1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、理解全称量词命题的否定和存在量词命题的否定的含义 使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养 重点 全称量词命题的否定和存在量词命题的否定 难点 全称量词命题的否定和存在量词命题的否定 新知导入 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定． 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合 的真子集”的否定为“空集不是集合 的真子集”． 下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定． 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非 ”，也就是“ 不成立”．通常，用符号“”表示“ 不成立”． 全称量词命题：， 它的否定：． 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在 ，使 成立”，也就是“ 不成立”． 存在量词命题：， 它的否定：． 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 知识清单 知识点一：全称量词命题的否定 1.全称量词命题：，的否定： . 知识点二：存在量词命题的否定 2.存在量词命题：，的否定： . 例题讲解 例1 写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）对任意 的个位数字不等于3． 例2 写出下列存在量词命题的否定： （1）； （2）有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数． 例3 写出下列命题的否定，并判断真假： （1）任意两个等边三角形都相似； （2）． 课堂练习 1.全称量词命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A.所有被5整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被5整除 C.存在一个被5整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数不能被5整除 2.在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如： ①若，则；②若一个三角形是等边三角形，则这个三角形是等腰三角形. 这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题.则命题①的否定为( ) A.若，则 B.若，则 C.， D.， 3.已知命题，方程有解，则为( ) A.，方程无解 B.，方程有解 C.，方程无解 D.，方程有解 4.命题“，”的否定是( ) A.， B.， C.， D.， 5.已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是( ) A.， B.， C.， D.， 6.命题“，有实数解”的否定是( ) A.，有实数解 B.，无实数解 C.，无实数解 D.，有实数解 7.已知：①，； ②不存在实数x，使； ③，； ④至少有一个实数x，使得. 以上命题的否定为真命题的是( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 课后练习 1.已知命题p:有些实数的相反数是正数，则是( ) A.， B.， C.， D.， 2.命题“，”的否定是( ) A.， B.， C.， D.， 3.已知命题，，命题，，则( ) A.p和q均为真命题 B.p和均为真命题 C.和q均为真命题 D.和均为真命题 4.命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为( ) A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B.锐角三角形的三个内角都相等 C.锐角三角形的三个内角都不相等 D.锐角三角形的三个内角不都相等 5.若命题“，使得”的否定是真命题，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D.或 6.设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是( ) A.， B.， C.， D.， 7.（多选）已知，是奇数，，是偶数，则( ) A.，是偶数 B.，是偶数 C.，是奇数 D.，是奇数 8.命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）. 9.命题，.写出该命题的否定：_______________. 10.写出命题，的否定：______________ 11.“所有末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是__________. 答案以及解析 知识清单 1.， 2.， 例题讲解 例题1 解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数． （2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上． （3）该命题的否定： 的个位数字等于3． 例题2 解：（1）该命题的否定：． （2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形． （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数． 例题3 解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似． 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似． 因此这是一个假命题． （2）该命题的否定：． 因为对任意 ，， 所以这是一个真命题． 课堂练习 1.答案：C 解析：全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词，并对结论进行否定， 故C正确. 2.答案：D 解析：命题①表示为全称命题为：，， 由全称命题的否定可知，命题①的否定为：，. 故选：D. 3.答案：A 解析：根据存在量词命题的否定形式可知，命题，方程有解的否定为：，方程无解. 故选：A. 4.答案：B 解析：由题意，命题“，”的否定是，. 故选：B. 5.答案：B 解析：已知命题p：有些实数的相反数是正数，即，， 则，， 故选：B. 6.答案：C 7.答案：B 解析：，当且仅当时等号成立，故①为真命题；当时，，故②为假命题，④为真命题；当时，，故③为假命题.由于命题和它的否定真假相反，故符合题意的是②③.故选B. 课后练习 1.答案：B 解析：已知命题p:有些实数的相反数是正数，即，， 则，， 故选：B. 2.答案：D 解析：命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3.答案：B 解析：因为当时，成立，故命题p为真命题，为假命题; 当时，，故命题，为假命题，为真命题. 故选：B. 4.答案：D 解析：命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”. 故选：D. 5.答案：C 解析：命题“，使得”的否定是“，”， 因此. 故选：C. 6.答案：A 解析：因为，所以，根据子集的定义可知，，. 故选：A. 7.答案：BD 解析：由含有量词命题的否定知，，是偶数，，是奇数，故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 8.答案：存在正数的立方根不是正数;假 解析：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在一些正数的立方根不是正数”，易知其是假命题. 故答案为：存在正数的立方根不是正数;假. 9.答案：，使得 解析：命题，，则该命题的否定是：，使得， 故答案为：，使得. 10.答案：， 解析：命题，的否定是：，. 故答案为：，. 11.答案：至少存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除 解析：“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是“至少存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除”. 故答案为：至少存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除. 学科网（北京）股份有限公司 $