2.2基本不等式（第1课时）导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“基本不等式”第1课时，核心内容包括基本不等式的证明过程、理解及简单最值问题应用。课堂导入从乘法公式类比切入，通过完全平方公式推导基本不等式，结合几何图形给出直观解释，搭建从代数推理到几何直观的学习支架，帮助学生联系旧知构建新知脉络。 本资料突出数学思维与数学眼光的培养，例题解析逻辑严谨，课堂与课后练习分层设计且解析详细。通过推导证明培养学生逻辑推理能力，结合几何解释引导学生用数学眼光观察数量关系，习题聚焦最值应用，助力学生形成重论据、有条理的思维品质，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第1课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 了解基本不等式的证明过程 2、 掌握基本不等式 通过教学培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质 重点 理解并掌握基本不等式 难点 用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 新知导入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题． 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有，当且仅当 时，等号成立． 特别地，如果 ，我们用 分别代替上式中的 ， 可得，当且仅当 时，等号成立． 基本不等式 通常称不等式为基本不等式．其中，叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 在下图中， 是圆的直径，点 是 上一点，．过点 作垂直于 的弦 ，连接 ，．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 如图，可证 ，因而 ．由于 小于或等于圆的半径，用不等式表示为． 显然，当且仅当点 与圆心重合，即当 时，上述不等式的等号成立． 知识清单 知识点一：基本不等式 1.基本不等式：，，有 ，当且仅当时，等号成立. 称为基本不等式，其中叫做正数a，b的 平均数，叫做正数a，b的 平均数. 2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 例题讲解 例1 已知 ，求的最小值． 例2 已知 都是正数，求证： （1）如果积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值 ； （2）如果和 等于定值 ，那么当 时，积 有最大值． 课堂练习 1.已知，，若，则的( ) A.最小值为4 B.最大值为4 C.最小值为8 D.最大值为8 2.若当时，的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.已知，，若，则的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.已知实数，则的最小值是( ) A. B. C.6 D.5 5.已知x，y为正实数，则的最小值为( ) A.1 B. C.2 D. 6.已知，且，，则的最小值是( ) A.1 B. C.2 D. 7.若正数x，y满足，则的最小值是( ) A.24 B.28 C.25 D.26 8.若，，且，则的最小值为________. 9.已知a，b都是正实数，若，则的最大值为________________. 课后练习 1.若，则的最小值是( ) A. B.2 C.3 D. 2.已知实数，则的最小值是( ) A. B. C.6 D.5 3.已知，，若，则( ) A.的最大值为1 B.的最大值为2 C.的最小值为1 D.的最小值为2 4.已知正数x，y满足，则的最小值是( ) A.1 B.3 C.6 D.9 5.已知正实数m，n满足，则的最小值为( ) A. B.3 C. D.4 6.已知，，则的最小值为（） A. B. C.4 D.2 7.（多选）已知，，且，则可能取的值有( ) A.9 B.10 C.11 D.12 8.（多选）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是( ) A.的最小值为2 B.的最小值为1 C.的最大值为4 D.的最小值为2 9.函数的最小值为______________. 10.若正实数a，b满足，则的最小值是_____________. 11.已知，，且满足，则的最大值是___________. 12.已知，则的最小值为__________. 答案以及解析 知识清单 答案：1. 算术 几何 2.不小于 例题讲解 例题1 分析：求的最小值，就是要求一个，使，都有．观察，发现．联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到． 解：因为 ，所以，当且仅当，即 时，等号成立， 因此所求的最小值为2． 例题2 证明：因为 都是正数，所以． （1）当积 等于定值 时，， 所以，当且仅当 时，上式等号成立． 于是，当 时，和 有最小值 ． （2）当和 等于定值 时，， 所以，当且仅当 时，上式等号成立． 于是，当 时，积 有最大值． 课堂练习 1.答案：A 解析：由于，，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：A 2.答案：B 解析：因为，则， 所以，当且仅当时“=”成立. 故选：B. 3.答案：D 解析：因为，，， 所以基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是2， 故选：D. 4.答案：B 解析：因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 5.答案：D 解析：因为x，y为正实数， 则， 当且仅当， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 6.答案：A 解析：由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 7.答案：C 解析：正数x，y满足， ，当且仅当时，等号成立，的最小值 是25.故选C. 8.答案：2 解析：由，，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为2. 故答案为：2. 9.答案： 解析：， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为：. 课后练习 1.答案：C 解析：， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为3. 故选：C. 2.答案：B 解析：因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 3.答案：A 解析：由，，则，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1，没有最小值. 故选：A. 4.答案：B 解析：由，可得，则 ，当且仅当，时取等号.故的最小值是3.故选B. 5.答案：C 解析：根据题意，，可得， 则， 设，则， 原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 6.答案：D 解析：因为，， 所以， 当且仅当，且，即，时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 7.答案：BCD 解析：因为，，且， 所以 ，当且仅当，即取等号， 故选：BCD. 8.答案：AD 解析：对于A，因为，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为1，故B错误； 对于C，， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为2，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2，故D正确. 故选：AD. 9.答案：4 解析：因为， 所以， 当且仅当时取等号，此时，即函数的最小值是4. 故答案为：4. 10.答案：16 解析：因为，，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：16 11.答案：3 解析：因为，，且满足，得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值是3. 故答案为：3. 12.答案： 解析：因为，所以，，所以 ， 当且仅当即，时，等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $