2.1等式性质与不等式性质（第1课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦作差法比较实数大小与重要不等式核心知识点。通过限速、酸奶质量等现实情境问题导入，引导学生从具体不等关系抽象出不等式定义，建立两实数大小关系基本事实，搭建生活到数学的认知支架，衔接后续不等式性质学习。 该学案特色在于情境化导入激发兴趣，借助“风车”几何图形与代数推导结合，直观理解重要不等式，培养数学抽象与几何直观能力。分层练习涵盖基础与实际应用，助力学生用数学思维分析问题，提升运算能力与应用意识，有效落实核心素养。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质（第1课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 掌握作差法比较实数的大小 2、 掌握重要不等式 通过教学培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质 重点 作差法比较实数的大小 难点 重要不等式 新知导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速 ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 应不少于，蛋白质的含量 应不少于； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为 ， “限速 ”就是 的大小不能超过40，于是． 对于（2），由题意，得 对于（3），设 的三条边为 ，则 ． 对于（4），如图，设 是直线 外的任意一点， 垂直于 ，垂足为 是直线 上不同于 的任意一点，则 ． 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 两个实数大小关系的基本事实 如果 是正数，那么 ；如果 等于0，那么 ； 如果 是负数，那么 ．反过来也对． 这个基本事实可以表示为 ； ； ． 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较 它们的差与0的大小． 知识清单 知识点一：两实数大小关系的基本事实 1.两实数大小关系的基本事实： ； ； .即要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小. 知识点二：重要不等式 2.重要不等式：一般地，，有 ，当且仅当 时，等号成立． 例题讲解 例 比较 和 的大小． 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）． 这是解决不等式问题的常用方法． 将图中的“风车”抽象成右图．在正方形 中 有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边 的长为 ，，那么正方形的边长为 ． 这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为 ． 由于正方形 的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 ． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 时，正方形 缩为一个点，这时有 ．于是就有 ． 一个重要不等式 一般地，，有 ． 当且仅当 时，等号成立． 事实上，利用完全平方公式，得 ． 因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 ，当且仅当 时，等号成立． 课堂练习 1.已知，，，则M，N的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.设，，则( ) A. B. C. D. 3.已知，，则M，N的大小关系是( ) A. B. C. D. 4.设，，则有( ) A. B. C. D. 5.设，，则( ) A. B. C. D. 6.若，，则M与N的大小关系为__________ . 课后练习 1.某公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量为30吨，B型货车载重量为24吨，设派出A型货车x辆，B型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是( ) A. B. C. D. 2.若，，则M与N的大小关系为( ) A. B. C. D. 3.b克糖水中有a克糖，若再添上m克糖，则糖水变甜了.根据这个事实提炼的一个不等式为( ) A. B. C. D. 4.（多选）下列关于不等关系的说法，正确的是( ) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C.不等式的含义是x不小于2 D.若或之中有一个正确，则正确 5.若，则( ) A. B. C. D.的大小关系无法确定 6.若，，，则，的大小关系是_________. 7.设，，则M、N的大小关系是_________. 8.已知实数，，则_________（用>，<填空）. 答案以及解析 知识清单 1. 差 0 2. 例题讲解 例题： 分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 解：因为 ， 所以 ． 课堂练习 1.答案：B 解析：， 所以. 故选：B. 2.答案：C 解析：， 所以. 故选：C. 3.答案：A 解析：， 即， 故选：A. 4.答案：C 解析：， 故， 故选：C. 5.答案：C 解析：， 所以. 故选：C. 6.答案： 解析：， 课后练习 1. 答案：B 解析：由已知可得，即.故选B. 2. 答案：A 解析：，. 3. 答案：B 解析：克糖水中有a克糖，糖水的浓度为.若再添m克糖，则糖水的浓度为.又糖水变甜了，说明浓度变大了，. 4. 答案：ACD 解析：因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“≤”表示，故选项A正确； 因为“非负数”即为“不是负数”，所以，故选项B错误； 因为不等式表示或，即x不小于2，故选项C正确； 因为不等式表示或，故若或中有一个正确，则一定正确，故选项D正确. 5.答案：B 解析：因为， 所以. 故选：B. 6.解析：由，得，， 则，故. 7.答案： 解析：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为：. 8.答案： 解析：， 因为，， 所以，， 因此，即. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $