湖南省长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期数学第二周周课时作业

长沙市周南中学2025年下学期高二年级第二周 数学周课时作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.若直线1的一个方向向量为(-1，√3)，则它的倾斜角为() A.30° B.60 C.120° D.150° 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了直线的方向向量（平面），直线的斜率和倾斜角，属于基础题 由题意，求出直线的斜率，从而得出结果 【解答】 解：依题意，(-1，√3)是直线1的一个方向向量，所以直线1的斜率k=一√3， 所以直线1的倾斜角为120° 故选C 2.己知点A(2,0)与B(0,4)关于直线+y+b=0对称，则a,b的值分别为() A.1,3 B-,3 C.-2,0 D.,-} 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了点和点关于直线对称的应用，涉及两点间斜率公式的应用、中点坐标公式的应用，属于 中档题.利用点关于直线对称的点之间的关系，得到直线AB与直线x+y+b=0垂直且线段 AB的中点在直线ax十y十b=0上，列式求解即可 【解答】 解：因为点A(2,0)与B(0,4)关于直线a十y+b=0对称， 所以直线AB与直线ax十y+b=0垂直且线段AB的中点在直线ar十y十b=0上， 直线AB的斜率为急号-2，线段AB的中点为1,2。 1 则有 -2(-a)=-1 ,解得 a--2 a·1+2+b=0 故选：B 3.已知a>0,b>0,直线4：(a-1)x+-1-0,4:x+2y+1-0,且41h,则名+分 1 的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.9 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于一般题 由414，可求得a+2b=1,再由日+方-（合+古）a+2b)-4+”+号，利用基本不等 式求出最小值即可， 【解答】 解：因为4⊥2，所以(a-1)×1+1×2b=0,即a+2b=1, 因为a>0,b>0,所以吕+合=(2+6)a+20)=2+2+0+8≥4+2/0号=8， 当且仅当白=号，即a=宁，b=子时等号成立，所以名+方的最小值为8. 故选C 4.已知A(W3,0),B(0,-1),直线1：2ax-2y-√3a-3=0上存在点P,满足|PA+|PB=2 ,则1的倾斜角的取值范围是() A[g,] B.[o,ξ]u[g, C.[] D.[g,)U(5,] 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了直线倾斜角的求解以及倾斜角和斜率的关系，属于中档题. 先判断A,B均不在直线1上，利用AB=√3+1=2，且A+PB=2,得到点P的轨迹为线 段1，然后结合直线1：2-2y-3a-3=0可得直线1恒过定点Q(9,-2),最后由斜 率公式以及倾斜角和斜率的关系即可求解 【解答】解：将点A,B代入直线I的方程，可知点A,B均不在直线1上， 因为A(W3,0),B(0,-1),所以AB=3+I=2,且|PA+|PB=2, 所以点P的轨迹为线段AB, 又直线1：2ax-2y-√3a-3=0即a(2x-3)-(2y+3)=0, 所以直线1恒过定点Q(号，-多)， 又kgA 3 1+多 =5,= -V3 设1的顿斜角为a,则tana∈(-o,-写]U[V3,+o), 因为ae[o,,所以a∈[罗，受)u(受，g] 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.己知直线1：4x-3y+4=0,l2:(+2)x-(+1)y+2+5=0(m∈R),则（) A.直线12过定点(-3，-1) B.当m=1时，11⊥12 C.当=2时，4∥12 D.当11l2时，两直线11,2之间的距离为1 【答案】ACD 【解析】【分析】 本题考查直线过定点，两直线的平行、垂直，以及两平行线的距离，属于基础题 x-y+2=0 化12为m(x-y+2)+(2x-y+5)=0,由{ 2x-y+5=0 ,求得直线12过定点（-3，-1：当m =1时， 由A1A2+B1B2≠0，判定两直线不垂直；当=2时，得直线12：4x-3y+9=0,两直线平行；由 1∥12时，得=2，由两平行线距离公式求得距离. 【解答】 解：12：(+2)x-(m+1)y+2+5=0(m∈R),化为：m(x-y+2)+(2x-y+5)=0, x-y+2=0 x=-3 2xy+5=0,得 由 y=-1 .直线12过定点(-3，-1)，故A正确： 当m=1时，直线1：4x-3y+4=0,12:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0，所以两直线不 垂直，故B错误； 当m=2时，直线11：4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,所以两直线平行，故C正确； 当1/2时，m+2=二0十1≠2十5，解得=2，此时直线4：4-3y+4=0,4:4-3y 4 -3 4 +9=0,两平行线距离为一一4一9 V4+(一3莎=1，故D正确. 故选：ACD 6.下列说法错误的是（) A.“a=-1”是“直线2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 B.直线xsma+y+2=0的倾斜角9的取值范国是[0，牙]U[买，) C.过(，h),(x2,)两点的所有直线的方程为y-上=x- y2-y1-x2-x1 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 【答案】ACD 【解析】【分析】 本题考查了直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生 的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和 直线截距相等的直线方程的应用判定A、B、C、D的结论， 【解答】 解：对于A:当a=-1时，“直线x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”，当直线x- y十1=0与直线x-y-2=0互相垂直时，解得a=0或-1，故“a=-1”是“直线x-y +1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要条件，故A错误.对于B:直线xsia十 y+2=0的倾斜角0，则tan0=-sina∈[-l,1],所以倾斜角0的取值范围是[0，平]U [买，元，故B正确；对于C:过(4)，()（且x≠x4≠）两点的所有直线的方程为 y一上=一，故C错误.对于D:经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程 y2-41x2-X 为：0：经过原点的直线为X-y=0,②设在坐标轴上的截距为口，设直线方程为言+言=1， 所以日+日-1，解得a=2,故x+y-2=0,放D错误.故选：4CD, 7.某同学在研究函数f(x)=√x2+1+x-1的性质时，联想到两点间的距离公式，将函数变形 为f(x)=√(x-0+(0-1+√(x-1+(0-02,则下列结论正确的是() A.函数f(x)在区间（-∞，0)上单调递增，(1，十∞)上单调递减 B.存在实数t,使得函数f(x)的图象关于直线x=t对称 C.函数f(x)的最小值为√2，没有最大值 D.方程f(x)=2的实根个数为2 【答案】CD 【解析】【分析】 本题考查函数性质的研究，考查函数与方程的应用，属于较难题 对各选项逐一判定正误，即可得到答案。 【解答】 解：当x>1时，函数f(x)=√x2+1+x一1，显然为增函数，故选项A错误； 由f(x)=V(x-0)2+(0-1)2+√(x-1)2+(0-0)2可知， f(x)可看作为x轴上点P(x,0)到点A(1,0),B(0,1)的距离之和 结合图形易知，当x=1时，函数f(x)的最小值为√2，没有最大值，故选项C正确： 米1 -3-2p-10 234 由此可以得到，函数f(x)在区间（-∞，1)上单调递减，(1，+∞)上单调递增， 若存在实数t,使得函数f(x)的图象关于直线x=t对称，则t=1, 由f(0)=2,f(2)=1+√5，显然x=1不是函数f(x)的对称轴， 故B选项错误； 由此可作出函数f(x)的大致图象，如下图所示： 6) 方支寸0寸立衣 1 由图象可以看出，方程(x)=2的实根个数有2个， 另外，当x>1时，函数f(x)=V√x2+1+x-1, 所以方程f)=2化为方程V+1+x-1=2,即VF+1=3-x,解得x=号 当x<1时，函数f(x)=x2+1-x+1, 所以方程(x)=2化为方程√x2+1-x+1=2,即Vx2+1=1+x,解得x=0,故选项D正 确。 故选CD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.已知x,y满足x+y+3=0,求(x+1)2+(y-2)2的最小值 【答案】8 【解析】【分析】本题主要考查了两点间的距离，点到直线的距离公式，考查了转化与化归的思想， 属于中档题.由于(x+12+(y-2)2表示点(-1,2)与直线上的点的距离的平方，可知(x+1)2+ (y-22的最小值为点(-1,2)到直线x+y+3=0距离的平方，由点到直线的距离公式可得结 果.【解答】解：由于(x+1)2+(y-22表示点(-1,2)与直线x十y+3=0上的点的距离的平方， 可知(x+1)2+(y-2)2的最小值为点(-1,2)到直线x+y+3=0距离的平方，所以最小值为 (+8做若室为8 9.如图所示，已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线 OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 【答案】2W10 【解析】【分析】 本题考查点、直线间的对称问题，属于中档题 设点P关于y轴的对称点P',点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点P",由对称特点可求 P'和P"的坐 标，再利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上， 光线所经过的路程PP· 【解答】 解：点P关于y轴的对称点P'坐标是(-2,0)，设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点 b-0x(-1)=-1 a-2 解得 a=4 P"(a,b),由 a+2+b+0-4=0 b=2 2 2 故光线所经过的路程PP"=2√10 故答案为：2√10 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.(本小题12分) 求满足下列条件的直线方程： (1)经过A(-1,3),且与直线3x-y-6=0平行； (2)在y轴上的截距与在x轴上的截距之差为3，且垂直于过M(2,3)和N(0,4)两点的直线， 【答案】解：(1)设所求直线的方程为3x-y十=0， 将A的坐标代入，得m=6, 则所求直线的方程为3x-y十6=0 (2)由题意得k=43= 1 -0-2= 所求直线的斜率k二一一 设所求直线的斜截式方程为y=2x十b. 当x=0时，y=b,当=0时，x=号，由b+号=3，得b=2, 故所求直线的方程为y=2x+2(或2x-y+2=0) 【解析】本题考查直线的一般式方程，两平行直线的斜率关系，直线的斜截式方程，两垂直直线的 斜率关 系，属于基础题 (1)利用两直线的平行关系，设出一般式方程，代入点A坐标即可得解： (2)由题意求得飞w,即可求所求直线的斜率k,设出所求直线的斜截式方程，求出在y轴上的截 距与在x轴上的截距，令差为3，即可求解 11.(本小题12分) 如图，射线OA,OB所在直线的方向向量分别为d=(1,k)，a2=(1,-k)(k>0),点P在 ∠AOB内，PM⊥OA于M,PN⊥OB于N. B (1)若k=1,P(3,),求oM的值： (2)若P(2,1),△OMD的面积是号，求k的值： (3)已知灰为常数，M,N的中点为，且及=是，当P变化时，求o1的取值范围 【答案】解：(1)：P3,)o-0 2 ~1的方程为y,即少=0，点P到直线的距离为方=号 2 oM=g-子=： (2)直线OA的方程为x-y=0,P(2,1)到直线的距离为d= |2k-1 √k2+1 ∴.oM=/5 (2k-12 k2+1 △oP的面积为方×√5-2x2达-1-s 2+1XV2+1=5, “k=号或2. (3)设M(x1,1),N(x2,-2),T(x,y),x1>0,x2>0,k>0, 设直线01的倾斜角为a,则k=ana,sin2a=,2水 1+2, x=西+3 2 y k(x1-x2】 根据题意得： x1=x+下 2 ' OM=xV1+k x2=x-k ION=xV1+ 代入SAMON= OMIONin2a=t, 化简得：动点T轨迹方程为x2-=1≥) ∴on=+=+-1-1+)x-1≥V0+g-1=大 当且仅当x=是，T是，0)时，oT1取得最小值是 :o7的取值范围是[，+∞长沙市周南中学2025年下学期高二年级第二周 数学周课时作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.若直线1的一个方向向量为（-1，√3)，则它的倾斜角为() A.30° B.60 C.120 D.150° 2.已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线+y+b=0对称，则a,b的值分别为() A.1,3 B-,3 C.-2,0 D. 3.已知a>0,b>0,直线4：(a-1)x+y-1=0,4:x+2b+1=0,且41h,则名+合 a 的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.9 4.已知A(√3,0)，B(0,-1),直线1：2ax-2y-√3a-3=0上存在点P,满足PA+PB=2 ,则1的倾斜角的取值范围是() A[] B.[o,号]U[g, c[,g] D.[3)u(受，」 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.己知直线1：4x-3y+4=0,12:(m+2)x-(m+1)y+2+5=0(m∈R),则() A.直线12过定点(-3，-1) B.当m=1时，l1⊥12 C.当=2时，4∥l2 D.当1/l2时，两直线1,12之间的距离为1 6.下列说法错误的是（) A.“a=-1”是“直线2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 B.直线xsma+y+2=0的倾斜角9的取值范围是[0，]U[买， C.过(，)，(2)两点的所有直线的方程为y一”=一x y2-y1x2-X1 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 7.某同学在研究函数f(x)=V√x2+1+x-1的性质时，联想到两点间的距离公式，将函数变形 为f(x)=√(x-0+(0-1+√(x-1+(0-02,则下列结论正确的是() A.函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，(1，十∞)上单调递减 B.存在实数t,使得函数f(x)的图象关于直线x=t对称 C.函数f(x)的最小值为√2，没有最大值 D.方程f(x)=2的实根个数为2 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.已知x,y满足x+y+3=0,求(x+1)2+(y-2)2的最小值 9.如图所示，己知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线 OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.(本小题12分) 求满足下列条件的直线方程： (1)经过A(-1,3),且与直线3x-y-6=0平行； (2)在y轴上的截距与在x轴上的截距之差为3，且垂直于过M(2,3)和N(0,4)两点的直线. 11.（本小题12分) 如图，射线OA,OB所在直线的方向向量分别为d=(1,k)，a2=(1,-k)(k>0),点P在 ∠AOB内，PM⊥OA于M,PN⊥OB于N. B （1)若k=1,P(房，)，求OM的值： (②)若P(2,1),△OMP的面积是号，求k的值： (3)已知k为常数，M,N的中点为T,且S0v=名，当P变化时，求On的取值范围，