型三 求异面直线的距离 题型四 由平面的基本性质作截面图形 题型五 异面直线相关问题求解 题型六 线面平行相关问题求解 题型七 线面角相关问题求解 题型八 线面垂直的判断、证明及应用 题型九 面面平行的判断、证明及应用 题型十 面面垂直的判断、证明及应用 题型十一 二面角相关问题求解 【经典例题一 空间中的点线面相关问题】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 1．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 2．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 3．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【经典例题二 平行公理】 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 1．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 3．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． 【经典例题三 求异面直线的距离】 【例3】（22-23高一·全国·课后作业）所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 1．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．求异面直线和的距离． 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 【经典例题四 由平面的基本性质作截面图形】 【例4】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 2．（23-24高一·湖南·课后作业）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    3．（2022高二·上海·专题练习）如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 【经典例题五 异面直线相关问题求解】 【例5】（23-24高一·全国·课前预习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    3．（23-24高一下·上海闵行·期末）在空间四边形中，、分别为、的中点. (1)当异面直线与所成角为，求的长； (2)当时，求异面直线与所成角的大小. 【经典例题六 线面平行相关问题求解】 【例6】（22-23高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    1．（2025高三·全国·专题练习）在三棱台中，若是的中点．求证：平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 3．（22-23高一下·吉林通化·阶段练习）如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．    (1)求证：平面 (2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积. 【经典例题七 线面角相关问题求解】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知二面角的平面角大小为，过空间一点有几条直线与二面角的两个面都成？    1．（24-25高一下·上海·期中）如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 2．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 3．（23-24高二·全国·课后作业）在长方体中，与平面所成的角为30°，AB＝BC＝1，求的长度． 【经典例题八 线面垂直的判断、证明及应用】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知锐角中，线段平面，点在平面上的射影为．你能说明不可能是的垂心吗？    3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，.证明：平面. 【经典例题九 面面平行的判断、证明及应用】 【例9】（22-23高二上·上海徐汇·阶段练习）（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明； （2）在长方体中，求证：平面平面． 1．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 3．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 【经典例题十 面面垂直的判断、证明及应用】 【例10】（25-26高二上·广东湛江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面平面． 1．（24-25高一下·广东江门·期末）如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 3．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是线段的中点，N是线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求与底面所成角的正切值. 【经典例题十一 二面角相关问题求解】 【例11】（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，如图，二面角的大小为，在棱上取线段，分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长. 3．（2023高一·全国·专题练习）在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 1．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 2．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 3．（23-24高一·全国·课后作业）图1所示，在梯形中，，E，F分别为BC，AD的中点，将平面沿EF翻折起来，使CD到达的位置（如图2），G，H分别为，的中点，求证：四边形为平行四边形.    4．（2024高三·全国·专题练习）单位正方体中，分别是和的中点，是的中点，求与间的距离． 5．（22-23高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 7.（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：∥平面． (2)设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 8．（22-23高一下·福建·期末）如图，一块正方体木料，面上有一点， (1)经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由. (2)若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值. 9．（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）（1）叙述三垂线定理内容，并证明； （2）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AC=AB，E、F分别是CD、PD的中点.求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 10．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是棱上一点，满足，. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面，求证：直线； (3)当时，求二面角的大小. 12．（2025高三·全国·专题练习）边长为2的正，是的重心，剪去后沿把翻折到使（如图）．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的平面角的正切值． 13．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，． （1）求二面角的余弦值； （2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围． 14．（24-25高一下·河南·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 15．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8空间直线与平面常考几何模型专训 （11大题型+15道拓展培优题） 题型一 空间中的点线面相关问题 题型二 平行公理 题型三 求异面直线的距离 题型四 由平面的基本性质作截面图形 题型五 异面直线相关问题求解 题型六 线面平行相关问题求解 题型七 线面角相关问题求解 题型八 线面垂直的判断、证明及应用 题型九 面面平行的判断、证明及应用 题型十 面面垂直的判断、证明及应用 题型十一 二面角相关问题求解 【经典例题一 空间中的点线面相关问题】 【例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 1．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 2．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 3．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 【经典例题二 平行公理】 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，利用平行四边形的判定性质，平行公理推理得证. 【详解】在正方体中，取的中点，连接，如图， 由为的中点，得，则四边形为平行四边形， 于是，又， 因此四边形为平行四边形，， 所以. 1．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 【答案】平行四边形 【分析】利用中位线，平行关系，即可判断四边形的形状； 【详解】因为点G，F，E，H分别是 的中点，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)共面，理由见解析 【分析】（1）利用中位线的性质及平行四边形的判定定理证明即可； （2）利用平行四边形的判定定理与性质定理得出即可判断. 【详解】（1）由，分别为，的中点， 可得， 又，， 所以， 四边形为平行四边形． （2），，，四点共面， 理由如下：由题意易知， 四边形为平行四边形，． 由（1）知， ，与共面． 又， ，，，四点共面． 3．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可； （2）根据基本事实3证明即可. 【详解】（1）    连接，， 在三角形中，，所以， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴，，，，四点共面. （2）∵，为中点， ∴与不平行， ∵平面， ∴与相交， 设， ∵，平面， ∴平面，同理平面， ∵平面平面， ∴， ∴直线，，相交于一点. 【经典例题三 求异面直线的距离】 【例3】（22-23高一·全国·课后作业）所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 【答案】取AB中点，中点，则为公垂线， 【分析】取中点，中点，连接，证明是与的公垂线，求出线段的长即得． 【详解】如图，取中点，中点，连接， 由已知，∴，同理， 所以是与的公垂线，与的距离即为线段的长． 且， 所以与的距离即为． 1．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．求异面直线和的距离． 【答案】 【分析】作于点，利用长方体的性质结合线面垂直的性质定理可证明就是异面直线和的距离，解直角三角形即可求得答案. 【详解】如图，作于点， ∵在长方体中,平面，平面， ∴， ∴就是异面直线和的公垂线． ∴就是异面直线和的距离． 又在中， ，， , 故，∴异面直线和的距离是． 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）通过，得出； （2）通过，可得； （3）取的中点，的中点，连接，通过，可得. 【详解】（1）因为正方体中，，，所以和的公垂线为，且； （2）因为平面，平面，所以，又， 所以和的公垂线为，且； （3）取的中点，的中点，连接， 易得，因为平面且平面， 所以平面且平面， 所以，， 则为和的公垂线，且． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 【答案】5cm． 【分析】由长方体性质及异面直线距离的定义，确定异面直线和的公垂线，从而求解得距离. 【详解】连接交于点M，交于点，连接， 由长方体的性质，得是的中点，是的中点． 在矩形中，可得， ∵平面，平面， ∴，∴，同理， ∴就是异面直线和的距离． ∵， ∴异面直线和的距离是． 【经典例题四 由平面的基本性质作截面图形】 【例4】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【详解】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 2．（23-24高一·湖南·课后作业）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【答案】画图见解析 【分析】画平面与长方体不同的表面的交线，只需找到两平面的两个公共点，两点确定交线即可. 【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面， 所以平面平面=， 同理，平面平面=，平面平面=， 所以平面与长方体表面的交线是，，. 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．    3．（2022高二·上海·专题练习）如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 【答案】答案见解析 【分析】延长、交于点，连接交于点，利用平面的性质可知面与平面的交线为. 【详解】解：延长、交于点，连接交于点，则平面与平面的交线为，证明如下： 因为，平面，则平面， ，平面，平面， 又因为为平面和平面的公共点，则平面与平面的交线为. 【经典例题五 异面直线相关问题求解】 【例5】（23-24高一·全国·课前预习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 【答案】证明见解析 【分析】异面直线所成角为90°，则两直线垂直. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角），结合长度关系运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：分别为的中点，则∥， 且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC. （2）连接， 由（1）可知∥， 则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角）， 由题意可知：， 则，即，可得， 所以异面直线PO与AB所成角的大小为. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【分析】根据线线平行可证四边形是平行四边形，即可利用线线角求解. 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）在空间四边形中，、分别为、的中点. (1)当异面直线与所成角为，求的长； (2)当时，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形中位线，勾股定理解决即可；（2）取的中点，连接，根据三角形中位线，余弦定理解决即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 所以 所以（或其补角）为异面直线与所成角， 因为异面直线与所成角为， 所以， 因为， 所以在中，， 所以. （2）取的中点，连接， 所以 所以（或其补角）为异面直线与所成角， 因为， 所以在中，， 因为， 设异面直线与所成角为， 所以在中由余弦定理得 ， 所以 所以异面直线与所成角的大小为. 【经典例题六 线面平行相关问题求解】 【例6】（22-23高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【答案】 【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    1．（2025高三·全国·专题练习）在三棱台中，若是的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】三棱台可得，从而说明四边形是平行四边形，则，即可证明平面. 【详解】由三棱台可得， ，又，所以， 因为是的中点，所以，故， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面平面， 所以平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得到为的中点，从而得解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 为的中点，且平面平面， 平面，平面， ， 为的中点，即实数的值为． 3．（22-23高一下·吉林通化·阶段练习）如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．    (1)求证：平面 (2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用线面平行的判定和性质定理，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得. （2）根据题意，得到四边形为矩形，进而求得其面积. 【详解】（1）证明：因为截面是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面，， 因为平面，且平面平面，所以， 又因为平面，EH在面EFGH内，所以平面. （2）解：因为分别为的中点，且， 可得且，且， 因为，可得，所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为.    【经典例题七 线面角相关问题求解】 【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知二面角的平面角大小为，过空间一点有几条直线与二面角的两个面都成？ 【答案】一条． 【分析】作图可知答案. 【详解】如图 ,考虑平面的法向量,直线与平面的法线 成角为 30°， 而法线的夹角为 60°,所以只有角平分线满足. 则只有一条直线满足题意.    1．（24-25高一下·上海·期中）如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判断，结合三角形中位线性质推理得证. （2）连接，连接，利用几何法求出线面角. 【详解】（1）在正方体中，连接，由为的中点，得为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）连接，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 因此平面，是直线与平面所成的角， 在中，，又，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 2．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 3．（23-24高二·全国·课后作业）在长方体中，与平面所成的角为30°，AB＝BC＝1，求的长度． 【答案】． 【分析】根据线面角的概念可得，进而可得结果. 【详解】如图所示AB＝BC＝1，与面所成的角为30°， 由于AB⊥平面，则是与平面所成角，即． 所以． 所以. 【经典例题八 线面垂直的判断、证明及应用】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理，需证明垂直于平面内的两条相交直线. 【详解】证明：如图，连接，连接并延长交于点， 因为是底面的内接正三角形，易得为的中点， 所以，即． 因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以．因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【详解】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知锐角中，线段平面，点在平面上的射影为．你能说明不可能是的垂心吗？    【答案】证明见解析 【分析】利用反正法导出矛盾即可得证. 【详解】假设是的垂心，连结并延长与相交． 平面，是在平面内的射影． 又，． 又平面，是在平面内的射影， ．这与矛盾， 不可能是的垂心． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质即可证明. 【详解】底面，平面，， 又，，平面， 平面. 【经典例题九 面面平行的判断、证明及应用】 【例9】（22-23高二上·上海徐汇·阶段练习）（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明； （2）在长方体中，求证：平面平面． 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【分析】（1）根据面面平行的判定定理写出中文表述，及数学符号表述，同时用反证法证明即可； （2）根据长方体的性质推出，，然后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行， 已知，，，，，求证， 假设， ∵，， ∴，同理可得， ∴，这与矛盾， 所以，假设不成立，因此. （2） ∵为长方体， ∴，，，， ∴四边形，为平行四边形，，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∵平面，平面，， ∴平面∥平面. 1．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面，则平面， 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面. 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 3．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过面面平行的性质定理，证明线面平行即可. （2）根据线面垂直的性质定理，得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直即可. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又底面为正方形，故， 而平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 【经典例题十 面面垂直的判断、证明及应用】 【例10】（25-26高二上·广东湛江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）连接，用三角形中位线证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）证明，即可根据线面垂直判定定理证明； （3）结合（2）中结论和面面垂直判定定理即可证明． 【详解】（1）如图，连，    ∵四边形是菱形， ∴和互相平分， ∵F是中点， ∴F也是中点， 又∵， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）∵平面，平面，∴， ∵四边形是菱形，∴， 又∵，平面， ∴平面； （3）由（2）知平面， ∵平面，故平面平面． 1．（24-25高一下·广东江门·期末）如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由三角形中位线得线线平行，再说明线面平行即可； （2）根据线面垂直的判定定理，证得线面垂直，由面面垂直的判定定理说明面面垂直. 【详解】（1）因为M，N分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，所以， 因为底面，底面，所以， ,平面，平面， 平面， 平面， 平面平面． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. 【详解】证明：取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，所以平面. 即证：平面. 3．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是线段的中点，N是线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求与底面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线定理可得，再由正方形可得，从而可得，即可证明； （2）取边的中点E，连结，由面面垂直可得平面，从而可得是直线与底面所成的角，设，即可求解. 【详解】（1）∵中，M、N分别是线段的中点，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∴，又∵平面，平面， ∴平面. （2）   取边的中点E，连结， ∵是正三角形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∴是直线与底面所成的角， 设，则，， ∴在中，， 即所求角的正切值为. 【经典例题十一 二面角相关问题求解】 【例11】（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. (1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； (2)①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析． (2)①证明见解析．② 【分析】（1）因为，得到，结合线面平行的性质定理得到，通过平行的传递性证得；（2）①作，垂足为连接利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义，得到即为所求二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. （2） ①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； ②在面内过点作的垂线，垂足为，连接， 因为底面为矩形，所以,由题意知平面， 由①知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 因为侧面为等边三角形，，所以， 因为，，所以，所以， 同理得， 所以, 在等腰中， ， 在中，由余弦定理． 二面角的余弦值为. 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）由（1）知 ，又，所以 就是二面角 的平面角，由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，如图，二面角的大小为，在棱上取线段，分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长. 【答案】 【分析】根据给定条件，作，且使，利用二面角的定义，结合勾股定理、余弦定理求解即得. 【详解】作，且使，连接DE，则四边形为平行四边形，， 由，得，又，，，，则为二面角的平面角， 于是，而， 则， 又易得平面，则平面，可得， 所以，即. 3．（2023高一·全国·专题练习）在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用反证法可得四点共面，进而根据二面角的概念及利用线面垂直的判定定理可得平面，即得. 【详解】证明：平面，且平面，平面， ，，平面ACD，又， 平面，假设四点不共面， 平面，平面， 平面平面，与平面平面矛盾，故四点共面； 又，所以为二面角的平面角， ，即，又，且平面PAB， 平面，又平面， . 1．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 2．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【答案】(1)图象见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图. （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 3．（23-24高一·全国·课后作业）图1所示，在梯形中，，E，F分别为BC，AD的中点，将平面沿EF翻折起来，使CD到达的位置（如图2），G，H分别为，的中点，求证：四边形为平行四边形.    【答案】证明见详解 【分析】证明，且，即通过线线平行证明平行四边形即可. 【详解】在题图1中，∵四边形为梯形，，E，F分别为BC，AD的中点， ∴且. 在题图2中，易知. ∵G，H分别为，的中点， ∴且， ∴，， ∴四边形为平行四边形即证. 4．（2024高三·全国·专题练习）单位正方体中，分别是和的中点，是的中点，求与间的距离． 【答案】 【分析】证得、分别在两个垂直平面内，然后根据异面直线的距离公式计算出与间的距离． 【详解】如图，设平面与平面的交线为， ∵，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面， 而和分别在这两个垂直平面内，平面平面． 设和与的交点分别为，则， ，， ， ，， 将以上数据代入公式（4），得． 附公式（4）： 两异面直线分别在一个直二面角的两个面内且和交线分别成角，又它们和交线的交点间的距离为，则两异面直线间的距离. 【点睛】应用上述距离公式求异面直线间的距离时，一般说来应对这两条异面直线分别作一个平面使他们互相垂直，从理论上来说这一对垂直平面必存在且唯一，但在实际问题中，要作出这样一对垂直平面并非是易事，所以这时可考虑用其他方法来加以解决. 5．（22-23高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 【答案】(1)45°； (2)或 【分析】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；利用中位线定理得到EG＝GF且EG⊥GF，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，进而求解； （2）根据题意可得∠EGF＝60°或120°，然后分情况讨论即可求解. 【详解】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；    因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF； 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF； 在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°； 因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG， 即EF与AB所成的角的大小为45°； （2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1； 因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°； 在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1； 在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝， 综上，或 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接CE，先根据平行四边形的定义及性质证明，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，利用基本事实得B，C，G，F四点共面，然后利用线面平行的性质定理得，然后利用平行四边形的性质确定点的位置. 【详解】（1）连接CE，因为，即， 又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以， 又因为平面，平面SCE，所以平面SCE. （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG， 因为，所以，所以B，C，G，F四点共面， 因为平面，平面BCGF，平面平面， 所以，所以四边形BCGF是平行四边形， 所以，所以，所以F为线段SE的中点.    7．（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：∥平面． (2)设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证； ②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． （2）①因为是直三棱柱，所以． 因为，为的中点，所以． 因为，平面，所以平面. ∵平面，∴． 因为，，所以，所以． 因为，所以，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． ②在中，，，， 则． 因为，所以． 设点到平面的距离为， 由①可知平面， 所以三棱锥的体积 ．则， 即点到平面的距离为． 8．（22-23高一下·福建·期末）如图，一块正方体木料，面上有一点， (1)经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由. (2)若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值. 【答案】(1)可以，作图过程见解析，证明见解析; (2). 【分析】（1）连接，在平面上过点作直线,则，再利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）在平面上，过点作，则是的中点，先证明平面,可得为斜线与平面所成的角，进而可得答案. 【详解】（1）过点在面上能画一条直线，使其与垂直, 如图所示，连接，在平面上过点作直线, 则， 证明：在正方体中易得：面， 因为面，所以. 又因为,,且面， 所以面， 因为面，所以. （2）在平面上，过点作，则是的中点，连接, 在正方体中易得：面, 因为面,所以, 因为,且面， 所以面， 所以为斜线在平面上的射影， 故为斜线与平面所成的角. 因为面，面, 所以， 在直角三角形中易得, 所以. 故直线与面所成角的正弦值为. 9．（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）（1）叙述三垂线定理内容，并证明； （2）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AC=AB，E、F分别是CD、PD的中点.求异面直线AF与PE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而得出线线垂直； （2）取中点，证明异面直线AF与PE所成角是或其补角，设，求出的三边长，用余弦定理求得即可得． 【详解】（1）平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线与这条斜线垂直． 如图，是平面的斜线，为斜足，，垂足为，，，求证， 证明：∵，，∴， 又，，平面， ∴平面，又∵平面， ∴； （2） 取中点，连接，又是中点，则，， 所以异面直线AF与PE所成角是或其补角， 平面，平面，∴，同理， 是菱形，，则是正三角形，从而， 设， 则，，∴， ， 又，， 在中，， 所以． 所以异面直线AF与PE所成角是． 10．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由条件证明，同理可得，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）由（1）证明，根据线面平行判定定理证明平面，同理可得平面，再由面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． （2）由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是棱上一点，满足，. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面，求证：直线； (3)当时，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）直接用平面与平面的垂直的判定来证即可； （2）用线面平行的性质来证明线线平行； （3）先找出二面角的平面角然后再计算它的大小. 【详解】（1）平面，平面，. 又，，且平面， 平面，， 平面.又平面， 平面平面. （2），平面，平面，平面. 又平面平面，平面，直线. （3）当时，，所以是棱的中点， 过点作交于点，连接，则为的中点. 如图，作出符合题意的图形， 又，且四点共面. 又平面，平面， ，且. 是等腰直角三角形的中线也是顶角的平分线，. 再由（1）知平面，平面，平面， ，，平面， 平面，平面平面， 就是二面角的平面角. 故二面角的大小为. 12．（2025高三·全国·专题练习）边长为2的正，是的重心，剪去后沿把翻折到使（如图）．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）等边中是边的中点，翻折后易得平面，根据已知求出相关线段长度，若分别为的中点，得到为平行四边形，与所成角为或，进而求夹角余弦值； （2）由面面垂直的判定得平面平面，进而有点与平面的距离即为点与直线的距离，结合线面角的定义及已知求其正弦值； （3）若于，于，连接，则为的平面角，与对应平面角互补，进而求其正切值. 【详解】（1）翻折前，在等边中取是边的中点，则， 原图翻折后，取分别为的中点，如下图示：    易知，，平面， 所以平面，又平面，则，即， 又，，，又，则， ，，则， 又，，，， 所以为平行四边形，，且与所成角为或， 综上，， 故与所成角余弦值为； （2）由（1）平面，平面，则平面平面， 平面平面，且平面，则在平面上的射影在直线上， 则点与平面的距离即为点与直线的距离， 由，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值； （3）若于，于，连接，则为的平面角，与对应平面角互补，    由（2）知，由，则，， 所以，故， 所以二面角的平面角的正切值. 13．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，． （1）求二面角的余弦值； （2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，可证明为二面角的平面角，根据长度关系，即得解； （2）过点作交于点，在中，由余弦定理可得，设，由三角形相似可得，，在中，由余弦定理可得， 在、分别使用勾股定理，联立可得，结合，即得解. 【详解】 （1）取的中点，的中点，连接，，， 在中，，，则， 在等边中，， 故为二面角的平面角， 因为，所以，，， 则，所以， 则，故二面角的余弦值为； （2）过点作交于点， 因为，则，又，所以， 在中，， 所以，设，则， 所以，， 在中，， 所以，因为， 则， 在中，①， 在中，②， 由①＝②，可得，因为，所以， 故的取值范围为． 14．（24-25高一下·河南·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明线线垂直，可通过证明线面垂直推导出线线垂直，即证明平面, （2）首先确定是等腰三角形，然后作辅助线，找出二面角的平面角，然后根据线段的长度和余弦定理求出其余弦值. （3）根据体积关系先求出点到平面的距离，然后即可求出直线与该平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接交于点，再连接，如图所示. 在中，，是的中点，所以， 又四边形是边长为2的菱形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）因为四边形是边长为2的菱形，， 所以可求得，所以. 因为，，， 所以，所以，且， 所以，又，所以． 取的中点，连接，，如图所示． 在中，，，，点是的中点， 所以，且． 同理可得，，所以二面角的平面角为， 在中，，，， 由余弦定理得，即二面角的余弦值为. （3）由（2）知，取的中点，连接. 在中，，所以根据勾股定理得． 由（2）知的面积． 因为点是的中点，所以， 设点到平面的距离为，所以， 解得， 又，设直线与平面所成角为θ，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)与不垂直，理由见解析 (2)． (3) 【分析】（1）假设，得到线面垂直，，由三角形全等得到，于是，与矛盾，得到结论； （2）作出辅助线，证明出线面垂直，为二面角的平面角，设，表达出各边长，利用得到方程，解得，求出，，由勾股定理得到方程，求出； （3）作出辅助线，由（2）知平面，设，则点E到平面的距离，又，设与平面所成角的大小为θ，则，变形后，利用函数单调性求出取值范围，得到答案. 【详解】（1）直线与不垂直，理由如下： 事实上，假设，又，，平面， 所以平面．又平面，所以． 在和中，，， 所以，所以． 于是，与矛盾． 所以，假设不成立，即与不垂直； （2）设点A在平面内的射影为O，在平面内，过点O作，垂足为P， 连接，因为底面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角．即， 所以， 点O作，垂足为Q，连接，同理可得． 在中，，， 故∽，所以，即， 解得，． 连接并延长交于点F， 因为为边长为2的等边三角形，， 故，则F为的中点，且． 设，在中，，，， 因为，所以，由勾股定理得， 在中，． 因为，所以，解得． 其中， 此时，所以． （3）由已知，点A在底面的射影O在的角平分线上． 在平面内，过点O作，垂足为P． 连接，在平面内，过点O作， 由（2）知，平面，又平面，所以． 又，所以平面． 易得，，，， ． 设，则点E到平面的距离，， 又， 设与平面所成角的大小为θ，则， 因为，， 当时，取得“”． 所以，与平面所成角的正弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $