精品解析：四川省达州市达州中学2024-2025学年高三下学期高考数学模拟考试（一）

达州中学2024—2025学年度高2022级高三下学期高考数学 模拟考试（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 2. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数减法运算求解，可得复平面对应点的坐标，可得结论. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以对应的点在第四象限. 故选：D. 3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 6. 已知为等差数列，为其前n项和，则（ ） A. 224 B. 225 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，利用等差数列的通项公式和前n项和公式可求得. 【详解】由题意，设等差数列的公差为， 所以， 则， 则， 所以 ， 故选:B. 7. 若函数，满足，且，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】令中，求出，再对两边求导，将代入即可得出答案. 【详解】令，所以，因为，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：B. 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列计算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数判断A，根据对数的运算性质与换底公式判断BCD. 【详解】，不是有理数，故A错误； ，是有理数，故B正确； ，是有理数，故C正确； ，是有理数，故D正确. 故选:BCD. 10. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ） A. 截面 B. 异面直线与所成的角为 C. D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A:利用线面平行的判定定理即可判断；对于选项B:结合题意可得为异面直线与所成的角，借助截面是正方形求解即可；对于选项C:结合题意利用，，并借助截面是正方形即可判断；对于选项D:利用分析法并借助线面垂直的性质可得到不一定成立，即可判断. 【详解】对于选项A:点分别是棱的中点，， 平面，平面，截面，故A正确； 对于选项B: 点分别是棱的中点，， 为异面直线与所成的角， 截面是正方形，， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 对于选项C:截面是正方形，， 又点分别是棱的中点， ，，，故C正确； 对于选项D:若要使平面，则需要，， 但由题意知不一定成立，故D错误． 故选：AC. 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误. 【详解】由题意知，半圆的方程为， 设椭圆方程为，则， 所以，故椭圆方程为， A选项，椭圆离心率，故A正确； C选项，当时，， 当时，，此时重合，不合要求， 又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B 所以线段长度的取值范围是，C正确； D选项，由题意得的面积，设，则， 所以， 设，则，所以， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确， B选项，的周长等于， 则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可. 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，得，所以的定义域为， 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确结果. 【详解】， 所以. 故答案为： 14. 已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 请用两种方法证明余弦定理． 【答案】 方法一：向量法 在中，记角所对应的边分别为， 设向量，则，如下图： 由向量模长可得 即可得， 同理可证明其他两种形式，即；； 方法二：坐标法 在中，记角所对应的边分别为， 以为坐标原点，边沿轴正方向，建立平面直角坐标系，如下图： 则，易知点的坐标为， 因此可得的边长为， 将上式两边同时平方可得 又， 所以可得 同理可证明其他两种形式，即；； 【解析】 【分析】方法一：利用向量法，结合长度的向量表示以及向量数量积定义和运算律即可证明余弦定理； 方法二：建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式的坐标表示化简计算即可证得余弦定理. 【详解】略 16. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明：[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知 ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]： 由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 17. 在直角坐标系中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不能出现的情况，理由如下： 设，，则满足，所以. 又C的坐标为，故AC的斜率与BC的斜率之积为， 所以不能出现的情况. （2）由，，则BC的中点坐标为， 可得BC的中垂线方程为. 由（1）可得，所以AB的中垂线方程为. 联立，又，可得， 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为， 半径 故圆在y轴上截得的弦长为， 即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【解析】 【分析】（1）设，由根与系数的关系得，进而可得AC的斜率与BC的斜率之积不等于，所以不能出现的情况； （2）求出过A，B，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再求弦长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略： （1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：； （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 18. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为，则为锐角， 故， ， 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【解析】 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州中学2024—2025学年度高2022级高三下学期高考数学 模拟考试（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等差数列，为其前n项和，则（ ） A. 224 B. 225 C. 2024 D. 2025 7. 若函数，满足，且，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列计算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ） A. 截面 B. 异面直线与所成的角为 C. D. 平面 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 13. 已知，则______． 14. 已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 请用两种方法证明余弦定理． 16. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 17. 在直角坐标系中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 18. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $