2.2基本不等式（第2课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦基本不等式及其在实际问题中的最值应用，通过复习上节课基本不等式的算术平均数与几何平均数关系，衔接生活实例导入新知，构建前后知识脉络的学习支架。 资料以生活情境例题（如矩形菜园篱笆、贮水池造价）引导学生抽象数学模型，培养用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析问题的能力，习题层次分明且贴近实际，助力学生用数学语言表达解决过程，提升应用意识与实践能力。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第2课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 掌握基本不等式 2、 会用基本不等式解决生活中简单的最大（小）值问题 通过教学培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质 重点 理解并掌握基本不等式 难点 基本不等式的实际应用 新知导入 上一节课学习可知：不等式为基本不等式．其中，叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 知识清单 知识点一：基本不等式 1.基本不等式：，，有 ，当且仅当时，等号成立. 称为基本不等式，其中叫做正数a，b的 平均数，叫做正数a，b的 平均数. 2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 例题讲解 例1（1）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2） 用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 小结 基本不等式解决实际问题的思路和方法 （1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案． 试题练习 1.某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为( ) A.2080 B.40020 C. D.20 2.为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为( ) A.30米 B.50米 C.80米 D.110米 3.若把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____( ) A.5 B.10 C.20 D.25 4.用铁丝围一个面积为的矩形，至少需要铁丝的长度为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 5.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值为( ) A. B.12 C. D. 6.一天，陶渊明采菊东篱下.想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是( ). A.289 B.104 C.162 D.138 课后练习 1.某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备( ) A.100台 B.200台 C.300台 D.400台 2.如图所示，将矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知，，当矩形花坛AMPN的面积最小时，( ) A. B. C. D. 3.珍珠棉是一种新型环保的包装材料.某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨珍珠棉还需要投入其他成本万元.当_________时，该公司在本季度增加的利润y最大，最大为________万元. 4.要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面造 价是每平方米40元，侧面造价是每平方米20元，则该容器的最低总造价是___________元. 5.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为. （1）如果不限定车型，，则最大车流量为__________辆/小时； （2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加_________辆/小时. 6.如图1所示为传统节日玩具之一——走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日.现打算做一个体积为的长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）. （1）若底面大矩形的周长为，当底面边长为多少时，底面面积最大？ （2）若灯笼高为，现只考虑灯笼的主要框架（如图2），当底面边长为多少时，框架用料最少？ 答案以及解析 知识清单 1. 算术 几何 2. 不小于 例题讲解 例题1 分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短． （2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大． 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 ，篱笆的长度为 ． （1）由已知得 ．由，可得， 所以，当且仅当 时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m． （2）由已知得 ，矩形菜园的面积为 ． 由，可得， 当且仅当 时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是． 例题2 分析：贮水池呈长方体形，它的高是3 m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低． 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 ，水池的总造价为 元．根据题意，有． 由容积为，可得， 因此 ．所以， 当 时，上式等号成立，此时 ． 所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元． 课堂练习 1.答案：D 解析：因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 故选：D. 2.答案：C 解析：设该矩形区域的长为x米，则宽为米， 则所用警戒线的长度为米，当且仅当，即时，取等号. 则所用警戒线的长度的最小值为80米. 故选：C 3.答案：D 解析：设矩形的一边为，则另一边为， ∴，当且仅当，即时， 4.答案：B 解析：设铁丝围成的矩形长和宽分别为，，依题意，， 铁丝长度，当且仅当时取等号， 所以需要铁丝的长度至少为40. 故选：B. 5.答案：A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为，，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 则，所以这个直角三角形周长的最大值为. 故选:A. 6.答案：C 解析：设矩形菜园的靠墙的一边长为， 因为篱笆的长为，则宽为， 所以矩形菜园的面积为： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是. 故选：C. 课后练习 1. 答案：B 解析：由题意，，当且仅当，即时，等号成立，所以应购买台，使得每台设备 的平均成本最低.故选B. 2. 答案：B 解析：设，则由，得，得，所以矩形AMPN的面积为，当且仅当，即时等号成立，所以当矩形花坛AMPN的面积最小时，. 3.4 8 解析：由题意得 ，当且仅当，即时等号成立. 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，为8万元. 4.320 解析：设容器底面相邻的两边长分别为，，总造价为y元. 长方体容器的容积为，高为，底面面积， . ，当且仅当时，等号成立，的最小值为320，故该容器的最低总造价是320元. 5. 1900 100 解析：（1）当时，， ， 当且仅当，即时取等号. 最大车流量F为1900辆/小时. （2）当时，， ，当且仅当，即时取等号. 最大车流量比（1）中的最大车流量增加（辆/小时）. 6. 解析：（1）设大矩形的长为x，宽为y， 依题有，即，则底面面积， 当且仅当时，底面面积最大. （2）依题有， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可，， 当且仅当，即，时取等号， 故当长为，宽为时，用料最少. 学科网（北京）股份有限公司 $