上海市建平中学2025-2026学年高二上学期开学综合素质检测（9月月考）数学试题

2025学年上海市建平中学高二上学期开学综合素质检测

                     数学  试卷               

                                 （考试时间：120分钟    满分：150分）

考生注意：

1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟

2. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分

一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）

1．设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则       ．

2．方程在区间上的所有解的和为       ．

3．已知数列满足，则        ．

4．已知平面向量，，满足，且，则的值为        ．

5．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数         ．

6．已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为        ．

7．若，平面内一点满足，则的最大值为        ．

8．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为        ．

9．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则         ．

10．已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足，且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为         ．

11．已知函数，，若方程在区间内无解，则的取

值范围是        ．

12．莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为         ．

二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）

13．若，则是第（    ）象限角

A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四

14．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）

A． B． C． D．

15． 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

16．矩形中，，，动点满足，，则下列说法中错误的是（   ）

A．若，则的面积为定值                   B．若，则的最小值为4    

C．若，则满足的点不存在         D．若，，则的面积为

三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）

17．（本题共14分，每小问均为7分）

已知函数（其中常数）的最小正周期为．

（1）求：函数的表达式；

（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足

，且的最小值是，求：的值．

 

 

 

18．（本题共14分，每小问均为7分）

某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%

（1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式;

（2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．（本题共14分，每小问均为7分）

如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.

（1）求码头点的坐标；

（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.